Bài 1: Đa giác. Đa giác đều

Hình n-giác lồi có tổng số đo các góc trong bằng (n – 2).${180}^0$ và tổng các góc ngoài bằng ${360}^0$

Đa giác lồi có tổng các góc trong bằng tổng các góc ngoài bằng ${360}^0$

⇒ (n – 2).${180}^0$ = ${360}^0$ ⇒n = 4

Vậy tứ giác lồi có tổng các góc trong và góc ngoài bằng nhau.

Ta có: nếu góc của đa giác lồi là góc nhọn thì góc ngoài tương ứng là góc tù. Nếu đa giác lồi có 4 góc nhọn thì tổng các góc ngoài của đa giác lớn hơn 360o.

Vậy đa giác lồi có nhiều nhất là 3 góc nhọn.

Tổng số đo các góc ngoài của đa giác bằng ${360}^0$

Số đo một góc trong của đa giác đều là ${468}^0$ – ${360}^0$ = ${108}^0$

Gọi n là số cạnh của đa giác đều. Ta có số đo mỗi góc của đa giác đều bằng 

Suy ra:= ${108}^0$⇒ 180.n – 360 = 108.n⇒ 72n = 360⇒ n = 5

Vậy đa giác đều cần tìm có 5 cạnh.

a. Sai; b. Sai; c. Đúng; d. Sai; e. Sai; f. Sai; g. Sai

Ta có: M là trung điểm của BC

N là trung điểm của AC nên MN là đường trung bình của Δ ABC ⇒ MN = 1/2 AB

Ta có: P là trung điểm của AB nên MP là đường trung bình của $△$ng bình của $△$ABC ⇒ NP = 1/2 BC

Mà AB = BC = AC (gt) ⇒ MN = MP = NP. Vậy $△$ MNP đều

Do ABCD là hình vuông có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của BC, CD, DA, AB nên: AQ = QB = BM = MC= CN = ND = DP = PA

Xét Δ APQ và Δ BQM:

AQ = BM (gt)

$\angle$A = $\angle$B = ${90}^0$

AP = BQ (gt)

Do đó: $△$ APQ = $△$ BQM (c.g.c) ⇒ PQ = QM (1)

Xét $△$ BQM và $△$CMN:

BM = CN (gt)

$\angle$B = $\angle$C = ${90}^0$

BQ = CM (gt)

Do đó: $△$ BQM = $△$CMN (c.g.c) ⇒ QM = MN (2)

Xét $△$ CMN và $△$ DNP:

CN = DP (gt)

$\angle$C = $\angle$D = ${90}^0$

CM = DN (gt)

Do đó: $△$CMN = $△$DNP (c.g.c) ⇒ MN = NP (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: MN = NP = PQ = QM

nên tứ giác MNPQ là hình thoi

Vì AP = AQ nên $△$APQ vuông cân tại A

BQ = BM nên $△$BMQ vuông cân tại B

⇒ $\angle$(AQP) = $\angle$(BQM) = ${45}^0$

$\angle$(AQP) + $\angle$(PQM) + $\angle$(BQM) = ${180}^0$ (kề bù)

⇒ $\angle$(PQM) = ${180}^0$ - ( $\angle$(AQP) + $\angle$(BQM) )

            = ${180}^0$- (${45}^0$ +${45}^0$) = ${90}^0$

Vậy tứ giác MNPQ là hình vuông.

Xét $△$ ABC và $△$ BCD:

AB = BC (gt)

$\angle$B = $\angle$C (gt)

BC = CD (gt)

Do đó: $△$ ABC = $△$ BCD (c.g.c)

⇒ AC = BD (1)

Xét $△$ BCD và $△$ CDE:

BC = CD (gt)

$\angle$C = $\angle$D (gt)

CD = DE (gt)

Do đó: $△$ BCD = $△$ CDE (c.g.c) ⇒ BD = CE (2)

Xét $△$ CDE và $△$ DEA:

CD = DE (gt)

$\angle$D = $\angle$E (gt)

DE = EA (gt)

Do đó: $△$ CDE = $△$ DEA (c.g.c) ⇒ CE = DA (3)

Xét $△$ DEA và $△$ EAB:

DE = EA (gt)

$\angle$E = $\angle$A (gt)

EA = AB (gt)

Do đó: $△$ DEA = $△$ EAB (c.g.c) ⇒ DA = EB (4)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: AC = BD = CE = DA = EB

Trong $△$ ABC ta có RM là đường trung bình

⇒ RM = 1/2 AC (tính chất đường trung bình của tam giác)

Mặt khác, ta có: Trong Δ BCD ta có MN là đường trung bình

⇒ MN = 1/2 BD (tính chất đường trung bình của tam giác)

Trong $△$ CDE ta có NP là đường trung bình

⇒ NP = 1/2 CE (tính chất đường trung bình của tam giác)

Trong $△$ DEA ta có PQ là đường trung bình

⇒ PQ = 1/2 DA (tính chất đường trung bình của tam giác)

Trong $△$ EAB ta có QR là đường trung bình

⇒ QR = 1/2 EB (tính chất đường trung bình của tam giác)

Suy ra: MN = NP = PQ = QR = RM

Ta có: $\angle$A = $\angle$B = $\angle$C = $\angle$D = $\angle$E = ((5-2 ).${180}^0$)/5 = ${108}^0$

$△$ DPN cân tại D

⇒ $\angle$(DPN) = $\angle$(DNP) = (${180}^0$- $\angle$D )/2 = (${180}^0$ - ${108}^0$)/2 = ${36}^0$

$△$ CNM cân tại C

⇒ $\angle$(CNM) = $\angle$(CMN) = (${180}^0$- $\angle$D )/2 = (${180}^0$ - ${108}^0$)/2 = ${36}^0$

$\angle$(ADN) + $\angle$(PNM) + $\angle$(CNM) = ${180}^0$

⇒ $\angle$(PNM) = ${180}^0$ - ($\angle$(ADN) + $\angle$(CNM) )

            =${180}^0$ - (${36}^0$ – ${36}^0$) = ${108}^0$

$△$ BMR cân tại B

⇒ $\angle$(BMR) = $\angle$(BRM) = (${180}^0$- $\angle$B )/2 = (${180}^0$ - ${108}^0$)/2 = ${36}^0$

$\angle$(CMN) + $\angle$(BRM) + $\angle$(BMR) = ${180}^0$

⇒ $\angle$(NMR) = ${180}^0$ - ($\angle$(CMN) + $\angle$(BMR) )

            = ${180}^0$ - (${36}^0$ – ${36}^0$) = ${108}^0$

$△$ ARQ cân tại A

⇒ $\angle$(ARQ) = $\angle$(AQR) = (${180}^0$- $\angle$A )/2 = (${180}^0$ - ${108}^0$)/2 = ${36}^0$

$\angle$(BRM) + $\angle$(MRQ) + $\angle$(ARQ) = ${180}^0$

⇒ $\angle$(MRQ) = ${180}^0$ - ($\angle$(BRM) + $\angle$(ARQ) )

            =${180}^0$ - (${36}^0$ – ${36}^0$) = ${108}^0$

$△$ QEP cân tại E

⇒ $\angle$(EQP) = $\angle$(EPQ) = (${180}^0$- $\angle$E )/2 = (${180}^0$ - ${108}^0$)/2 = ${36}^0$

$\angle$(AQR) + $\angle$(RQP) + $\angle$(EQP) = ${180}^0$

⇒ $\angle$(RQP) = ${180}^0$ - ($\angle$(AQR) + $\angle$(EQP) )

            = ${180}^0$ - (${36}^0$ – ${36}^0$) = ${108}^0$

$\angle$(EQP) + $\angle$(QPN) + $\angle$(DPN) = ${180}^0$

⇒ $\angle$(QPN) = ${180}^0$ - ($\angle$(EPQ) + $\angle$(DPN) )

            = ${180}^0$ - (${36}^0$ – ${36}^0$) = ${108}^0$

Suy ra : $\angle$(PNM) = $\angle$(NMR) = $\angle$(MRQ) = $\angle$(RQP) = $\angle$(QPN)

Vậy MNPQR là ngũ giác đều.

Xét $△$ANK và $△$BKL :

AN = BK (gt)

$\angle$A = $\angle$B = ${90}^0$

AK = BL (vì AB = BC, BK = CL)

Do đó $△$ANK = $△$BKL (c.g.c)

⇒ NK = KL (1)

Xét $△$BKL và $△$CLM:

BK = CL (gt)

$\angle$B = $\angle$C = ${90}^0$

BL = CM (vì BC = CD, CL = DM)

Do đó: $△$BKL = $△$CLM (c.g.c)

⇒ KL = LM (2)

Xét $△$CLM và $△$DMN :

CL = DM (gt)

$\angle$C = $\angle$D = ${90}^0$

CM = DN (vì CD = DA, DM = AN)

Do đó: $△$CLM = $△$DMN (c.g.c)

⇒ LM = MN (3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒ NK = KL = LM = MN

Tứ giác MNKL là hình thoi

$△$ANK = $△$BKL ⇒ $\angle$(ANK) = $\angle$(BKL)

Trong tam giác ANK có A là góc vuông ⇒ $\angle$(ANK) + $\angle$(AKN) = ${90}^0$

⇒$\angle$(BKL) + $\angle$(AKN) = ${90}^0$ hay $\angle$(NKL) = ${90}^0$

Vậy tứ giác MNKL là hình vuông.