Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hình vuông vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi.

Do đó nhận định ở phương án D là sai. Ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

c) \[2{x^5} - 4{x^3} + 2x = 0\]

\[2x\left( {{x^4} - 2{x^2} + 1} \right) = 0\]

\[2x\left[ {{{\left( {{x^2}} \right)}^2} - \,\,2{x^2} + {1^2}} \right] = 0\]

\[2x{\left( {{x^2} - 1} \right)^2} = 0\]

\[2x{\left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \right]^2} = 0\]

\[2x{\left( {x - 1} \right)^2}{\left( {x + 1} \right)^2} = 0\]

Suy ra \[2x = 0\] hoặc \[{\left( {x - 1} \right)^2} = 0\] hoặc \[{\left( {x + 1} \right)^2} = 0\]

\[x = 0\] hoặc \[x - 1 = 0\] hoặc \[x + 1 = 0\]

\[x = 0\] hoặc \[x = 1\] hoặc \[x =  - 1\]

Vậy \[x \in \left\{ { - 1\,;\,\,0\,;\,\,1} \right\}\].

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của biểu thức \(S\) là: \[x \ne 0;\,\,\,x + 2 \ne 0\] hay \[x \ne 0;\,\,x \ne  - 2.\]

b) Với \[x \ne 0;\,\,x \ne  - 2,\] ta có:

\(S = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x} \cdot \left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{x + 2}}} \right) - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\)

\( = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x} \cdot 1 - \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x} \cdot \frac{{{x^2}}}{{x + 2}} - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\)

\( = \frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x} - x\left( {x + 2} \right) - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}\)

\( = \left[ {\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{x} - \frac{{{x^2} + 6x + 4}}{x}} \right] - x\left( {x + 2} \right)\)

\( = \frac{{{x^2} + 4x + 4 - {x^2} - 6x - 4}}{x} - x\left( {x + 2} \right)\)

\( = \frac{{ - 2x}}{x} - x\left( {x + 2} \right)\)\( =  - 2 - \left( {{x^2} + 2x} \right).\)

\( =  - 2 - {x^2} - 2x.\)

Ta thấy \[x = 0,1\] thỏa mãn điều kiện xác định.

Do đó, giá trị của biểu thức \[S\] tại \[x = 0,1\] là:

\[S =  - 2 - 0,{1^2} - 2 \cdot 0,1 = --2--0,01--0,2 =  - 2,21.\]

c) Ta có: \(S =  - 2 - {x^2} - 2x =  - \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) - 1 =  - {\left( {x + 1} \right)^2} - 1.\)

Suy ra \[S\] đạt giá trị lớn nhất khi \( - {\left( {x + 1} \right)^2} - 1\) đạt giá trị lớn nhất.

Mà với mọi x, ta có \[{\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\] hay \[ - {\left( {x + 1} \right)^2} - 1 \le  - 1.\]

Vậy giá trị lớn nhất của \[S\] là \[ - 1\] khi \[{\left( {x + 1} \right)^2} = 0\] hay \[x =  - 1\] (thoả mãn điều kiện xác định).

Hướng dẫn giải

1)

a) Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) là:

\({S_{xq}} = \frac{1}{2} \cdot \left( {AB + BC + CA} \right) \cdot SI = \frac{1}{2} \cdot \left( {5 + 5 + 5} \right) \cdot 6 = 45{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right){\rm{.}}\)

Tam giác \(ABC\) là tam giác đều nên đường trung tuyến \(CI\) đồng thời là đường cao.

Xét \(\Delta ACI\) vuông tại \(I\) có \(A{C^2} = A{I^2} + C{I^2}\)

Suy ra \(C{I^2} = A{C^2} - A{I^2} = {5^2} - {\left( {\frac{1}{2} \cdot 5} \right)^2} = 25 - \frac{{25}}{4} = \frac{{75}}{4}\)

Do đó \(CI = \sqrt {\frac{{75}}{4}} \approx 4,33{\rm{\;cm}}.\)

Diện tích đáy của hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) là:

$S_{đáy}=\frac{1}{2}\cdot CI\cdot AB\approx \frac{1}{2}\cdot 4,33\cdot 5\approx 10,83\left({\text{cm}}^2\right)\text{.}$

Diện tích toàn phần của hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) là:

$S_{tp}=S_{xq}+S_{đáy}\approx 45+10,83=55,83\left({\text{cm}}^2\right)\text{.}$

b) Thể tích của hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) là:

$V=\frac{1}{3}\cdot SO\cdot S_{đáy}\approx \frac{1}{3}\cdot 5,8\cdot 10,83\approx 20,94\left({\text{cm}}^3\right).$

2)

a) Do tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AD = BC,\,\,AD\,{\rm{//}}\,BC\).

Vì \(AD = BC,\) \(BE = \frac{1}{2}BC\) và \(AF = \frac{1}{2}AD\) (do \(F\) là trung điểm của \(AD)\) nên \(BE = AF.\)

Tứ giác \(ABEF\) có \(BE = AF\) và \(BE\,{\rm{//}}\,AF\) (vì \(AD\,{\rm{//}}\,BC)\)

Suy ra, tứ giác \(ABEF\) là hình bình hành.

Do \(E\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BE = \frac{1}{2}BC\) hay \(BC = 2BE.\)

Vì \(BC = 2AB\) và \(BC = 2BE\) nên \(AB = BE\).

Hình bình hành \(ABEF\) có \(AB = BE\) nên \(ABEF\) là hình thoi.

b) Vì tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB = CD,\,\,AB\,{\rm{//}}\,CD\).

Vì \(AB = CD\) và \(AB = BI\) (do \(B\) là trung điểm của \(AI)\) nên \(BI = CD\).

Tứ giác \(BICD\) có \(BI\,{\rm{//}}\,CD\) (vì \(AB\,{\rm{//}}\,CD)\) và \(BI = CD\) nên tứ giác \(BICD\) là hình bình hành.

Ta thấy \(BD\) vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác của tam giác \(ADI\) nên tam giác \(ADI\) cân tại \(D\).

Suy ra \(BD\) cũng là đường cao của tam giác \(ADI\) nên \(BD \bot BI\) hay \(\widehat {DBI} = 90^\circ .\)

Hình bình hành \(BICD\) có \(\widehat {DBI} = 90^\circ \) nên tứ giác \(BICD\) là hình chữ nhật.

Khi đó, \(E\) là trung điểm của hai đường chéo \(BC\) và \(DI\).

Tam giác \(ADI\) cân tại \(D\) có \(\widehat {DAI} = 60^\circ \) nên tam giác \(ADI\) là tam giác đều.

\(\Delta ADI\) là tam giác đều có \(AE\) là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao.

Do đó, \(AE \bot DI\) hay \(\widehat {AED} = 90^\circ \).

Hướng dẫn giải

Theo đề bài: \({x^2} + \frac{8}{{{x^2}}} + \frac{{{y^2}}}{8} = 8\) suy ra \(2{x^2} + \frac{{16}}{{{x^2}}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 16\)

Ta có: \[2{x^2} + \frac{{16}}{{{x^2}}} + \frac{{{y^2}}}{4} = \left( {{x^2} + \frac{{16}}{{{x^2}}} - 8} \right) + \left( {{x^2} + \frac{{{y^2}}}{4} + xy} \right) - xy + 8\]

\[ = {\left( {x - \frac{4}{x}} \right)^2} + {\left( {x + \frac{y}{2}} \right)^2} - xy + 8.\]

Mà \(2{x^2} + \frac{{16}}{{{x^2}}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 16\) nên \[{\left( {x - \frac{4}{x}} \right)^2} + {\left( {x + \frac{y}{2}} \right)^2} - xy + 8 = 16\].

Do đó \[{\left( {x - \frac{4}{x}} \right)^2} + {\left( {x + \frac{y}{2}} \right)^2} = xy + 8.\]

Nhận xét: Với mọi \(x,y\) ta có \[{\left( {x - \frac{4}{x}} \right)^2} \ge 0,\,\,{\left( {x + \frac{y}{2}} \right)^2} \ge 0\]

Do đó \[xy + 8 \ge 0\] hay \[xy \ge  - 8.\]

Khi đó \(A = xy + 2\,\,024 \ge  - 8 + 2\,\,024 = 2\,\,016.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - \frac{4}{x}} \right)^2} = 0\\{\left( {x + \frac{y}{2}} \right)^2} = 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}x - \frac{4}{x} = 0\\x + \frac{y}{2} = 0\end{array} \right.\]

Tức là \[\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4 = 0\\y =  - 2x\end{array} \right.\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  - 4\end{array} \right.\] hoặc \[\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2\\y = 4\end{array} \right..\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A\) là \(2\,\,016\) khi \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {2; - 4} \right);\left( { - 2;4} \right)} \right\}.\)