Dạng 2: Bài luyện tập 1 có đáp án

Có $\Delta BEH~\Delta CDH$ta suy ra $\frac{HE}{HD}=\frac{HB}{HC}$ 

Từ đó chứng minh được $\Delta EHD”\Delta BHC(c.g\cdot c)$ 

a)      Vì$AH\perp BC$$\Rightarrow \Delta AHB$ vuông tại H, theo định lý Pitago ta có:

$A{B}^2=A{H}^2+B{H}^2\Rightarrow A{H}^2=A{B}^2-B{H}^2$ 

$\iff A{H}^2={30}^2-{18}^2=900-324=576\iff AH=24cm$

Vì $AH\perp BC$$\to \Delta AHC$ vuông tại H, theo định lý Pitago ta có:$\begin{array}{l}\begin{array}{l}A{C}^2=A{H}^2+H{C}^2\\ \Rightarrow H{C}^2=A{C}^2-A{H}^2\end{array}\\ \iff H{C}^2={40}^2-{24}^2=1600-576=1024\iff HC=32cm\end{array}$ 

Ta lại có: $\left.\begin{array}{l}\frac{AH}{BH}=\frac{24}{18}=\frac{4}{3}\\ \frac{HC}{AH}=\frac{32}{24}=\frac{4}{3}\end{array}\right\}\Rightarrow \frac{AH}{BH}=\frac{HC}{AH}$ 

Xét $\Delta AHB$ và $\Delta CHA$ có:  $\left.\begin{array}{l}\widehat{AHB}=\widehat{CHA}=90°\\ \frac{AH}{BH}=\frac{HC}{AH}\left(cmt\right)\end{array}\right\}\Rightarrow \Delta AHB”\Delta CHA(c.g.c)\Rightarrow \widehat{ABH}=\widehat{CAH}$   

Ta có: $\widehat{HBA}+\widehat{BAH}=90°\Rightarrow \widehat{CAH}+\widehat{HAB}=90°$ 

Xét $\Delta ABH$ và $\Delta CBA$ có:   $\left.\begin{array}{l}\widehat{AHB}=\widehat{CAB}=90°\\ \widehat{B}\left(chung\right)\end{array}\right\}\Rightarrow \Delta ABH”\Delta CAB(g-g)$ (đpcm)

Chứng minh $\Delta \text{EMC}~\Delta \text{ECB}$ 

Tam giác EMC có trung tuyến $MD=DA=\frac{1}{2}EC$ nên là tam giác vuông tại M.

$\left\{\begin{array}{l}\widehat{MEC}=\widehat{CEB}\\ \widehat{EMC}=\widehat{ECB}={90}^0\end{array}\right.\Rightarrow \Delta ECB~\Delta EMC$

Chứng minh $EB.MC=2{\text{a}}^2$.

Tính diện tích tam giác EMC theo a.

$\widehat{EMB}=\widehat{CAB}(={90}^0),\widehat{EBM}=\widehat{CBA}$ (góc chung)$\Rightarrow \Delta EMB~\Delta CAB$ (g.g)

ΔBEC có 2 đường cao CA,EM cắt nhau tại H nên H là trực tâm ΔBEC, $BH\perp EC$

Chứng minh  $\Delta AHE”\Delta MHC$từ đó suy ra $HA.HC=HM.HE.$ 

Ta có $B{D}^2=A{B}^2+A{D}^2$, suy ra tam giác ABD vuông tại A (Pitago đảo)

Ta có$BC=\sqrt{C{D}^2-B{D}^2}=3\sqrt{5}$ (Pitago)

Vẽ $BH\perp AC\left(H\in AC\right)$ Xét $∆$ABH và $∆$ACE có $\widehat{AHB}=\widehat{AEC}={90}^0;\widehat{BAC}$chung .

Suy ra  $\Delta \text{ABH }”△\text{ACE\hspace{0.17em}}(\text{g}\cdot \text{g})$ 

$\Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{AH}{AE}\Rightarrow AB.AE=AC.AH$(1)

Xét $\Delta CBH$ và $\Delta ACF$ có $\widehat{BCH}=\widehat{CA\text{}F}$ (so le trong) $\widehat{CHB}=\widehat{CFA}\left(={90}^0\right)$

Suy ra $\Delta \text{CBH\hspace{0.17em}}”\Delta \text{ACF}(\text{g}.\text{g})$ $\Rightarrow \frac{BC}{AC}=\frac{CH}{A\text{}F}\Rightarrow BC.A\text{}F=AC.CH$ (2)

Cộng vế theo vế (1) và (2) ta được: