Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 8 Cánh diều (2023-2024) có đáp án - Đề 2

Chọn A

a) \(\frac{x}{{x + 7}} + \frac{7}{{x + 7}}\)\( = \frac{{x + 7}}{{x + 7}} = 1.\)

b) \(\frac{x}{{x + 2}} - \frac{4}{{{x^2} + 2x}} = \frac{{{x^2} - 4}}{{x\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x - 2}}{x}.\)

c) \[\frac{{3x + 1}}{{x - 13}} \cdot \frac{{x - 2}}{{x + 3}} - \frac{{x - 2}}{{x + 3}} \cdot \frac{{2x + 14}}{{x - 13}} = \frac{{x - 2}}{{x + 3}}\left( {\frac{{3x + 1}}{{x - 13}} - \frac{{2x + 14}}{{x - 13}}} \right)\]

\[ = \frac{{x - 2}}{{x + 3}} \cdot \frac{{3x + 1 - 2x - 14}}{{x - 13}} = \frac{{x - 2}}{{x + 3}} \cdot \frac{{x - 13}}{{x - 13}} = \frac{{x - 2}}{{x + 3}}.\]

\[A = \left( {\frac{2}{{x - 5}} + \frac{2}{{x + 5}}} \right).\frac{{{x^2} - 10x + 25}}{{4x}}\]

a) Điều kiện xác định:\(\left\{ \begin{array}{l}x - 5 \ne 0\\x + 5 \ne 0\\4x \ne 0\end{array} \right.\) hay \(x \ne 5,\,\,x \ne - 5\) và \(x \ne 0.\)

b) Với \(x \ne 5,\,\,x \ne - 5\) và \(x \ne 0,\) ta có:

\[A = \left( {\frac{2}{{x - 5}} + \frac{2}{{x + 5}}} \right) \cdot \frac{{{x^2} - 10x + 25}}{{4x}}\]

\[ = \left[ {\frac{{2\left( {x + 5} \right)}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}} + \frac{{2\left( {x - 5} \right)}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}}} \right] \cdot \frac{{{{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{{4x}}\]

\[ = \frac{{2x + 10 + 2x - 10}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{{4x}}\]

\[ = \frac{{4x}}{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}} \cdot \frac{{{{\left( {x - 5} \right)}^2}}}{{4x}}\]\[ = \frac{{x - 5}}{{x + 5}}.\]

Vậy với \(x \ne 5,\,\,x \ne - 5\) và \(x \ne 0\) thì \(A = \frac{{x - 5}}{{x + 5}}.\)

c) Thay \(x = - 3\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(A,\) ta có: \(A = \frac{{ - 3 - 5}}{{ - 3 + 5}} = \frac{{ - 8}}{2} = - 4.\)

Tam giác \[ABC\]vuông tại \[A\]nên ta có:

\[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\] (Định lí Pythagore)

\[B{C^2} = {30^2} + {40^2} = 2\,\,500,\] do đó \(BC = 50{\rm{\;m}}{\rm{.}}\)

Vậy khoảng cách từ nhà bạn Bình đến nhà bạn Châu là 50m.

a) Tứ giác \[AEIF\] có: \(\widehat {A\,\,} = 90^\circ \) (do \(\Delta ABC\) vuông tại \(A),\) \(\widehat {E\,} = 90^\circ \) (do \(IE \bot AB),\) \(\widehat {F\,} = 90^\circ \) (do \(IF \bot AC).\)

Suy ra \[AEIF\] là hình chữ nhật.

b) Xét \(\Delta ABC\) có \(AI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\) nên \(AI = \frac{1}{2}BC.\)

Mà \(I\) là trung điểm của \(BC\) nên \(IB = IC = \frac{1}{2}BC.\)

Do đó \(IB = IC = IA = \frac{1}{2}BC.\)

Xét \(\Delta ACI\) có \(IA = IC\) nên \(\Delta ACI\) cân tại \(I,\) khi đó \(IF\) là đường cao của tam giác nên đồng thời là đường trung tuyến của \(\Delta ACI.\)

Do đó \[F\] là trung điểm \[AC\] nên \[FA = FC = \frac{1}{2}AC.\]

Mà \(FA = IE\) (do \[AEIF\] là hình chữ nhật) nên \(IE = FC.\)

Tứ giác \(EFCI\) có \(IE = FC\) và \(IE\,{\rm{//}}\,FC\) nên \[EFCI\] là hình bình hành.

c) Xét \(\Delta ABI\) có \(IA = IB\) nên \(\Delta ABI\) cân tại \(I,\) khi đó \(IE\) là đường cao của tam giác nên đồng thời là đường trung tuyến của \[\Delta ABI.\]

Do đó \[E\] là trung điểm \[AB.\]

Xét tứ giác \(AIBG\) có \(E\) là trung điểm của \(AB\) và \(GI\) nên là hình bình hành.

Lại có \(GI \bot AB\) nên \(AIBG\) là hình thoi.

Với \(a,\,\,b,\,\,c\) đôi một khác nhau ta có biểu thức có nghĩa.

Khi đó: \(Q = \frac{{bc}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}} + \frac{{ab}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}}\)

\( = \frac{{bc}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} - \frac{{ac}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}} + \frac{{ab}}{{\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

\( = \frac{{bc\left( {b - c} \right) - ac\left( {a - c} \right) + ab\left( {a - b} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

\( = \frac{{bc\left( {b - c} \right) - {a^2}c + a{c^2} + {a^2}b - a{b^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

\( = \frac{{bc\left( {b - c} \right) + \left( { - {a^2}c + {a^2}b} \right) - \left( {a{b^2} - a{c^2}} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

\( = \frac{{bc\left( {b - c} \right) + {a^2}\left( {b - c} \right) - a\left( {b - c} \right)\left( {b + c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {b - c} \right)\left( {bc + {a^2} - ab - ac} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {b - c} \right)\left[ { - \left( {ac - bc} \right) + \left( {{a^2} - ab} \right)} \right]}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {b - c} \right)\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}} = 1.\)

Vậy giá trị biểu thức \(Q\) không phụ thuộc vào \(a,\,\,b,\,\,c.\)