Dạng 6. Bài luyện tập dạng nâng cao tổng hợp talet và liên quan có đáp án

Kẻ DE // AB, ta có:

$\widehat{D_1}=\widehat{A_1}=60°;\widehat{A_2}=60°$ nên tam giác ADE đều. Suy ra AD = AE = DE.

Áp dụng hệ quả định lý Ta-lét:$\frac{DE}{AB}=\frac{CE}{AC}$  hay  $\frac{AD}{AB}=\frac{CE}{AC}.$

Mặt khác $\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AC}$ nên  $\frac{AD}{AB}+\frac{AD}{AC}=\frac{CE}{AC}+\frac{AE}{AC}=\frac{AC}{AC}=1.$

Suy ra   $\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{1}{AD}.$

Nhận xét. Những bài toán chứng minh đẳng thức có nghịch đảo độ dài đoạn thẳng, bạn nên biến đổi và chứng minh hệ thức tương đương có tỉ số của hai đoạn thẳng.

* Tìm cách giải. Để tạo ra tỉ số $\frac{AB}{AM};\frac{AC}{AN}$chúng ta cần vận dụng định lý Ta-let, mà hình vẽ chưa có yếu tố song song do vậy chúng ta cần kẻ thêm yếu tố song song. Kẻ đường thẳng song song với MN từ B và C vừa khai thác được yếu tố trọng tâm, vừa tạo ra được tỉ số yêu cầu.

* Trình bày lời giải

Trường hợp 1. Nếu MN // BC, thì lời giải giản đơn (dành cho bạn đọc).

Trường hợp 2. Xét MN không song song với BC.

Gọi giao điểm của AG và BC là D $\Rightarrow BD=CD.$

Kẻ BI // CK // MN  $\left(I,K\in AD\right)$

Xét $\Delta BDI$ và $\Delta CDK$ có $BD=CD;\widehat{IBD}=\widehat{KCD};\widehat{IDB}=\widehat{KDC}$ nên  $\Delta BDI=\Delta CDK\left(g.cg\right)$

 $\Rightarrow DI=DK.$

Áp dụng định lý Ta-lét, ta có $\frac{AB}{AM}=\frac{AI}{AG}$ (vì MG // BI);

$\frac{AC}{AN}=\frac{AK}{AG}$ (vì GN // CK).

Suy ra    $\frac{AB}{AM}+\frac{AC}{AN}=\frac{2.AD}{AG}=3$        (1) (vì $AD=\frac{3}{2}.AG$).

* Tìm cách giải. Để tạo ra tỉ số $\frac{AB}{AM};\frac{AC}{AN}$chúng ta cần vận dụng định lý Ta-let, mà hình vẽ chưa có yếu tố song song do vậy chúng ta cần kẻ thêm yếu tố song song. Kẻ đường thẳng song song với MN từ B và C vừa khai thác được yếu tố trọng tâm, vừa tạo ra được tỉ số yêu cầu.

* Trình bày lời giải

Trường hợp 1. Nếu MN // BC, thì lời giải giản đơn (dành cho bạn đọc).

Trường hợp 2. Xét MN không song song với BC.

* Tìm cách giải.

Với phân tích và suy luận như câu a, ví dụ 4 thì câu a, ví dụ này không quá khó.

Tương tự câu a, chúng ta có kết quả:  $\frac{AD}{AK}+\frac{AB}{AF}=4$và suy ra $\frac{AD}{AK}+\frac{AB}{AF}+\frac{AB}{BF}+\frac{BC}{BE}=8$ để liên kết được BE + AK với nhau, mà với suy luận trên thì BE, AK cùng nằm ở mẫu số, do đó chúng ta liên tưởng tới bất đẳng thức đại số $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{4}{x+y}$ sẽ cho chúng ta yêu cầu. Với suy luận đó, chúng ta có lời giải sau:

* Trình bày lời giải

Kẻ CI //AH // EF (với $I,H\in BD$)

Xét $\Delta AOH$ và $\Delta COI$ có $\widehat{AOH}=\widehat{COI}$ (đối đỉnh); OA = OB; $\widehat{HAO}=\widehat{ICO}$ (so le trong)

$\Rightarrow \Delta AOH=\Delta COI$(c.g.c). Áp dụng định lý Ta-lét, ta có: $\frac{BA}{BF}+\frac{BC}{BE}=\frac{BH}{BM}+\frac{BI}{BM}=\frac{BH+BI}{BM}=\frac{BO+OH+BO-OI}{BM}=\frac{2.BO}{BM}=4.$

Tương tự ta có:

 $\frac{AD}{AK}+\frac{AB}{AF}=4\Rightarrow \frac{AD}{AK}+\frac{AB}{AF}+\frac{AB}{BF}+\frac{BC}{BE}=8$

 $\Rightarrow BC.\left(\frac{1}{AK}+\frac{1}{BE}\right)+AB\left(\frac{1}{AF}+\frac{1}{BF}\right)=8$    (1)

Áp dụng bất đẳng thức  $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{4}{x+y}$ (với $x;y>0$)

Ta có: $\frac{1}{AF}+\frac{1}{BF}\ge \frac{4}{AF+BF}=\frac{4}{AB}\Rightarrow AB\left(\frac{1}{AF}+\frac{1}{BF}\right)\ge 4$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra:  $BC.\left(\frac{1}{AK}+\frac{1}{BE}\right)\le 4$

Mà  $\frac{1}{AK}+\frac{1}{BE}\ge \frac{4}{AK+BE}\Rightarrow BC\left(\frac{1}{AK}+\frac{1}{BE}\right)\ge \frac{4BC}{AK+BE}$

 $\Rightarrow \frac{4BC}{AK+BE}\le 4\Rightarrow AK+BE\ge BC.$

* Tìm cách giải. Để chứng minh $\text{EF//BC}$, suy luận một cách tự nhiên chúng ta cần vận dụng định lý Ta-let đảo. Do vậy cần chứng minh tỉ lệ thức $\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AF}$. Nhận thấy để định hướng tỉ lệ thức ấy cũng như khai thác được $\widehat{EDC}=\widehat{FDB}=90°$ chúng ta cần kẻ $BO\perp CD;CM\perp DB$, để có các đường thẳng song song rồi vận dụng định lý Ta-let. Từ đó chúng ta có lời giải sau:

* Trình bày lời giải.

Kẻ $BO\perp CD;CM\perp DB$, BO và CM cắt nhau tại I $\Rightarrow$D là trực tâm của $\Delta BIC$

$\Rightarrow DI\perp BC\Rightarrow$ I, D, A thẳng hàng.

$\text{DE//BI}\Rightarrow \frac{AI}{AD}=\frac{AB}{AE}.$

 suy ra $\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AF}\Rightarrow \text{EF//BC}$

(Định lý Ta-let đảo).

Qua D kẻ đường thẳng song song với AB, cắt tia AI tại P. Áp dụng định lý Ta-let, cho các đoạn thẳng song song ta có:

$\text{DP//AB}\Rightarrow \frac{IB}{ID}=\frac{AB}{DP}=\frac{AB}{HK}.\frac{HK}{DP}$(1).

$\text{ME//AC}\Rightarrow \frac{AB}{HK}=\frac{AB}{BE}=\frac{BC}{BM}$(2).

 và $\text{MH//AB}\Rightarrow \frac{HK}{DP}=\frac{AH}{AD}=\frac{BM}{BD}$(3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

$\frac{IB}{ID}=\frac{BC}{BM}.\frac{BM}{BD}=\frac{BC}{BD}=2$. Vậy $\frac{IB}{ID}=2.$