Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của biểu thức \[D\] là: \[3x \ne 0;{\rm{ }}x + 1 \ne 0;\]\(\frac{{2 - 4x}}{{x + 1}} \ne 0\)

Xét \[3x \ne 0\] ta có \[x \ne 0.\]

Xét \[x + 1 \ne 0\] ta có \[x \ne --1.\]

Xét \(\frac{{2 - 4x}}{{x + 1}} \ne 0\) ta có \[2--4x \ne 0\] và \[x + 1 \ne 0,\] hay \(x \ne \frac{1}{2}\) và \[x \ne --1.\]

Vậy điều kiện xác định của biểu thức \[D\] là \(x \ne 0;x \ne  - 1;x \ne \frac{1}{2}.\)

b) Với \(x \ne 0;x \ne  - 1;x \ne \frac{1}{2},\) ta có:

\(D = \left( {\frac{{x + 2}}{{3x}} + \frac{2}{{x + 1}} - 3} \right):\frac{{2 - 4x}}{{x + 1}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) + 2 \cdot 3x - 3 \cdot 3x\left( {x + 1} \right)}}{{3x \cdot \left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 1}}{{2 - 4x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{{x^2} + 2x + x + 2 + 6x - 9{x^2} - 9x}}{{3x\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{x + 1}}{{2 - 4x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{ - 8{x^2} + 2}}{{3x\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{x + 1}}{{2 - 4x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{2\left( {1 - 4{x^2}} \right) \cdot \left( {x + 1} \right)}}{{3x\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {2 - 4x} \right)}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{2\left( {1 - 2x} \right)\left( {1 + 2x} \right)}}{{3x \cdot 2\left( {1 - 2x} \right)}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{1 + 2x}}{{3x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}} = \frac{{1 + 2x - 3x + {x^2} - 1}}{{3x}}\)

\( = \frac{{{x^2} - x}}{{3x}} = \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{3x}} = \frac{{x - 1}}{3}\).

Vậy với \(x \ne 0;x \ne  - 1;x \ne \frac{1}{2},\) thì \(D = \frac{{x - 1}}{3}.\)

c) Ta thấy \[x = \frac{1}{2}\] thỏa mãn điều kiện xác định.

Do đó, giá trị của biểu thức \[D\] tại \[x = \frac{1}{2}\] là: \(D = \frac{{\frac{1}{2} - 1}}{3} = \frac{{ - \frac{1}{2}}}{3} =  - \frac{1}{6}.\)

Vậy \(D =  - \frac{1}{6}\) khi \(x = \frac{1}{2}.\)

Hướng dẫn giải

a) 1 triệu đồng \[ = 1{\rm{ }}000\] nghìn đồng.

Hàm số biểu thị tổng chi phí \[y\] (nghìn đồng) để thuê một chiếc thuyền du lịch trong \[x\] (giờ) là: \[y = 1{\rm{ }}000 + 500x\] (nghìn đồng).

b) Đồ thị hàm số \[y = 1{\rm{ }}000 + 500x\] đi qua hai điểm \[\left( {--2\,;\,\,0} \right)\] và \[\left( {0\,;\,\,1{\rm{ }}000} \right)\] nên đồ thị hàm số được vẽ như hình dưới.

Tổng chi phí cho một lần thuê trong \[x = 3\] giờ tương ứng với điểm \[y = 2{\rm{ }}500\] nghìn đồng = 2 triệu 500 nghìn đồng.

c) Giao điểm của đồ thị với trục tung là điểm \[\left( {0\,;\,\,\,1{\rm{ }}000} \right).\] Giao điểm này biểu thị chi phí cố định khi thuê thuyền, dù không sử dụng giờ nào (tức là \[x = 0)\] vẫn phải trả phí 1 triệu đồng này, nếu đặt thuê.

Hướng dẫn giải

1) a) Chiều cao của mỗi hình chóp tứ giác đều là \(30:2 = 15{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Thể tích của lồng đèn quả trám là: \(V = 2 \cdot \left( {\frac{1}{3} \cdot {{20}^2} \cdot 15} \right) = 4\,\,000{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).\)

b) Một nửa lồng đèn được mô tả bởi hình chóp \(S.ABCD\) với các kích thước như hình vẽ.

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC.\) Do đó \(MB = MC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right){\rm{.}}\)

Vì \(\Delta SBC\) cân tại \(S\) nên đường trung tuyến \(SM\) đồng thời là đường cao, do đó \(SM \bot BC\) nên \(\Delta SBM\) vuông tại \(M.\)

Áp dụng định lí Pythagore cho \(\Delta SBM\) vuông tại \(M,\) ta có:

\(S{B^2} = S{M^2} + M{B^2}\)

Suy ra \(S{M^2} = S{B^2} - M{B^2} = {26^2} - {10^2} = 676 - 100 = 576.\)

Do đó \[SM = 24{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).\]

Diện tích xung quanh (diện tích 4 mặt bên) của hình chóp tứ giác đều là:

\({S_{xq}} = \frac{1}{2} \cdot \left( {4 \cdot 20} \right) \cdot 24 = 960{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Diện tích giấy mờ bạn Hà cần chuẩn bị để làm lồng đèn hình quả trám đó là:

\(S = 2{S_{xq}} = 2 \cdot 960 = 1\,\,920{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Vậy diện tích giấy mờ bạn Hà cần chuẩn bị để làm lồng đèn hình quả trám đó là \(1\,\,920{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}.\)

2)

a) Tứ giác \(ABCD\) có hai đường chéo \(AC,\,\,BD\) cắt nhau tại trung điểm \(N\) của mỗi đường nên \(ABCD\) là hình bình hành.

Do đó \(AD\,{\rm{//}}\,BC.\)

Ta có \(AP \bot BC;\,\,AD\,{\rm{//}}\,BC\) suy ra \(AP \bot AD\) hay \(\widehat {PAQ} = 90^\circ \).

Vì \(AP \bot BC\,,\,\,CQ \bot AD\,\) nên \(\widehat {APC} = 90^\circ ;\,\,\widehat {AQC} = 90^\circ \).

Tứ giác \(APCQ\) có \(\widehat {PAQ} = 90^\circ \); \(\widehat {APC} = 90^\circ ;\,\,\widehat {AQC} = 90^\circ \) nên là hình chữ nhật.

Khi đó hai đường chéo \(AC,\,\,PQ\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà \(N\) là trung điểm của \(AC\) nên \(N\) là trung điểm của \(PQ\).

b) Theo câu a, \(ABCD\) là hình bình hành, nên để \(ABCD\) là hình vuông thì ta cần thêm điều kiện \(AB \bot BC,\,\,AB = BC\) hay \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(B\,.\)

Vậy để tứ giác \(ABCD\) là hình vuông thì tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\,.\)

Hướng dẫn giải

Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} = ab + bc + ca\)

\(2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} = 2ab + 2bc + 2ca\)

\(2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ca = 0\)

\(\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{c^2} - 2ac + {a^2}} \right) = 0\)

\({\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} = 0\) (*)

Nhận xét: Với mọi \(a,b,c\) ta có \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0;{\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\)

Khi đó, \({\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\)

Do đó để (*) xảy ra thì \[\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^2} = 0\\{\left( {b - c} \right)^2} = 0\\{\left( {c - a} \right)^2} = 0\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\b - c = 0\\c - a = 0\end{array} \right.\] tức là \[\left\{ \begin{array}{l}a = b\\b = c\\c = a\end{array} \right.\].

Khi đó \[a = b = c\] và \(a + b + c = 2025\)

Do đó \[a = b = c = \frac{{2\,\,025}}{3} = 675.\]