Ôn tập chương 1 - Phần Đại số

$$\begin{gathered} 3\left(2^2+1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^8+1\right)\left(2^{16}+1\right) \\ =\left(2^2-1\right)\left(2^2+1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\left(2^{16}+1\right) \\ (vì 2^2-1=4-1=3) \\ =\left(2^4-1\right)\left(2^4+1\right)\left(2^8+1\right)\left(2^{16}+1\right) \\ =\left(2^8-1\right)\left(2^8+1\right)\left(2^{16}+1\right) \\ =\left(2^{16}-1\right)\left(2^{16}+1\right) \\ =2^{32}-1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} x^3-3x^2-4x+12 \\ =\left(x^3-3x^2\right)-\left(4x-12\right) \\ =x^2\left(x-3\right)-4\left(x-3\right) \\ =\left(x-3\right)\left(x^2-4\right) \\ =\left(x-3\right)\left(x+2\right)\left(x-2\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} x^4-5x^2+4 \\ =x^4-4x^2-x^2+4 \\ =\left(x^4-4x^2\right)-\left(x^2-4\right) \\ =x^2\left(x^2-4\right)-\left(x^2-4\right) \\ =\left(x^2-4\right)\left(x^2-1\right) \\ =\left(x+2\right)\left(x-2\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right) \end{gathered}$$

Ta có: A = $x^2-6x+11$ = $x^2-2.3x+9+2$ = ${\left(x-3\right)}^2+2$

Vì ${\left(x-3\right)}^2$ ≥ 0 nên ${\left(x-3\right)}^2$ + 2 ≥ 2

Suy ra: A ≥ 2.

A = 2 khi và chỉ khi x - 3 = 0 suy ra x = 3

Vậy A = 2 là giá trị nhỏ nhất của biểu thức tại x =3.

 $$\begin{gathered} 2x^2+10-1=2\left(x^2+5x-1/2\right) \\ B=2\left[x^2+2.5/2 x +{\left(5/2\right)}^2-{\left(5/2\right)}^2-1/2\right] \\ =2\left[{\left(x+5/2\right)}^2-25/4-2/4\right] \\ =2\left[{\left(x+5/2\right)}^2-27/2\right] \\ =2{\left(x+5/2\right)}^2-27/2 \\ Vì {\left(x+5/2\right)}^2 \ge 0 nên 2{\left(x+5/2\right)}^2 \ge 0 \Rightarrow 2 {\left(x+5/2\right)}^2-27/2\ge -27/2 \end{gathered}$$

Suy ra: B ≥ - 27/2 .

B= -27/2 khi và chỉ khi x + 5/2 = 0 suy ra x = -5/2

Vậy B = -27/2 là giá trị nhỏ nhất tại x = - 5/2

$$\begin{gathered} C=5x-x^2=-\left(x^2-5x\right)=-\left[x^2-2.5/2 x+{\left(5/2\right)}^2-{\left(5/2\right)}^2\right] \\ =-\left[{\left(x-5/2\right)}^2-25/4\right]=-{\left(x-5/2\right)}^2+25/4 \\ Vì-{\left(x-5/2\right)}^2\le 0\Rightarrow -{\left(x-5/2\right)}^2+25/4\le 25/4 \end{gathered}$$

Suy ra: C ≤ 25/4 .

C = 25/4 khi và chỉ khi x - 5/2 = 0 suy ra x = 5/2

Vậy C = 25/4 là giá trị lớn nhất tại x = 5/2 .

Ta có: 

$$\begin{gathered} \left(x+2\right)\left(x-1\right)=x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right) \\ =x^2-x+2x-2=x^2+x-2 \end{gathered}$$

Chọn C $x^2+x-2$

Ta có:

$$\begin{gathered} x\left(x-y\right)-y\left(y-x\right)=x^2-xy-\left(y^2-xy\right) \\ =x^2-xy-y^2+xy=x^2-y^2 \end{gathered}$$

Chọn (B) $x^2-y^2$

$$\begin{gathered} 45+x^3-5x^2-9x \\ =\left(x^3-5x^2\right)-\left(9x-45\right) \\ =x^2\left(x-5\right)-9\left(x-5\right) \\ =\left(x-5\right)\left(x^2-9\right)=\left(x-5\right)\left(x-3\right)\left(x+3\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} x^4-2x^3-2x^2-2x-3 \\ = (x^4 - 1) - (2x^3 + 2x^2) - (2x + 2) \\ = (x^2 + 1 )(x^2 - 1) - 2x^2(x + 1) -2(x + 1) \\ = (x^2 + 1)(x - 1)(x + 1) - 2x^2(x + 1) -2(x + 1) \\ = (x + 1)\left[(x^2 + 1)(x - 1) - 2x^2 – 2\right] \\ = (x + 1)\left[( x^2 + 1)(x - 1) - 2(x^2 + 1)\right] \\ = (x + 1)( x^2 + 1)(x – 1 - 2) \\ = (x + 1)( x^2 + 1)(x - 3) \end{gathered}$$

A = $2x^2-8x-10$

$=2\left(x^2-4x+4\right)-18=2{\left(x-2\right)}^2-18$

Do 2${\left(x-2\right)}^2$ ≥ 0 với mọi x ⇒ 2${\left(x-2\right)}^2$ – 18 ≥ −18

A = -18 khi và chỉ khi x - 2 = 0 hay x = 2

Do đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng -18 tại x = 2

B = $9x-3x^2=3\left(3x-x^2\right)=3\left(9/4-9/4+2.3/2x-x^2\right)$

= $3\left[9/4-\left(9/4-3/2x+x^2\right)\right]$

= $3\left[9/4-{\left(3/2x-x\right)}^2\right]=27/4-{\left(3/2-x\right)}^2$

Vì ${\left(3/2-x\right)}^2$ ≥ 0 với mọi x

⇒ B = 27/4 − ${\left(3/2-x\right)}^2$ ≤ 27/4 do đó giá trị lớn nhất của B bằng 27/4 tại x = 3/2