a) Ta có $x^2-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right).$

Điều kiện xác định của biểu thức N là $x+1\ne \mathrm{0,}$ $x-1\ne \mathrm{0,}$ $2+x\ne 0$ và $x^2-1\ne 0$

Hay $x\ne -\mathrm{1,}$ $x\ne 1$ và $x\ne -2.$

Vậy biểu thức N xác định khi $x\ne -\mathrm{1,}$ $x\ne 1$ và $x\ne -2.$

b) Với $x\ne -\mathrm{1,}$ $x\ne 1$ và $x\ne -2.$ ta có:

$N=\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x-1}+\frac{x^2}{x^2-1}\right)\cdot \frac{x-1}{2+x}$

$=\frac{1}{x+1}\cdot \frac{x-1}{2+x}+\frac{1}{x-1}\cdot \frac{x-1}{2+x}+\frac{x^2}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\cdot \frac{x-1}{2+x}$

$=\frac{x-1}{\left(x+1\right)\left(2+x\right)}+\frac{1}{2+x}+\frac{x^2}{\left(x+1\right)\left(2+x\right)}$

$=\frac{x-1+x+1+x^2}{\left(x+1\right)\left(2+x\right)}$

$=\frac{x^2+2x}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}$

$=\frac{x\left(x+2\right)}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}=\frac{x}{x+1}.$

Vậy với $x\ne -\mathrm{1,}$ $x\ne 1$ và $x\ne -2,$ thì $N=\frac{x}{x+1}.$

c) Ta có $\left|x\right|=2$ suy ra $x=2$ (thỏa mãn điều kiện) hoặc $x=-2$ (không thỏa mãn điều kiện).

Thay $x=2$ vào biểu thức $N=\frac{x}{x+1},$ ta được:

$N=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}.$

Vậy $N=\frac{2}{3}$ khi $\left|x\right|=2.$

a) Công thức của hàm số bậc nhất biểu thị chi phí y (triệu đồng) để sản xuất x (xe đạp) trong một ngày là:

$y=\mathrm{1,8}x+36$ (triệu đồng).

 b) Do chi phí trong ngày đó là 72 triệu đồng nên y = 72 (triệu đồng).

Thay y = 72 vào công thức $y=\mathrm{1,8}x+36$ ta có:

$\mathrm{1,8}x+36=72$

$\mathrm{1,8}x=36$

$x=20$

Vậy với chi phí là 72 triệu đồng thì trong ngày đó có thể sản xuất được 20 chiếc xe đạp.

a) Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại trung điểm N của mỗi đường nên ABCD là hình bình hành.

Do đó $AD\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}BC.$

Ta có $AP\perp BC;AD\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}BC$ suy ra $AP\perp AD$ hay $\widehat{PAQ}=90°$.

Vì $AP\perp BC,CQ\perp AD$ nên $\widehat{APC}=90°;\widehat{AQC}=90°$.

Tứ giác APCQ có $\widehat{PAQ}=90°$; $\widehat{APC}=90°;\widehat{AQC}=90°$ nên là hình chữ nhật.

Khi đó hai đường chéo AC, PQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà N là trung điểm của AC nên N là trung điểm của PQ.

b) Theo câu a, ABCD là hình bình hành, nên để ABCD là hình vuông thì ta cần thêm điều kiện $AB\perp BC,AB=BC$ hay $\Delta ABC$ vuông cân tại B

Vậy để tứ giác ABCD là hình vuông thì tam giác ABC vuông cân tại B.

Theo đề bài: $x^2+\frac{8}{x^2}+\frac{y^2}{8}=8$ suy ra $2x^2+\frac{16}{x^2}+\frac{y^2}{4}=16$

Ta có: $2x^2+\frac{16}{x^2}+\frac{y^2}{4}=\left(x^2+\frac{16}{x^2}-8\right)+\left(x^2+\frac{y^2}{4}+xy\right)-xy+8$

Mà $2x^2+\frac{16}{x^2}+\frac{y^2}{4}=16$ nên ${\left(x-\frac{4}{x}\right)}^2+{\left(x+\frac{y}{2}\right)}^2-xy+8=16$

Do đó ${\left(x-\frac{4}{x}\right)}^2+{\left(x+\frac{y}{2}\right)}^2=xy+8.$

Nhận xét: Với mọi x, y ta có ${\left(x-\frac{4}{x}\right)}^2\ge \mathrm{0,}{\left(x+\frac{y}{2}\right)}^2\ge 0$

Do đó $xy+8\ge 0$ hay $xy\ge -8.$

Khi đó $A=xy+2024\ge -8+2024=2016.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}{\left(x-\frac{4}{x}\right)}^2=0\\ {\left(x+\frac{y}{2}\right)}^2=0\end{array}\right.$ hay $\left\{\begin{array}{l}x-\frac{4}{x}=0\\ x+\frac{y}{2}=0\end{array}\right.$ tức là $\left\{\begin{array}{l}{x}^2-4=0\\ y=-2x\end{array}\right.$ nên $\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-4\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=4\end{array}\right..$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 2016 khi $\left(x;y\right)\in \left\{\left(2;-4\right);\left(-2;4\right)\right\}.$