Bài 9: Hình chữ nhật

a. Đúng vì hình chữ nhật có 4 góc vuông.

b. Sai vì hình thang cân có 2 cạnh bên không song song có 2 đường chéo bằng nhau nhưng hình thang cân đó không là hình chữ nhật.

c. Đúng vì:

Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

Xét tứ giác ADME, ta có:

$\angle$A= ${90}^0$ (gt)

MD ⊥ AB (gt)

⇒ $\angle$(ADM) = ${90}^0$

Lại có, MD ⊥ AC ⇒ $\angle$(MEA) = ${90}^0$

Suy ra tứ giác ADME là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông)

$∆$ABC vuông cân tại A ⇒ $\angle$B = ${45}^0$ và AB = AC = 4cm

Suy ra: $∆$DBM vuông cân tại D

⇒ DM = DB

Chu vi hình chữ nhật ADME bằng:

2(AD + DM) = 2(AD + DB) = 2AB = 2.4 = 8 (cm)

Gọi H là trung điểm của BC

Suy ra: AH ⊥ BC (tính chất tam giác cân)

Do đó, AM $\ge$ AH ( quan hệ đường vuông góc và đường xiên )(dấu " = " xảy ra khi M trùng với H)

Tứ giác ADME là hình chữ nhật .

⇒ AM = DE (tính chất hình chữ nhật)

Suy ra: DE $\ge$ AH

Vậy DE có độ dài nhỏ nhất là AH khi và chỉ khi điểm M là trung điểm của BC.

* Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G

Suy ra: G là trọng tâm của $∆$ABC .

⇒ GB = 2GM (tính chất đường trung tuyến)

GC = 2GN (tính chất đường trung tuyến)

Điểm D đối xứng với điểm G qua điểm M

⇒ MG = MD hay GD = 2GM

Suy ra: GB = GD (l)

Điểm E đối xứng với điểm G qua điểm N

⇒ NG = NE hay GE = 2GN

Suy ra: GC = GE (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BCDE là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Xét $∆$BCM và $∆$CBN, có: BC cạnh chung

$\angle$(BCM) = $\angle$(CBN) (tính chất tam giác cân)

CM = BN (vì AB = AC)

Suy ra: $∆$BCM = $∆$CBN (c.g.c)

⇒ $\angle$(MBC) = $\angle$(NCB) ⇒ $∆$GBC cân tại G ⇒ GB = GC ⇒ BD = CE

Hình bình hành BCDE có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình chữ nhật.

Ta có:

DB = HD + HB = 2 + 6 = 8 (cm)

AC = DB (tính chất hình chữ nhật)

OA = OB = OC = OD = 1/2 BD = 4 (cm)

OD = OH + HD

⇒ OH = OD – HD = 4 – 2 = 2 (cm)

Suy ra: OH = HD = 2 cm nên H là trung điểm của OD

Tam giác ADO có AH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên tam giác ADO cân tại A

⇒AD = AO = 4 (cm)

Trong tam giác vuông ABD có $\angle$(BAD) = ${90}^0$

$B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2$ (định lý Pi-ta-go) ⇒ $A{B}^2=B{D}^2-A{D}^2$

AB = $\sqrt{\left(B{D}^2-A{D}^2\right)}=\sqrt{\left(8^2-4^2\right)}$ ≈ 7 (cm).

Nối AB, BO, BC, BO', BD.

* Trong $∆$ABC, ta có: OA = OC = R (bán kính đường tròn (O))

Nên BO là đường trung tuyến của $∆$ABC.

Mà BO = R (bán kính (O)) ⇒ BO = OA= OC = 1/2 AC

Suy ra tam giác ABC vuông tại B ⇒ $\angle$(ABC) = ${90}^0$

* Trong $∆$ABD , ta có: AO' = O'D = R' (bán kính đường tròn (O'))

Nên BO' là đường trung tuyến của tam giác ABD.

Mà BO' = R' (bán kính (O')) ⇒ BO' = AO' = O'D = 1/2 AD

Suy ra tam giác ABD vuông tại B ⇒ $\angle$(ABD) = ${90}^0$

Ta có: $\angle$(ABC) + $\angle$(ABD) = $\angle$(CBD) = ${90}^0$ + ${90}^0$ = ${180}^0$

Vậy C, B, D thẳng hàng.

* Trong $∆$BCD, ta có:

E là trung điểm của BC (gt)

F là trung điểm của BD (gt)

Suy ra EF là đường trung bình của $∆$BCD

⇒ EF // CD và EF = 1/2 CD (1)

* Trong $∆$ACD, ta có: H là trung điểm của AC (gt)

G là trung điểm của AD (gt)

Suy ra HG là đường trung bình của $∆$ACD

⇒HG // CD và HG = 1/2 CD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: EF // HG và EF = HG

Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

* Mặt khác: EF // CD (chứng minh trên)

AB ⊥ CD (gt)

Suy ra EF ⊥ AB

Trong $∆$ABC ta có HE là đường trung bình ⇒ HE // AB

Suy ra: HE ⊥ EF hay $\angle$(FEH) = ${90}^0$

Vậy hình bình hành EFGH là hình chữ nhật.

* Vì D trung điểm của AB (gt) và E trung điểm của AC (gt) nên DE là đường trung bình của tam giác ABC

⇒ DE // BC hay DE // HM

Suy ra tứ giác DEMH là hình thang

* Mà M trung điểm BC (gt) nên DM là đường trung bình của $∆$BAC

⇒ DM = 1/2 AC (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)

* Trong tam giác vuông AHC có $\angle$(AHC) = ${90}^0$. HE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC.

⇒ HE = 1/2 AC (tính chất tam giác vuông) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: DM = HE

Vậy hình thang DEMH là hình thang cân (vì có 2 đường chéo DM và EH bằng nhau).

* Trong $∆$BDC, ta có:

E là trung điểm của BD (gt)

F là trung điểm của BC (gt)

Suy ra EF là đường trung bình của tam giác BCD

⇒ EF // DC hay EF // AG

Suy ra tứ giác AEFG là hình thang

G là trung điểm của DC (gt)

Nên FG là đường trung bình của tam giác BCD

⇒ FG // BD ⇒ $\angle$$G_1$= ∠$D_1$(đồng vị) (1)

* Trong tam giác ABD vuông tại A có AE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BD

⇒ AE = ED = 1/2 BD (tính chất tam giác vuông)

Suy ra: tam giác AED cân tại E nên $\angle$$A_1$ = $\angle$ $D_1$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\angle$$A_1$= $\angle$$G_1$

Vậy hình thang AEFG là hình thang cân.

* Ta có: BH ⊥ DE (gt)

CK ⊥ DE (gt)

⇒ BH // CK hay tứ giác BHKC là hình thang

Gọi M là trung điểm của BC, I là trung điểm của DE

* Trong tam giác BDC vuông tại D có DM là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC.

⇒ DM = 1/2 BC (tính chất tam giác vuông)

* Trong tam giác BEC vuông tại E có EM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC.

⇒ EM = 1/2 BC (tính chất tam giác vuông)

Suy ra: DM = EM nên ΔMDE cân tại M

MI là đường trung tuyến nên MI là đường cao ⇒ MI ⊥ DE

Suy ra: MI // BH // CK

BM = MC

Suy ra: HI = IK (tính chất đường trung bình hình thang)

⇒ HE + EI = ID + DK

Mà EI = ID nên EH = DK

Xét tứ giác ADHE, ta có:

$\angle$A = ${90}^0$ (gt)

$\angle$(ADH) = ${90}^0$ (vì HD ⊥ AB)

$\angle$(AEH) = ${90}^0$ (Vì HE ⊥ AC)

Suy ra tứ giác ADHE là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông)

Vậy AH = DE (tính chất hình chữ nhật)

Tam giác BDH vuông tại D có DI là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền BH

⇒ DI = IB = 1/2 BH (tính chất tam giác vuông)

⇒ $∆$IDB cân tại I ⇒ $\angle$(DIB) = ${180}^0$ - 2.$\angle$B (1)

Tam giác HEC vuông tại E có EK là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền HC.

⇒ EK = KH = 1/2 HC (tính chất tam giác vuông) .

⇒ $∆$KHE cân tại K ⇒ $\angle$(EKH) = ${180}^0$ - 2.$\angle$(KHE) (2)

Tứ giác ADHE là hình chữ nhật nên:

HE // AD hay HE // AB ⇒ $\angle$B = $\angle$(KHE) (đồng vị)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: $\angle$(DIB) = $\angle$(EKH)

Vậy DI // EK (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau).

Ta có: AH ⊥ BC (gt) ⇒ $\angle$(HAB) + $\angle$B = ${90}^0$

Lại có: $\angle$B + $\angle$C = ${90}^0$ (vì $∆$ABC có ∠A = ${90}^0$)

Suy ra $\angle$(HAB) = $\angle$C (1)

$∆$ABC vuông tại A có AM là trung tuyến thuộc cạnh huyền BC

⇒ AM = MC = 1/2 BC (tính chất tam giác vuông)

⇒ $∆$MAC cân tại M ⇒ $\angle$(MAC) = $\angle$C (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\angle$(HAB) = $\angle$(MAC)

Xét tứ giác ADHE, ta có:

$\angle$A = ${90}^0$ (gt)

$\angle$(ADH) = ${90}^0$ (vì HD ⊥ AB)

$\angle$(AEH) = ${90}^0$ (vì HE ⊥ AC)

Suy ra tứ giác ADHE là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông).

+ Xét $∆$ADH và $∆$EHD có :

DH chung

AD = EH ( vì ADHE là hình chữ nhật)

$\angle$(ADN) = $\angle$(EHD) = ${90}^0$

Suy ra: $∆$ADH = $∆$EHD (c.g.c)

⇒ $\angle$$A_1$= $\angle$(HED)

Lại có: $\angle$(HED) + $\angle$$E_1$= $\angle$(HEA) = ${90}^0$

Suy ra: $\angle$$E_1$+ $\angle$$A_1$= ${90}^0$

$\angle$$A_1$= ∠$A_2$(chứng minh trên) ⇒ $\angle$$E_1$+ $\angle$$A_2$= ${90}^0$

Gọi I là giao điểm của AM và DE.

Trong $∆$AIE ta có: $\angle$(AIE) = 180o – ($\angle$$E_1$+ $\angle$$A_2$) = ${180}^0$ - ${90}^0$ = ${90}^0$

Vậy AM ⊥ DE.

Độ dài đường chéo của hình chữ nhật là:

Chọn B

ΔAHB vuông tại H có HI là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền AB

⇒ HI = IA = 1/2 AB (tính chất tam giác vuông)

⇒ $∆$AHI cân tại I

⇒ $\angle$(IAH) = $\angle$(IHA) (1)

$∆$AHC vuông tại H có HK là đường trung tuyến thuộc cạnh huyền AC

⇒ HK = KA = 1/2 AC (tính chất tam giác vuông)

⇒ $∆$KAH cân tại K ⇒$\angle$(KAH) = $\angle$(KHA) (2)

$\angle$(IHK) = $\angle$(IHA) + $\angle$(KHA) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: $\angle$(IHK) = $\angle$(IAH) + $\angle$(KAH) = $\angle$(IAK) = $\angle$(BAC) = ${90}^0$

*Có AH ⊥ CD ⇒ $∆$AHD vuông tại H

E là trung điểm của AD ⇒ HE là trung tuyến ứng với cạnh huyền AD

⇒ HE = 1/2 AD (1)

*F là trung điểm của BC ⇒ CF = 1/2 BC (2)

Mà ABCD là hình thang cân ⇒ BC = AD (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: HE = CF (*)

*Mặt khác: EH = ED = 1/2 AD (Chứng minh trên)

⇒ $∆$EHD cân tại E

⇒ $\angle$(EHD) = $\angle$(EDH)

Mà $\angle$(EDH) = $\angle$(FCH) (góc đáy hình thang cân)

⇒ $\angle$(FCH) = $\angle$(EHD) (cùng bằng $\angle$(EDH))

⇒EH // FC (2 góc ở vị trí đồng vị bằng nhau) (**)

Từ (*) và (**) ⇒ EFCH là hình bình hành (1 cặp cạnh song song và bằng nhau)