Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Hai đường thẳng \[y = \left( {{m^2} - 1} \right)x + m\] \(\left( {m \ne \pm 1} \right)\) và \(y = 3x + 2\) trùng nhau khi và chỉ khi:

\({m^2} - 1 = 3\) (*) và \(m = 2\) (**)

Giải (*): \({m^2} - 1 = 3\)

              \({m^2} = 4\)

              \(m = 2\) hoặc \(m = - 2.\)

Kết hợp với (**) ta được \(m = 2\) (thỏa mãn \(m \ne \pm 1).\)

Vậy hai đường thẳng đã cho trùng nhau khi \(m = 2.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hình chóp tam giác đều có 4 mặt, 6 cạnh.

Hình chóp tứ giác đều có 5 đỉnh, đáy là hình vuông.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Công thức tính thể tích hình chóp tứ giác đều là: \(V = \frac{1}{3}Sh.\)

Suy ra diện tích đáy của hình chóp tứ giác đều là: \(S = \frac{{3V}}{h}.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét tứ giác \(ABCD.\)

⦁ Nếu \(ABCD\) có 4 góc nhọn thì \(\widehat {A\,\,} < 90^\circ ,\widehat {B\,} < 90^\circ ,\widehat {C\,} < 90^\circ ,\widehat {D\,} < 90^\circ .\)

Do đó \(\widehat {A\,\,} + \widehat {B\,} + \widehat {C\,} + \widehat {D\,} < 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 360^\circ \) (mâu thuẫn với định lí tổng các góc của một tứ giác).

⦁ Nếu \(ABCD\) có 4 góc vuông thì \(\widehat {A\,\,} = 90^\circ ,\widehat {B\,} = 90^\circ ,\widehat {C\,} = 90^\circ ,\widehat {D\,} = 90^\circ .\)

Do đó \(\widehat {A\,\,} + \widehat {B\,} + \widehat {C\,} + \widehat {D\,} = 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 360^\circ \) (thỏa mãn định lí tổng các góc của một tứ giác).

⦁ Nếu \(ABCD\) có 4 góc tù thì \(\widehat {A\,\,} > 90^\circ ,\widehat {B\,} > 90^\circ ,\widehat {C\,} > 90^\circ ,\widehat {D\,} > 90^\circ .\)

Do đó \(\widehat {A\,\,} + \widehat {B\,} + \widehat {C\,} + \widehat {D\,} > 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 360^\circ \) (mâu thuẫn với định lí tổng các góc của một tứ giác).

⦁ Nếu \(ABCD\) có 1 góc vuông, 3 góc nhọn thì không làm mất tính tổng quát, ta giả sử \(\widehat {A\,\,} = 90^\circ ,\widehat {B\,} < 90^\circ ,\widehat {C\,} < 90^\circ ,\widehat {D\,} < 90^\circ .\)

Do đó \(\widehat {A\,\,} + \widehat {B\,} + \widehat {C\,} + \widehat {D\,} < 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 360^\circ \) (mâu thuẫn với định lí tổng các góc của một tứ giác).

Vậy chỉ có phương án B thỏa mãn định lí tổng các góc của một tứ giác nên ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hình bình hành và hình thoi có hai góc đối bằng nhau. Do đó ta loại phương án A, B, C.

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

a) Ta có \(25{x^2} - 1 = {\left( {5x} \right)^2} - 1 = \left( {5x - 1} \right)\left( {5x + 1} \right).\)

Biểu thức \(A\) xác định khi và chỉ khi \(2x - 3 \ne 0\,;\,\,5x - 1 \ne 0\,;\,\,5x + 1 \ne 0\) hay \(x \ne \frac{3}{2};\,\,x \ne \frac{1}{5};\,\,x \ne  - \frac{1}{5}.\)

b) Với \(x \ne \frac{3}{2};\) \(x \ne \frac{1}{5};\) \(x \ne  - \frac{1}{5}\) ta có:

\(A = \frac{{5x + 1}}{{2x - 3}} \cdot \frac{{x + 2}}{{25{x^2} - 1}} - \frac{{8 - 3x}}{{25{x^2} - 1}}:\frac{{2x - 3}}{{5x + 1}}\)

\( = \frac{{5x + 1}}{{2x - 3}} \cdot \frac{{x + 2}}{{25{x^2} - 1}} - \frac{{8 - 3x}}{{25{x^2} - 1}} \cdot \frac{{5x + 1}}{{2x - 3}}\)

\( = \frac{{5x + 1}}{{2x - 3}} \cdot \left( {\frac{{x + 2}}{{25{x^2} - 1}} - \frac{{8 - 3x}}{{25{x^2} - 1}}} \right)\)

\( = \frac{{5x + 1}}{{2x - 3}} \cdot \left( {\frac{{x + 2 - 8 + 3x}}{{25{x^2} - 1}}} \right)\)

\( = \frac{{5x + 1}}{{2x - 3}} \cdot \frac{{4x - 6}}{{25{x^2} - 1}}\)

\( = \frac{{\left( {5x + 1} \right) \cdot 2\left( {2x - 3} \right)}}{{\left( {2x - 3} \right) \cdot \left( {5x - 1} \right)\left( {5x + 1} \right)}}\)\( = \frac{2}{{5x - 1}}.\)

Do đó \(A = \frac{2}{{5x - 1}}.\)

Từ \(A \cdot B = \frac{{x + 2}}{{5x - 1}}\) suy ra \[B = \frac{{x + 2}}{{5x - 1}}:A = \frac{{x + 2}}{{5x - 1}}:\frac{2}{{5x - 1}} = \frac{{x + 2}}{{5x - 1}} \cdot \frac{{5x - 1}}{2} = \frac{{x + 2}}{2}.\]

Vậy \(B = \frac{{x + 2}}{2}.\)

c) Thay \(x = \frac{3}{5}\) vào biểu thức \(B = \frac{{x + 2}}{2},\) ta được: \(B = \frac{{\frac{3}{5} + 2}}{2} = \frac{{\frac{{13}}{5}}}{2} = \frac{{13}}{{10}}.\)

Vậy với \(x = \frac{3}{5}\) thì \(B = \frac{{13}}{{10}}.\)

Hướng dẫn giải

a) Công thức tính \(y\) theo \(x\) trong trường hợp một người thuê nhà của chủ nhà A là:

\(y = 5\,\,000\,\,000 + 3\,\,500x\) (đồng).

Công thức tính \(y\) theo \(x\) trong trường hợp một người thuê nhà của chủ nhà B là:

\(y = 4\,\,500\,\,000 + 4\,\,000x\) (đồng).

b) Để số tiền thuê nhà phải trả trong mỗi tháng cho chủ nhà A và chủ nhà B bằng nhau thì:

\(5\,\,000\,\,000 + 3\,\,500x = 4\,\,500\,\,000 + 4\,\,000x\)

Suy ra \(4\,\,000x - 3\,\,500x = 5\,\,000\,\,000 - 4\,\,500\,\,000\)

Do đó \(500x = 500\,\,000\)

Nên \(x = 500\,\,000:500 = 1\,\,000\)

Vậy khi số kW.h điện tiêu thụ mỗi tháng của người thuê nhà là \(1\,\,000\) (kW.h) thì số tiền thuê nhà phải trả trong mỗi tháng cho chủ nhà A và chủ nhà B bằng nhau.

Hướng dẫn giải

1)

a) Gọi \(H\) là chân đường cao kẻ từ \(A\) đến \(BC.\)

Bánh tro có dạng hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) nên đáy \(ABC\) là tam giác đều.

Suy ra \(AC = BC = AB = 5{\rm{\;cm}}.\)

Khi đó ta cũng có đường cao \(AH\) đồng thời là đường trung tuyến nên

\(HB = HC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2,5{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) (do \(AH \bot BC)\) có:

\(A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}\) (định lí Pythagore)

Do đó \(A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {5^2} - 2,{5^2} = 25 - 6,25 = 18,75\)

Suy ra \(AH = \sqrt {18,75} = \sqrt {\frac{{75}}{4}} = \sqrt {\frac{{25 \cdot 3}}{4}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{5\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} {\rm{ = }}\frac{{5\sqrt 3 }}{2}{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Vậy chiều cao của mặt đáy chiếc bánh tro là \(\frac{{5\sqrt 3 }}{2}{\rm{\;cm}}.\)

b) Diện tích đáy hình chóp tam giác đều là:

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AH \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \frac{{5\sqrt 3 }}{2} \cdot 5 = \frac{{25\sqrt 3 }}{4}{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Thể tích của hình chóp tam giác đều là:

\(V = \frac{1}{3}{S_{ABC}} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot \frac{{25\sqrt 3 }}{4} \cdot 4 = \frac{{25\sqrt 3 }}{3} \approx {\rm{14,4}}\,{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).\)

Vậy thể tích của chiếc bánh tro khoảng \[14,4{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^3}.\]

2)

a) ⦁ Ta có \(DE = DM\) nên \(D\) là trung điểm của \(EM.\)

Xét tứ giác \(AEBM\) có \(D\) là trung điểm của hai đường chéo \(AB\) và \(EM.\)

Do đó tứ giác \(AEBM\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường trung tuyến \(AM\) ứng với cạnh huyền \(BC\) nên \(AM = \frac{1}{2}BC\) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Vì \(AM\) là đường trung tuyến nên \(M\) là trung điểm của \(BC,\) do đó \(BM = CM = \frac{1}{2}BC.\)

Suy ra \(AM = BM = CM.\)

Hình bình hành \(AEBM\) có hai cạnh kề bằng nhau \(AM = BM\) nên là hình thoi.

⦁ Do \(AEBM\) hình thoi nên \(AE = BM\) và \(AE\,{\rm{//}}\,BM.\)

Do đó \(AE = CM\) và \(AE\,{\rm{//}}\,CM.\)

Tứ giác \(ACME\) có \(AE = CM\) và \(AE\,{\rm{//}}\,CM\) nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Do\(AEBM\) là hình thoi nên để \(AEBM\) là hình vuông thì \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) hay \(AM \bot BC\)

Khi đó \(\Delta ABC\) có đường trung tuyến \(AM\) đồng thời là đường cao nên sẽ là tam giác cân tại \(A.\)

Vậy \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) thì \(AEBM\) là hình vuông.

Hướng dẫn giải

⦁ Ta có: \({\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\)\( = {a^3} + {b^3} + 3ab\left( {a + b} \right)\).

Mà \(a + b = 1\) nên \({a^3} + {b^3} + 3ab \cdot 1 = {1^3}\).

Suy ra \({a^3} + {b^3} = 1 - 3ab.\)

⦁ Ta có: \[{\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\]

Mà \(a + b = 1\) nên \[{a^2} + 2ab + {b^2} = {1^2}\]

Suy ra \({a^2} + {b^2} = 1 - 2ab.\)

Khi đó \(M = {a^3} + {b^3} + 3ab\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 6{a^2}{b^2}\left( {a + b} \right)\)

\( = 1 - 3ab + 3ab\left( {1 - 2ab} \right) + 6{a^2}{b^2} \cdot 1\)

\( = 1 - 3ab + 3ab - 6{a^2}{b^2} + 6{a^2}{b^2}\)\( = 1.\)

Vậy \(M = 1.\)