Bài 1: Đa giác. Đa giác đều

Các hình c, e, g là các đa giác lồi vì đa giác nằm trên một nửa mặt phẳng với bờ chứa bất kỳ cạnh nào của đa giác.

Tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều, lục giác đều,…

Vẽ một n-giác lồi, kẻ các đường chéo xuất phát từ một đỉnh của n-giác lồi thì chia đa giác đó thành (n - 2) tam giác.

Tổng các góc của n-giác lồi bằng tổng các góc của (n - 2) tam giác bằng (n - 2).180o.

Hình n-gíác đều có n góc bằng nhau nên số đo mỗi góc bằng:

$\frac{\left(n-2\right).{180}^0}{n}$

Công thức tính số đo mỗi góc của đa giác đều có n cạnh: 

- Đa giác đều 8 cạnh ⇒ n = 8, số đo mỗi góc là: ((8 – 2).${180}^0$) / 8 = ${135}^0$

- Đa giác đều 10 cạnh ⇒ n = 10, số đo mỗi góc là: ((10 – 2).${180}^0$) / 10 = ${144}^0$

- Đa giác đều 12 cạnh ⇒ n = 12, số đo mỗi góc là: ((12 – 2).${180}^0$) / 12 = ${150}^0$

Từ mỗi đỉnh của ngũ giác vẽ được 2 đường chéo. Ngũ giác có 5 đỉnh ta kẻ được 5.2=10 đường chéo, trong đó mỗi đường chéo được tính hai lần. Vậy ngũ giác có tất cả 5 đường chéo.

Từ mỗi đỉnh của lục giác vẽ được 3 đường chéo. Lục giác có 6 đỉnh ta kẻ được 6.3 = 18 đường chéo, trong đó mỗi đường chéo được tính hai lần. Vậy lục giác có tất cả 9 đường chéo.

Từ mỗi đỉnh của n-giác nối với các đỉnh còn lại ta được n – 1 đoạn thẳng, trong đó có 2 đoạn thẳng là cạnh của hình n-giác (hai đoạn thẳng nối với hai đỉnh kề nhau).

Vậy qua mỗi đỉnh n-giác vẽ được n-3 đường chéo. Hình n-giác có n đỉnh kẻ được n(n- 3) đường chéo, trong đó mỗi đường chéo được tính hai lần. Vậy hình n-giác có tất cả $\frac{n\left(n-3\right)}{2}$ đường chéo.

Áp dụng công thức tính ở bài 6 chương này.

Đa giác có 8 cạnh, số đường chéo là: (8.(8 – 3)) / 2 = 20 đường chéo;

Đa giác có 10 cạnh, số đường chéo là: (10.(10 – 3)) / 2 = 35 đường chéo;

Đa giác có 12 cạnh, số đường chéo là: (12.(12 – 3)) / 2 = 54 đường chéo.

Tổng số đo của góc trong và góc ngoài ở mỗi đỉnh của hình n-giác bằng ${180}^0$. Hình n-giác có n đỉnh nên tổng số đo các góc trong và góc ngoài của đa giác bằng n.${180}^0$. Mặt khác, ta biết tổng các góc trong của hình n-giác bằng (n – 2).${180}^0$

Vậy tổng số đo các góc ngoài của hình n-giác là:

n.${180}^0$ – (n – 2).${180}^0$ = n.${180}^0$ – n.${180}^0$ + 2.${180}^0$ = ${360}^0$

Hình n-giác lồi có tổng số đo các góc trong bằng (n – 2).${180}^0$ và tổng các góc ngoài bằng ${360}^0$

Đa giác lồi có tổng các góc trong bằng tổng các góc ngoài bằng ${360}^0$

⇒ (n – 2).${180}^0$ = ${360}^0$ ⇒n = 4

Vậy tứ giác lồi có tổng các góc trong và góc ngoài bằng nhau.

Ta có: nếu góc của đa giác lồi là góc nhọn thì góc ngoài tương ứng là góc tù. Nếu đa giác lồi có 4 góc nhọn thì tổng các góc ngoài của đa giác lớn hơn 360o.

Vậy đa giác lồi có nhiều nhất là 3 góc nhọn.

Tổng số đo các góc ngoài của đa giác bằng ${360}^0$

Số đo một góc trong của đa giác đều là ${468}^0$ – ${360}^0$ = ${108}^0$

Gọi n là số cạnh của đa giác đều. Ta có số đo mỗi góc của đa giác đều bằng 

Suy ra:= ${108}^0$⇒ 180.n – 360 = 108.n⇒ 72n = 360⇒ n = 5

Vậy đa giác đều cần tìm có 5 cạnh.

a. Sai; b. Sai; c. Đúng; d. Sai; e. Sai; f. Sai; g. Sai

Ta có: M là trung điểm của BC

N là trung điểm của AC nên MN là đường trung bình của Δ ABC ⇒ MN = 1/2 AB

Ta có: P là trung điểm của AB nên MP là đường trung bình của $△$ng bình của $△$ABC ⇒ NP = 1/2 BC

Mà AB = BC = AC (gt) ⇒ MN = MP = NP. Vậy $△$ MNP đều

Do ABCD là hình vuông có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của BC, CD, DA, AB nên: AQ = QB = BM = MC= CN = ND = DP = PA

Xét Δ APQ và Δ BQM:

AQ = BM (gt)

$\angle$A = $\angle$B = ${90}^0$

AP = BQ (gt)

Do đó: $△$ APQ = $△$ BQM (c.g.c) ⇒ PQ = QM (1)

Xét $△$ BQM và $△$CMN:

BM = CN (gt)

$\angle$B = $\angle$C = ${90}^0$

BQ = CM (gt)

Do đó: $△$ BQM = $△$CMN (c.g.c) ⇒ QM = MN (2)

Xét $△$ CMN và $△$ DNP:

CN = DP (gt)

$\angle$C = $\angle$D = ${90}^0$

CM = DN (gt)

Do đó: $△$CMN = $△$DNP (c.g.c) ⇒ MN = NP (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: MN = NP = PQ = QM

nên tứ giác MNPQ là hình thoi

Vì AP = AQ nên $△$APQ vuông cân tại A

BQ = BM nên $△$BMQ vuông cân tại B

⇒ $\angle$(AQP) = $\angle$(BQM) = ${45}^0$

$\angle$(AQP) + $\angle$(PQM) + $\angle$(BQM) = ${180}^0$ (kề bù)

⇒ $\angle$(PQM) = ${180}^0$ - ( $\angle$(AQP) + $\angle$(BQM) )

            = ${180}^0$- (${45}^0$ +${45}^0$) = ${90}^0$

Vậy tứ giác MNPQ là hình vuông.

Xét $△$ ABC và $△$ BCD:

AB = BC (gt)

$\angle$B = $\angle$C (gt)

BC = CD (gt)

Do đó: $△$ ABC = $△$ BCD (c.g.c)

⇒ AC = BD (1)

Xét $△$ BCD và $△$ CDE:

BC = CD (gt)

$\angle$C = $\angle$D (gt)

CD = DE (gt)

Do đó: $△$ BCD = $△$ CDE (c.g.c) ⇒ BD = CE (2)

Xét $△$ CDE và $△$ DEA:

CD = DE (gt)

$\angle$D = $\angle$E (gt)

DE = EA (gt)

Do đó: $△$ CDE = $△$ DEA (c.g.c) ⇒ CE = DA (3)

Xét $△$ DEA và $△$ EAB:

DE = EA (gt)

$\angle$E = $\angle$A (gt)

EA = AB (gt)

Do đó: $△$ DEA = $△$ EAB (c.g.c) ⇒ DA = EB (4)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: AC = BD = CE = DA = EB

Trong $△$ ABC ta có RM là đường trung bình

⇒ RM = 1/2 AC (tính chất đường trung bình của tam giác)

Mặt khác, ta có: Trong Δ BCD ta có MN là đường trung bình

⇒ MN = 1/2 BD (tính chất đường trung bình của tam giác)

Trong $△$ CDE ta có NP là đường trung bình

⇒ NP = 1/2 CE (tính chất đường trung bình của tam giác)

Trong $△$ DEA ta có PQ là đường trung bình

⇒ PQ = 1/2 DA (tính chất đường trung bình của tam giác)

Trong $△$ EAB ta có QR là đường trung bình

⇒ QR = 1/2 EB (tính chất đường trung bình của tam giác)

Suy ra: MN = NP = PQ = QR = RM

Ta có: $\angle$A = $\angle$B = $\angle$C = $\angle$D = $\angle$E = ((5-2 ).${180}^0$)/5 = ${108}^0$

$△$ DPN cân tại D

⇒ $\angle$(DPN) = $\angle$(DNP) = (${180}^0$- $\angle$D )/2 = (${180}^0$ - ${108}^0$)/2 = ${36}^0$

$△$ CNM cân tại C

⇒ $\angle$(CNM) = $\angle$(CMN) = (${180}^0$- $\angle$D )/2 = (${180}^0$ - ${108}^0$)/2 = ${36}^0$

$\angle$(ADN) + $\angle$(PNM) + $\angle$(CNM) = ${180}^0$

⇒ $\angle$(PNM) = ${180}^0$ - ($\angle$(ADN) + $\angle$(CNM) )

            =${180}^0$ - (${36}^0$ – ${36}^0$) = ${108}^0$

$△$ BMR cân tại B

⇒ $\angle$(BMR) = $\angle$(BRM) = (${180}^0$- $\angle$B )/2 = (${180}^0$ - ${108}^0$)/2 = ${36}^0$

$\angle$(CMN) + $\angle$(BRM) + $\angle$(BMR) = ${180}^0$

⇒ $\angle$(NMR) = ${180}^0$ - ($\angle$(CMN) + $\angle$(BMR) )

            = ${180}^0$ - (${36}^0$ – ${36}^0$) = ${108}^0$

$△$ ARQ cân tại A

⇒ $\angle$(ARQ) = $\angle$(AQR) = (${180}^0$- $\angle$A )/2 = (${180}^0$ - ${108}^0$)/2 = ${36}^0$

$\angle$(BRM) + $\angle$(MRQ) + $\angle$(ARQ) = ${180}^0$

⇒ $\angle$(MRQ) = ${180}^0$ - ($\angle$(BRM) + $\angle$(ARQ) )

            =${180}^0$ - (${36}^0$ – ${36}^0$) = ${108}^0$

$△$ QEP cân tại E

⇒ $\angle$(EQP) = $\angle$(EPQ) = (${180}^0$- $\angle$E )/2 = (${180}^0$ - ${108}^0$)/2 = ${36}^0$

$\angle$(AQR) + $\angle$(RQP) + $\angle$(EQP) = ${180}^0$

⇒ $\angle$(RQP) = ${180}^0$ - ($\angle$(AQR) + $\angle$(EQP) )

            = ${180}^0$ - (${36}^0$ – ${36}^0$) = ${108}^0$

$\angle$(EQP) + $\angle$(QPN) + $\angle$(DPN) = ${180}^0$

⇒ $\angle$(QPN) = ${180}^0$ - ($\angle$(EPQ) + $\angle$(DPN) )

            = ${180}^0$ - (${36}^0$ – ${36}^0$) = ${108}^0$

Suy ra : $\angle$(PNM) = $\angle$(NMR) = $\angle$(MRQ) = $\angle$(RQP) = $\angle$(QPN)

Vậy MNPQR là ngũ giác đều.

Xét $△$ANK và $△$BKL :

AN = BK (gt)

$\angle$A = $\angle$B = ${90}^0$

AK = BL (vì AB = BC, BK = CL)

Do đó $△$ANK = $△$BKL (c.g.c)

⇒ NK = KL (1)

Xét $△$BKL và $△$CLM:

BK = CL (gt)

$\angle$B = $\angle$C = ${90}^0$

BL = CM (vì BC = CD, CL = DM)

Do đó: $△$BKL = $△$CLM (c.g.c)

⇒ KL = LM (2)

Xét $△$CLM và $△$DMN :

CL = DM (gt)

$\angle$C = $\angle$D = ${90}^0$

CM = DN (vì CD = DA, DM = AN)

Do đó: $△$CLM = $△$DMN (c.g.c)

⇒ LM = MN (3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒ NK = KL = LM = MN

Tứ giác MNKL là hình thoi

$△$ANK = $△$BKL ⇒ $\angle$(ANK) = $\angle$(BKL)

Trong tam giác ANK có A là góc vuông ⇒ $\angle$(ANK) + $\angle$(AKN) = ${90}^0$

⇒$\angle$(BKL) + $\angle$(AKN) = ${90}^0$ hay $\angle$(NKL) = ${90}^0$

Vậy tứ giác MNKL là hình vuông.