Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\widehat B = \widehat E\), mà hai góc ở vị trí đồng vị nên \(DE\parallel AB\). Ta có hệ thức sau: \(\frac{{CE}}{{CB}} = \frac{{CD}}{{CA}}\).

Đáp án đúng là: A

Ta có: \(\widehat M = \widehat A = 90^\circ \), mà hai góc ở vị trí đồng vị nên \(MN\parallel AB\).

Do đó, ta có: \(\frac{{CM}}{{MA}} = \frac{{CN}}{{CB}}\) hay \(\frac{3}{{3 + 3}} = \frac{5}{{5 + x}}\) được \(\frac{5}{{5 + x}} = \frac{1}{2}\) suy ra \(5 + x = 10\) nên \(x = 5.\)

Đáp án đúng là: C

Nhận thấy ở Hình 3, xét tam giác \(ABC\), có:

\(M\) là trung điểm của \(AB\) và \(N\) là trung điểm của \(AC\).

Do đó, \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\).

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác \(ABC\) có \(AD\) là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\) nên \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{DC}}\) (tính chất đường phân giác) nên \(\frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{AC}}\).

Đáp án đúng là: a) Đ     b) Đ         c) S          d) Đ

a) Các kết quả có thể xảy ra khi lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp là: quả bóng đánh số \(0\), đánh số \(2\), đánh số \(4\), đánh số \(6\), đánh số \(8\).

Do đó, có 5 kết quả có thể xảy ra khi lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp.

b) Có 5 kết quả thuận lợi cho biến cố “Lấy được quả bóng đánh số chẵn” là: \(0;2;4;6;8\).

c) Kết quả thuận lợi cho biến cố “Lấy được quả bóng đánh số nguyên tố” là 1 (quả bóng đánh số 2).

Do đó, xác suất để lấy được quả bóng đánh số nguyên tố là \(\frac{1}{5}\).

d) Kết quả thuận lợi cho biến cố “Lấy được quả bóng đánh số là ước của \(16\)” là 3 (quả bóng đánh số 2, số 4 và số 8).

Do đó, xác suất để lấy được quả bóng đánh số là ước của \(16\) là \(\frac{3}{5}\).

Đáp án đúng là: a) Đ     b) S         c) Đ         d) Đ

a) Xét \(\Delta ABC\) có \(EG\parallel BM\), theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{BE}}{{AE}} = \frac{{MG}}{{AG}}\).

b) Xét \(\Delta DCN\) có \(BM\parallel CN\), theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{DN}}{{MD}} = \frac{{DC}}{{DB}}\).

c) Có \(D\) là trung điểm của \(BC\) (do \(AD\) là trung tuyến của tam giác) nên \(DB = DC\).

Do đó, \(\frac{{DN}}{{MD}} = \frac{{DC}}{{DB}} = 1\) nên \(DM = DN\).

Suy ra \(GM + GN = GM + GM + MN = 2GM + 2MD = 2GD\).

Lại có \(G\) là trọng tâm \(\Delta ABC\) nên \(AG = 2GD\).

Xét \(\Delta ACN\) có \(FG\parallel CN\), theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{CF}}{{AF}} = \frac{{GN}}{{AG}}\).

Suy ra \(\frac{{BE}}{{AE}} + \frac{{CF}}{{AF}} = \frac{{MG}}{{AG}} + \frac{{GN}}{{AG}} = \frac{{GM + GN}}{{AG}} = \frac{{2GD}}{{2GD}} = 1\).

Do đó, \(\frac{{BE}}{{AE}} + \frac{{CF}}{{AF}} = 1\).

d) Xét \(\Delta ABC\) có \(EG\parallel BM\), theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{AM}}{{AG}}\).

Xét \(\Delta ACN\) có , theo định lí Thalès ta có: \(\frac{{AC}}{{AF}} = \frac{{AN}}{{AG}}\).

Suy ra \(\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{AC}}{{AF}} = \frac{{AM}}{{AG}} + \frac{{AN}}{{AG}} = \frac{{AM + AN}}{{AG}} = \frac{{AG + GM + AG + GM + MN}}{{AG}}\)

\( = \frac{{2AG + 2GM + 2MD}}{{AG}} = \frac{{2AG + 2\left( {GM + MD} \right)}}{{AG}} = \frac{{2AG + 2GD}}{{AG}} = \frac{{2AG + 2.\frac{1}{2}AG}}{{AG}} = \frac{{3AG}}{{AG}} = 3\).

Vậy \(\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{CA}}{{AF}} = 3\).

Đáp án: \(64\)

Tổng số khách hàng tham gia đánh giá là: \(6 + 32 + 10 + 2 = 50\) (khách hàng).

Đánh giá tốt chiếm số phần trăm trên tổng đánh giá của khách hàng là: \(\frac{{32}}{{50}}.100 = 64\% \).

Đáp án: \(2\)

Gọi số bút bi đỏ ban đầu trong hộp bút là \(x\) (chiếc, \(x \in {\mathbb{N}^*}\)).

Tổng số bút bi đỏ sau khi thêm \(8\) chiếc vào hộp là \(x + 8\) (chiếc)

Vì xác suất chọn được bút bi đỏ là \(20\% \) nên ta có:

\(\frac{{x + 8}}{{42 + 8}} = 20\% \) hay \(\frac{{x + 8}}{{50}} = \frac{1}{5}\) suy ra \(x + 8 = 10\) nên \(x = 2\) (thỏa mãn).

Vậy ban đầu trong hộp có \(2\) chiếc bút bi đỏ.

Đáp án: \(42\)

Ta có: \(AB \bot BC\), \(DE \bot BC\) nên \(DE\parallel AB\).

Xét tam giác \(ABC\) có \(DE\parallel AB\), ta có:

\(\frac{{DE}}{{AB}} = \frac{{CE}}{{CB}}\) (hệ quả định lí Thalès).

Hay \(\frac{2}{{AB}} = \frac{3}{{63}}\) suy ra \(AB = 42{\rm{ m}}\).

Vậy chiều cao của tháp là \(42{\rm{ m}}{\rm{.}}\)

a) Ta có bảng thống kê như sau:

Loại gạo được xuất khẩu nhiều nhất là gạo trắng, chiếm \(45,2\% \).

Loại gạo xuất khẩu ít nhất là gạo nếp, chiếm \(9\% \).

• Số lượng gạo thơm nước ta xuất khẩu trong năm 2022 là:

\(6,15.26,8\% = 1,6482\) (triệu tấn)

b) Số lượng gạo trắng nước ta xuất khẩu trong năm 2022 là:

\(6,15.45,2\% = 2,7798\) (triệu tấn)

Số lượng gạo nếp nước ta xuất khẩu trong năm 2022 là:

\(6,15.9\% = 0,5535\) (triệu tấn)

Số lượng gạo khắc nước ta xuấ khẩu trong năm 2022 là:

\(6,15.19\% = 1,1685\) (triệu tấn)

Do đó, ta có biểu đồ cột biểu diễn lượng gạo nước ta xuất khẩu trong năm 2022 như sau:

Tập hợp các kết quả có thể xảy ra đối với số tự nhiên được viết ra là:

\(A = \left\{ {61;62;63;...;83;84} \right\}\).

Do đó, số phần tử của tập hợp \(A\) là \(24\) phần tử.

Có \(2\) kết quả thuận lợi cho biến cố: “Số tự nhiên được viết ra là số chia cho \(3\) và \(4\) đều dư \(1\)” là \(61\) và \(73\). Vậy xác suất của biến cố đó là \(\frac{2}{{24}} = \frac{1}{{12}}\).

a) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác \(ABC\), ta có:

\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)

\({21^2} + {28^2} = B{C^2}\)

\(B{C^2} = 1225\) nên \(BC = 35{\rm{ cm}}\).

Xét \(\Delta ABC\) có \(AD\) là tia phân giác của góc \(BAC\) nên \(\frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{AC}}\).

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{{DB}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{AC}} = \frac{{DA + DC}}{{AB + AC}} = \frac{{BC}}{{AB + AC}} = \frac{{35}}{{21 + 28}} = \frac{5}{7}\).

Suy ra \(DB = \frac{5}{7}.AB = \frac{5}{7}.21 = 15{\rm{ cm}}\) và \(DC = \frac{5}{7}.AC = \frac{5}{7}.28 = 20{\rm{ cm}}\).

b) Vì \(E\) là hình chiếu của \(D\) trên \(AC\) nên \(DE \bot AC\).

Mà \(BA \bot AC\) (do \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\)).

Do đó \(DE\parallel AB\).

Xét \(\Delta ABC\) có \(DE\parallel AB\) nên \(\frac{{EC}}{{AC}} = \frac{{DE}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{BC}} = \frac{{20}}{{35}} = \frac{4}{7}\) (Hệ quả định lí Thalès)

Do đó, \(DE = \frac{4}{7}AB = \frac{4}{7}.21 = 12{\rm{ cm}}\) và \(EC = \frac{4}{7}AC = \frac{4}{7}.28 = 16{\rm{ cm}}\).

c) Gọi \(F\) là giao điểm của \(BI\) với \(AC\).

Vì \(I\) là giao điểm của ba đường phân giác nên \(BF\) là đường phân giác góc \(\widehat {ABC}\).

Do đó, \(\frac{{FA}}{{FC}} = \frac{{BA}}{{BC}} = \frac{{21}}{{35}} = \frac{3}{5}\).

Suy ra \(FA = \frac{3}{5}FC = \frac{3}{8}AC = \frac{{21}}{2}{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Có \(AI\) là đường phân giác của tam giác \(ABF\) nên có \(\frac{{BI}}{{FI}} = \frac{{AB}}{{AF}} = \frac{{21}}{{\frac{{21}}{2}}} = 2\) (1)

Gọi \(GB\) cắt \(AC\) tại \(M\).

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(BM\) là đường trung tuyến, do đó \(\frac{{GB}}{{GM}} = 2\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{GB}}{{GM}} = \frac{{IB}}{{IF}}\) suy ra \(IG\parallel FM\) hay \(IG\parallel AC\) (Theo định lí Thalès đảo).