Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Để đường thẳng \(y = \left( {m - 1} \right)x + 3\) (với \(m \ne 1)\) song song với đường thẳng \(y = x\) thì \(m - 1 = 1\) và \(3 \ne 0\) (luôn đúng) hay \(m = 2.\)

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Số cạnh bên của hình chóp tam giác đều là 3.

Số cạnh đáy của hình chóp tam giác đều là 3.

Tổng số cạnh bên và cạnh đáy của hình chóp tam giác đều là: \[3 + 3 = 6.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Diện tích xung quanh của hình chóp đều bằng tích nửa chu vi đáy và trung đoạn: \({S_{xq}} = \frac{1}{2} \cdot C \cdot d.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat {A\,\,} + \widehat {B\,} + \widehat {C\,} + \widehat {D\,} = 360^\circ \)

Suy ra \(\widehat {A\,\,} + \widehat {B\,} = 360^\circ - \left( {\widehat {C\,} + \widehat {D\,}} \right) = 360^\circ - \left( {50^\circ + 60^\circ } \right) = 250^\circ \)

Mà \(\widehat {A\,\,}:\widehat {B\,} = 3:2\) nên \(\frac{{\widehat {A\,\,}}}{3} = \frac{{\widehat {B\,}}}{2}\).

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có \(\frac{{\widehat {A\,\,}}}{3} = \frac{{\widehat {B\,}}}{2} = \frac{{\widehat {A\,\,} + \widehat {B\,}}}{{3 + 2}} = \frac{{250^\circ }}{5} = 50^\circ \)

Do đó \(\widehat {B\,} = 2 \cdot 50^\circ = 100^\circ .\)

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là hình thoi.

Tứ giác có 4 góc bằng nhau là hình chữ nhật.

Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau và 4 góc bằng nhau là hình vuông.

Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau không phải là hình bình hành.

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

a) Ta có: ⦁ \(2{x^2} + 8 = 2\left( {{x^2} + 4} \right).\)

⦁ \[{x^3} - 2{x^2} + 4x - 8 = \left( {{x^3} - 2{x^2}} \right) + \left( {4x - 8} \right) = {x^2}\left( {x - 2} \right) + 4\left( {x - 2} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)\].

Với mọi \(x\) thì \({x^2} \ge 0\) nên \({x^2} + 4 \ge 4 > 0\) hay \({x^2} + 4 > 0.\)

Khi đó, điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là  \(x - 2 \ne 0\) và \(x \ne 0\) hay \(x \ne 2\) và \(x \ne 0.\)

b) Với \(x \ne 2\) và \(x \ne 0,\) ta có:

\(A = \left( {\frac{{2x - {x^2}}}{{2{x^2} + 8}} - \frac{{2{x^2}}}{{{x^3} - 2{x^2} + 4x - 8}}} \right) \cdot \left( {\frac{2}{{{x^2}}} - \frac{{x - 1}}{x}} \right)\)

\( = \left[ {\frac{{2x - {x^2}}}{{2\left( {{x^2} + 4} \right)}} - \frac{{2{x^2}}}{{\left( {{x^2} + 4} \right)\left( {x - 2} \right)}}} \right] \cdot \left[ {\frac{2}{{{x^2}}} - \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{{x^2}}}} \right]\)

\[ = \frac{{\left( {2x - {x^2}} \right)\left( {x - 2} \right) - 2{x^2} \cdot 2}}{{2\left( {{x^2} + 4} \right)\left( {x - 2} \right)}} \cdot \frac{{2 - {x^2} + x}}{{{x^2}}}\]

\[ = \frac{{2{x^2} - 4x - {x^3} + 2{x^2} - 4{x^2}}}{{2\left( {{x^2} + 4} \right)\left( {x - 2} \right)}} \cdot \frac{{ - {x^2} + 2x - x + 2}}{{{x^2}}}\]

\[ = \frac{{ - 4x - {x^3}}}{{2\left( {{x^2} + 4} \right)\left( {x - 2} \right)}} \cdot \frac{{ - x\left( {x - 2} \right) - \left( {x - 2} \right)}}{{{x^2}}}\]

\[ = \frac{{ - x\left( {{x^2} + 4} \right)}}{{2\left( {{x^2} + 4} \right)\left( {x - 2} \right)}} \cdot \frac{{ - \left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2}}}\]\[ = \frac{{x + 1}}{{2x}}.\]

Vậy với \(x \ne 2\) và \(x \ne 0,\) thì \(A = \frac{{x + 2}}{{2x}}.\)

c) Thay \(x = 2\,\,024\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(A = \frac{{x + 2}}{{2x}},\) ta được:

\(A = \frac{{2\,\,024 + 2}}{{2 \cdot 2\,\,024}} = \frac{{2\,\,026}}{{2 \cdot 2\,\,024}} = \frac{{1\,\,013}}{{2\,\,024}}.\)

Vậy với \(x = 2\,\,024\) thì \(A = \frac{{1\,\,013}}{{2\,\,024}}.\)

Hướng dẫn giải

a) Nhiệt lượng chì tỏa ra để giảm nhiệt độ từ \(100^\circ {\rm{C}}\) xuống \(t^\circ {\rm{C}}\) là:

\({Q_{chi}} = 0,31 \cdot 130 \cdot \left( {100 - t} \right) =  - 40,3t + 4\,\,030\) (J).

Công thức trên là hàm số bậc nhất với hệ số \(a =  - 40,3\) và \(b = 4\,\,030.\)

b) Nhiệt lượng chì thu vào để tăng nhiệt độ từ \(58,5^\circ {\rm{C}}\) lên \(t^\circ {\rm{C}}\) là:

\({Q_{chi}} = 0,25 \cdot 4\,\,200 \cdot \left( {t - 58,5} \right) = 1\,\,050t - 61\,\,425\) (J).

Khi cân bằng nhiệt, nhiệt lượng tỏa ra bằng với nhiệt lượng thu vào nên ta có: \({Q_{nuoc}} = {Q_{chi}}\).

Do đó \(1\,\,050t - 61\,\,425 =  - 40,3t + 4\,\,030\)

\(1\,\,090,3t = 65\,\,455\)

\(t \approx 60\)

Vậy nhiệt độ của nước và chì khi đạt trạng thái cân bằng nhiệt là khoảng \(60^\circ {\rm{C}}.\)

Hướng dẫn giải

1) a) Ta có \(CM \bot AB\) và \(MA = MB = \frac{1}{2}CB.\)

Vì \(SO\) là đường cao của hình chóp nên \(O\) là trọng tâm của tam giác \(ABC.\)

Do đó \(CM = \frac{3}{2}CO = \frac{3}{2} \cdot 2\sqrt 3 = 3\sqrt 3 {\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông \(CBM,\) ta có: \(C{B^2} = C{M^2} + M{B^2}\)

Suy ra \(C{M^2} = C{B^2} - M{B^2} = C{B^2} - {\left( {\frac{1}{2}CB} \right)^2} = \frac{3}{4}C{B^2}.\)

Do đó \({\left( {3\sqrt 3 } \right)^2} = \frac{3}{4}C{B^2}\) suy ra \(CB = 6{\rm{\;cm}}.\)

Vì các mặt của hình chóp \(S.ABC\) là các tam giác đều nên các cạnh bên của hình chóp có độ dài là \(6{\rm{\;cm}}.\)

b) Vì các tam giác \(SAB\) và \(ABC\) là các tam giác đều bằng nhau nên ta có \(SM = CM = 3\sqrt 3 {\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right){\rm{.}}\)

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) là:

\({S_{xq}} = \frac{1}{2}\left( {AB + BC + CA} \right) \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot \left( {6 + 6 + 6} \right) \cdot 3\sqrt 3 = 27\sqrt 3 \approx 46,77{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right){\rm{.}}\)

2)

a) Xét \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có \(AH\) là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao của tam giác.

Do đó \(AH \bot BC\) nên \(\Delta AHB\) và \(\Delta AHC\) đều vuông tại \(H.\)

Xét \(\Delta AHB\) vuông tại \(H\) có \(HK\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AB\) nên \(KH = \frac{1}{2}AB\) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông).

Tương tự, xét \(\Delta AHC\) vuông tại \(H\) ta có \(IH = \frac{1}{2}AC.\)

Mà \(I,\) \(K\) lần lượt là trung điểm của \(AC\) và \(AB\) nên \(KA = KB = \frac{1}{2}AB;\) \(IA = IC = \frac{1}{2}AC.\)

Lại có \(AB = AC\) (do \(\Delta ABC\) cân tại \(A)\)

Do đó \(KA = KH = IA = IH.\)

Xét tứ giác \(AKHI\) có \(KA = KH = IA = IH\) nên là hình thoi.

b) Xét tứ giác \(AHCE\) có \(I\) là trung điểm của hai đường chéo \(AC,HE\) nên \(AHCE\) là hình bình hành.

Lại có \(\widehat {AHC} = 90^\circ \) nên hình bình hành \(AHCE\) là hình chữ nhật.

Để hình chữ nhật \(AHCE\) là hình vuông thì hai cạnh kề bằng nhau, tức \(HA = HC.\)

Mà \(H\) là trung điểm của \(BC\) nên \(HB = HC = \frac{1}{2}BC.\)

Khi đó \[HA = HB = HC = \frac{1}{2}BC.\]

Xét \(\Delta ABC\) có đường trung tuyến \(AH\) thỏa mãn \[HA = \frac{1}{2}BC\] nên \(\Delta ABC\) vuông tại \(A.\)

Vậy \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(A\) thì \(AHCE\) là hình vuông.

Hướng dẫn giải

Ta có: \(M = \frac{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}}{{\left( {b - 2} \right)\left( {c - 2} \right)}} + \frac{{{{\left( {b - 2} \right)}^2}}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {c - 2} \right)}} + \frac{{{{\left( {c - 2} \right)}^2}}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {b - 2} \right)}}\)

\( = \frac{{{{\left( {a - 2} \right)}^3} + {{\left( {b - 2} \right)}^3} + {{\left( {c - 2} \right)}^3}}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {b - 2} \right)\left( {c - 2} \right)}}\).

Đặt \[a - 2 = x\,;\,\,b - 2 = y\,;\,\,c - 2 = z.\]

Khi đó \(M = \frac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{{xyz}}.\)

Mặt khác, từ \(a + b + c = 6\) suy ra \(\left( {a - 2} \right) + \left( {b - 2} \right) + \left( {c - 2} \right) = 0\)

Hay \(x + y + z = 0\)

Suy ra \(x + y =  - z\)

\[{\left( {x + y} \right)^3} = {\left( { - z} \right)^3}\]

\({x^3} + {y^3} + 3xy\left( {x + y} \right) =  - {z^3}\)

\({x^3} + {y^3} + 3xy\left( { - z} \right) =  - {z^3}\)

\({x^3} + {y^3} + {z^3} = 3xyz\).

Do đó \(M = \frac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{{xyz}} = \frac{{3xyz}}{{xyz}} = 3.\)

Vậy \(M = 3.\)