Bộ 10 đề thi cuối kì Toán 8 Cánh diều có đáp án - Đề 6

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có \[{\left( {x - 3y} \right)^2} = {x^2} - 2 \cdot x \cdot 3y + {\left( {3y} \right)^2} = {x^2} - 6xy + 9{y^2}.\]

Đơn thức cần điền là \[9{y^2}.\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Biểu thức \(\frac{{2{x^2} - x + 1}}{{\frac{1}{{x - y}}}}\) không phải phân thức vì \(\frac{1}{{x - y}}\) không phải là đa thức.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tung độ giao điểm của đồ thị hàm số bậc nhất \(y = - 2x + 4\) với trục \(Ox\) là 0.

Do đó ta có \(0 = - 2x + 4\)

Suy ra \(x = 2.\)

Vậy tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số bậc nhất \(y = - 2x + 4\) với trục \(Ox\) là \(\left( {2\,;\,\,0} \right).\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét đường thẳng \(y = ax + b.\)

⦁ Khi \(a < 0\) thì góc tạo bởi đường thẳng \(y = ax + b\) và trục \[Ox\] là góc tù.

⦁Khi \(a = 0\) thì ta có hàm số \(y = b,\) đường thẳng này song song với trục \(Ox.\)

⦁ Thay \(x = 0\) vào hàm số \(y = ax + b,\) ta được \(y = a \cdot 0 + b = b.\) Do đó đường thẳng \(y = ax + b\) đi qua điểm \(\left( {0;b} \right).\)

⦁Với \(a \ne 0,\) khi \(a\) càng lớn thì góc tạo bởi đường thẳng \(y = ax + b\) và trục \[Ox\] càng lớn.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đáy của hình chóp tam giác đều là tam giác đều.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Công thức tính thể tích của hình chóp đều là: \(V = \frac{1}{3}Sh\)

Suy ra diện tích đáy là \(S = \frac{{3V}}{h}.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét \(\Delta ICD\) có \(\widehat {{C_1}} + \widehat {{D_1}} + \widehat {CID} = 180^\circ \) (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra \(\widehat {{C_1}} + \widehat {{D_1}} = 180^\circ - \widehat {CID} = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ .\)

Do \(CI\) là tia phân giác của \(\widehat {C\,}\) nên \(\widehat {{C_1}} = \frac{1}{2}\widehat {C\,}.\)

Do \(DI\) là tia phân giác của \(\widehat {D\,}\) nên \(\widehat {{D_1}} = \frac{1}{2}\widehat {D\,}.\)

Suy ra \(\widehat {{C_1}} + \widehat {{D_1}} = \frac{1}{2}\widehat {C\,} + \frac{1}{2}\widehat {D\,} = \frac{1}{2}\left( {\widehat {C\,} + \widehat {D\,}} \right)\)

Do đó \[\widehat {C\,} + \widehat {D\,} = 2\left( {\widehat {{C_1}} + \widehat {{D_1}}} \right) = 2 \cdot 65^\circ = 130^\circ .\]

Xét tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat {A\,\,} + \widehat {B\,} + \widehat {C\,} + \widehat {D\,} = 360^\circ \) (tổng các góc của một tứ giác)

Do đó \[\widehat {A\,\,} + \widehat {B\,} = 360^\circ - \left( {\widehat {C\,} + \widehat {D\,}} \right) = 360^\circ - 130^\circ = 230^\circ .\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

Hướng dẫn giải

a) \[2{x^2} - 8x = 0\] \[2x\left( {x - 4} \right) = 0\] Suy ra \[2x = 0\] hoặc \[x - 4 = 0\]  \[x = 0\] hoặc \[x = 4\] Vậy \(x \in \left\{ {0;\,\,4} \right\}\). b) \({\left( {x + 2} \right)^2} - x\left( {x - 1} \right) = 10\) \({x^2} + 4x + 4 - {x^2} + x = 10\) \[\left( {{x^2} - {x^2}} \right) + \left( {4x + x} \right) = 10 - 4\] \(5x = 6\) \(x = \frac{6}{5}\) Vậy\(x = \frac{6}{5}\).

c) \[{x^3} - 6{x^2} + 9x = 0\] \[x\left( {{x^2} - 6x + 9} \right) = 0\] \[x{\left( {x - 3} \right)^2} = 0\] Suy ra \[x = 0\] hoặc \[{\left( {x - 3} \right)^2} = 0{\rm{ }}\]  \[x = 0\] hoặc \[x - 3 = 0{\rm{ }}\]  \[x = 0\] hoặc \[x = 3\] Vậy \(x \in \left\{ {0;\,\,3} \right\}\).

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của biểu thức \[D\] là: \[3x \ne 0;{\rm{ }}x + 1 \ne 0;\]\(\frac{{2 - 4x}}{{x + 1}} \ne 0\)

Xét \[3x \ne 0\] ta có \[x \ne 0.\]

Xét \[x + 1 \ne 0\] ta có \[x \ne --1.\]

Xét \(\frac{{2 - 4x}}{{x + 1}} \ne 0\) ta có \[2--4x \ne 0\] và \[x + 1 \ne 0,\] hay \(x \ne \frac{1}{2}\) và \[x \ne --1.\]

Vậy điều kiện xác định của biểu thức \[D\] là \(x \ne 0;x \ne  - 1;x \ne \frac{1}{2}.\)

b) Với \(x \ne 0;x \ne  - 1;x \ne \frac{1}{2},\) ta có:

\(D = \left( {\frac{{x + 2}}{{3x}} + \frac{2}{{x + 1}} - 3} \right):\frac{{2 - 4x}}{{x + 1}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) + 2 \cdot 3x - 3 \cdot 3x\left( {x + 1} \right)}}{{3x \cdot \left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 1}}{{2 - 4x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{{x^2} + 2x + x + 2 + 6x - 9{x^2} - 9x}}{{3x\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{x + 1}}{{2 - 4x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{ - 8{x^2} + 2}}{{3x\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{x + 1}}{{2 - 4x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{2\left( {1 - 4{x^2}} \right) \cdot \left( {x + 1} \right)}}{{3x\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {2 - 4x} \right)}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{2\left( {1 - 2x} \right)\left( {1 + 2x} \right)}}{{3x \cdot 2\left( {1 - 2x} \right)}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{1 + 2x}}{{3x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}} = \frac{{1 + 2x - 3x + {x^2} - 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{{x^2} - x}}{{3x}} = \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{3x}} = \frac{{x - 1}}{3}\).

Vậy với \(x \ne 0;x \ne  - 1;x \ne \frac{1}{2},\) thì \(D = \frac{{x - 1}}{3}.\)

c) Ta thấy \[x = \frac{1}{2}\] thỏa mãn điều kiện xác định.

Do đó, giá trị của biểu thức \[D\] tại \[x = \frac{1}{2}\] là: \(D = \frac{{\frac{1}{2} - 1}}{3} = \frac{{ - \frac{1}{2}}}{3} =  - \frac{1}{6}.\)

Vậy \(D =  - \frac{1}{6}\) khi \(x = \frac{1}{2}.\)

Hướng dẫn giải

a) 1 triệu đồng \[ = 1{\rm{ }}000\] nghìn đồng.

Hàm số biểu thị tổng chi phí \[y\] (nghìn đồng) để thuê một chiếc thuyền du lịch trong \[x\] (giờ) là: \[y = 1{\rm{ }}000 + 500x\] (nghìn đồng).

b) Đồ thị hàm số \[y = 1{\rm{ }}000 + 500x\] đi qua hai điểm \[\left( {--2\,;\,\,0} \right)\] và \[\left( {0\,;\,\,1{\rm{ }}000} \right)\] nên đồ thị hàm số được vẽ như hình dưới.

Tổng chi phí cho một lần thuê trong \[x = 3\] giờ tương ứng với điểm \[y = 2{\rm{ }}500\] nghìn đồng = 2 triệu 500 nghìn đồng.

c) Giao điểm của đồ thị với trục tung là điểm \[\left( {0\,;\,\,\,1{\rm{ }}000} \right).\] Giao điểm này biểu thị chi phí cố định khi thuê thuyền, dù không sử dụng giờ nào (tức là \[x = 0)\] vẫn phải trả phí 1 triệu đồng này, nếu đặt thuê.

Hướng dẫn giải

1) a) Chiều cao của mỗi hình chóp tứ giác đều là \(30:2 = 15{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Thể tích của lồng đèn quả trám là: \(V = 2 \cdot \left( {\frac{1}{3} \cdot {{20}^2} \cdot 15} \right) = 4\,\,000{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).\)

b) Một nửa lồng đèn được mô tả bởi hình chóp \(S.ABCD\) với các kích thước như hình vẽ.

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC.\) Do đó \(MB = MC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right){\rm{.}}\)

Vì \(\Delta SBC\) cân tại \(S\) nên đường trung tuyến \(SM\) đồng thời là đường cao, do đó \(SM \bot BC\) nên \(\Delta SBM\) vuông tại \(M.\)

Áp dụng định lí Pythagore cho \(\Delta SBM\) vuông tại \(M,\) ta có:

\(S{B^2} = S{M^2} + M{B^2}\)

Suy ra \(S{M^2} = S{B^2} - M{B^2} = {26^2} - {10^2} = 676 - 100 = 576.\)

Do đó \[SM = 24{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).\]

Diện tích xung quanh (diện tích 4 mặt bên) của hình chóp tứ giác đều là:

\({S_{xq}} = \frac{1}{2} \cdot \left( {4 \cdot 20} \right) \cdot 24 = 960{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Diện tích giấy mờ bạn Hà cần chuẩn bị để làm lồng đèn hình quả trám đó là:

\(S = 2{S_{xq}} = 2 \cdot 960 = 1\,\,920{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Vậy diện tích giấy mờ bạn Hà cần chuẩn bị để làm lồng đèn hình quả trám đó là \(1\,\,920{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}.\)

2)

a) Tứ giác \(ABCD\) có hai đường chéo \(AC,\,\,BD\) cắt nhau tại trung điểm \(N\) của mỗi đường nên \(ABCD\) là hình bình hành.

Do đó \(AD\,{\rm{//}}\,BC.\)

Ta có \(AP \bot BC;\,\,AD\,{\rm{//}}\,BC\) suy ra \(AP \bot AD\) hay \(\widehat {PAQ} = 90^\circ \).

Vì \(AP \bot BC\,,\,\,CQ \bot AD\,\) nên \(\widehat {APC} = 90^\circ ;\,\,\widehat {AQC} = 90^\circ \).

Tứ giác \(APCQ\) có \(\widehat {PAQ} = 90^\circ \); \(\widehat {APC} = 90^\circ ;\,\,\widehat {AQC} = 90^\circ \) nên là hình chữ nhật.

Khi đó hai đường chéo \(AC,\,\,PQ\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà \(N\) là trung điểm của \(AC\) nên \(N\) là trung điểm của \(PQ\).

b) Theo câu a, \(ABCD\) là hình bình hành, nên để \(ABCD\) là hình vuông thì ta cần thêm điều kiện \(AB \bot BC,\,\,AB = BC\) hay\(\Delta ABC\) vuông cân tại \(B\,.\)

Vậy để tứ giác \(ABCD\) là hình vuông thì tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\,.\)

Hướng dẫn giải

Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} = ab + bc + ca\)

\(2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} = 2ab + 2bc + 2ca\)

\(2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ca = 0\)

\(\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{c^2} - 2ac + {a^2}} \right) = 0\)

\({\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} = 0\) (*)

Nhận xét: Với mọi \(a,b,c\) ta có \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0;{\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\)

Khi đó, \({\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\)

Do đó để (*) xảy ra thì \[\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^2} = 0\\{\left( {b - c} \right)^2} = 0\\{\left( {c - a} \right)^2} = 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\b - c = 0\\c - a = 0\end{array} \right.\] tức là \[\left\{ \begin{array}{l}a = b\\b = c\\c = a\end{array} \right.\].

Khi đó \[a = b = c\] và \(a + b + c = 2025\)

Do đó \[a = b = c = \frac{{2\,\,025}}{3} = 675.\]