Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hình thang cân, hình chữ nhật và hình vuông có hai đường chéo bằng nhau.

Hình thoi có hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

a) Ta có \({x^2} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right).\)

Điều kiện xác định của biểu thức \(N\) là \(x + 1 \ne 0,\) \(x - 1 \ne 0,\) \(2 + x \ne 0\) và \({x^2} - 1 \ne 0\)

Hay \(x \ne  - 1,\) \(x \ne 1\) và \(x \ne  - 2.\)

Vậy biểu thức \(N\) xác định khi \(x \ne  - 1,\) \(x \ne 1\) và \(x \ne  - 2.\)

b) Với \(x \ne  - 1,\) \(x \ne 1\) và \(x \ne  - 2,\) ta có:

\(N = \left( {\frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{{x - 1}} + \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}}} \right) \cdot \frac{{x - 1}}{{2 + x}}\)

\[ = \frac{1}{{x + 1}} \cdot \frac{{x - 1}}{{2 + x}} + \frac{1}{{x - 1}} \cdot \frac{{x - 1}}{{2 + x}} + \frac{{{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{x - 1}}{{2 + x}}\]

\[ = \frac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2 + x} \right)}} + \frac{1}{{2 + x}} + \frac{{{x^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2 + x} \right)}}\]

\[ = \frac{{x - 1 + x + 1 + {x^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2 + x} \right)}}\]

\[ = \frac{{{x^2} + 2x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}\]

\[ = \frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{x}{{x + 1}}.\]

Vậy với \(x \ne  - 1,\) \(x \ne 1\) và \(x \ne  - 2,\) thì \(N = \frac{x}{{x + 1}}.\)

c) Ta có \(\left| x \right| = 2\) suy ra \(x = 2\) (thỏa mãn điều kiện) hoặc \(x =  - 2\) (không thỏa mãn điều kiện).

Thay \(x = 2\) vào biểu thức \(N = \frac{x}{{x + 1}},\) ta được:

\(N = \frac{2}{{2 + 1}} = \frac{2}{3}.\)

Vậy \(N = \frac{2}{3}\) khi \(\left| x \right| = 2.\)

Hướng dẫn giải

a) Vì 1 hải lí bằng \[1,852\] km nên ta có: \[y = 1,852x.\]

Giá trị âm của \[x\] trong trường hợp này không có ý nghĩa, vì chiều dài là một đại lượng không âm.

b) Ta có:

Khi \[x = 0\] thì \[y = 0.\]

Khi \[x = 5\] thì \[y = 9,26.\]

Đồ thị của hàm số \[y = 1,852x\] (với \[x\] không âm) là một phần đường thẳng như hình bên, đi qua các điểm \[\left( {0;{\rm{ }}0} \right)\] và \[\left( {5;{\rm{ }}9,26} \right).\]

c) Một hành trình đi biển dài 350 hải lí. Tức là \[x = 350.\]

Khi đó, hành trình dài số km là: \[y = 1,852 \cdot 350 = 648,2\] (km).

Hướng dẫn giải

1)

a) Do \(S.ABCD\) là hình chóp tứ giác đều nên \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(3{\rm{\;m}}{\rm{.}}\)

Do đó, áp dụng định lí Pythagore cho tam giác \(ABD\) vuông tại \(A\) ta được:

\(B{D^2} = A{B^2} + A{D^2} = {3^2} + {3^3} = 18\)

Suy ra \(BD = \sqrt {18} \approx 4,2{\rm{\;m}}{\rm{.}}\)

b) Gọi \(SM\) là trung đoạn của hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) (hình vẽ).

Khi đó \(\Delta SAD\) cân tại \(S\) có \(SM\) là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên \(M\) là trung điểm của \(AD.\) Suy ra \(MD = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1,5{\rm{\;}}\left( {\rm{m}} \right).\)

Xét \(\Delta SMD\) vuông tại \(M\) có \(S{D^2} = S{M^2} + M{D^2}\) (định lí Pythagore)

Suy ra \(S{M^2} = S{D^2} - M{D^2} = 3,{5^2} - 1,{5^2} = 10.\)

Do đó \(SM = \sqrt {10} \approx 3,2{\rm{\;}}\left( {\rm{m}} \right).\)

Diện tích xung quanh của chiếc lều là:

\({S_{xq}} = \frac{1}{2} \cdot \left( {4AD} \right) \cdot SM \approx \frac{1}{2} \cdot \left( {4 \cdot 3} \right) \cdot 3,2 = 19,2{\rm{\;}}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Vậy diện tích vải để làm chiếc lều đó là khoảng \(19,2{\rm{\;}}{{\rm{m}}^2}.\)

2)

a) Ta có \(GF \bot AC\) và \(AB \bot AC\) (do \(\Delta ABC\) vuông tại \(A)\) nên \(GF\,{\rm{//}}\,AB.\)

Xét tứ giác \(BEIF\) có \(BE\,{\rm{//}}\,FI\) (do \(GF\,{\rm{//}}\,AB)\) và \(EI\,{\rm{//}}\,BF\) nên \(BEIF\) là hình bình hành.

b) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có \(AG\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\) nên \(AG = \frac{1}{2}BC\) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Mà \(G\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BG = CG = \frac{1}{2}BC\)

Do đó \(AG = BG = CG = \frac{1}{2}BC.\)

Suy ra \(\Delta ABG\) và \(\Delta ACG\) đều là tam giác cân tại \(G.\)

Xét \(\Delta ABG\) cân tại \(G\) có đường cao \(GE\) nên đồng thời là đường trung tuyến, do đó \(E\) là trung điểm của \[AB\] nên \(BE = AE.\) (1)

Tương tự với \(\Delta ACG\) cân tại \(G\) ta cũng có \(GF\) vừa là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên \(F\) là trung điểm của \(AC.\)

Xét tứ giác \(AEGF\) có:

⦁ \(\widehat {EAF} = 90^\circ \) (do \(\Delta ABC\) vuông tại \(A);\)

⦁ \(\widehat {AEG} = 90^\circ \) (do \(GE \bot AB);\)

⦁ \(\widehat {AFG} = 90^\circ \) (do \(GF \bot AC)\)

Do đó tứ giác \(AEGF\) là hình chữ nhật.

Suy ra \(AE = GF\) (2)

Mà \(BEIF\) là hình bình hành nên \(BE = FI\) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(GF = FI\) hay \(F\) là trung điểm của \(GI.\)

Xét tứ giác \(AGCI\) có hai đường chéo \(GI\) và \(AC\) cắt nhau tại trung điểm \(F\) của mỗi đường nên \(AGCI\) là hình bình hành.

Lại có \(GI\) vuông góc với \(AC\) nên hình bình hành \(AGCI\) là hình thoi.

Để \(AGCI\) là hình vuông thì \(GI = AC\)

Lại có \(AB = 2AE,GI = 2GF\) và \(AE = GF\)nên \(AB = GI\)

Khi đó ta sẽ có \(AB = AC\) hay \(\Delta ABC\) cân tại \(A.\)

Vậy tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\) thì \(AGCI\) là hình vuông.

Hướng dẫn giải

Ta có \(A = x\left( {x - 7} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x - 4} \right) = \left( {{x^2} - 7x} \right)\left( {{x^2} - 7x + 12} \right).\)

Đặt \(t = {x^2} - 7x + 6,\) ta có:

⦁ \({x^2} - 7x = t - 6;\)

⦁ \({x^2} - 7x + 12 = t + 6.\)

Khi đó \(A = \left( {t - 6} \right)\left( {t + 6} \right) = {t^2} - 36.\)

Nhận xét: với mọi \(t\) ta có \({t^2} \ge 0\) nên \({t^2} - 36 \ge - 36\) hay \(A \ge - 36.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({t^2} = 0\) hay \({x^2} - 7x + 6 = 0\)

\[\left( {{x^2} - x} \right) - \left( {6x - 6} \right) = 0\]

\[x\left( {x - 1} \right) - 6\left( {x - 1} \right) = 0\]

\[\left( {x - 1} \right)\left( {x - 6} \right) = 0\]

Suy ra \(x - 1 = 0\) hoặc \(x - 6 = 0\)

\(x = 1\) hoặc \(x = 6\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[A\] bằng \( - 36\) khi \(x \in \left\{ {1;6} \right\}.\)