Dạng 5. Bài luyện tập có đáp án

Có E là trung điểm của AC (vì BE là trung tuyến) $\Rightarrow \frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$(tính chất trung điểm của đoạn thẳng)

$\Delta ABC$ có các trung tuyến  cắt nhau tại

$\Rightarrow$ Glà trọng tâm $\Delta ABC$

$\frac{AG}{GD}=\frac{2}{1}=2$ (G là trọng tâm $\Delta ABC$)

 G là trọng tâm $\Delta ABC$$\Rightarrow$ $\frac{AG}{GD}=\frac{BG}{GE}=\frac{CG}{GF}$ 

 $\Rightarrow$BGvà GE là cặp đoạn thẳng tỉ lệ với AG và GD.

$\Rightarrow$CG và GF là cặp đoạn thẳng tỉ lệ với AG và GD.

Xét $\Delta OBD$ có: $AC//BD$ (gt)

$\Rightarrow \frac{AO}{AB}=\frac{OC}{CD}$ (định lí Ta-let trong tam giác)

$\Rightarrow CD=\frac{AB.OC}{OA}=\frac{3.3}{2}=4,5\left(cm\right)$

Theo định lý Ta-lét trong $\Delta ACE$, ta có:$\frac{DE}{AE}=\frac{BC}{AC}\Rightarrow \frac{DE}{AE}=\frac{6}{11}$.

Cách 1. Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có:$\frac{DE+AE}{AE}=\frac{17}{11}$

Từ đó tính được $AE=16,5\text{cm};DE=9\text{cm}$ và $AD=7,5\text{cm}$.

Cách 2. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Cách 3. Thay $DE=25,5-AE$ vào $\frac{DE}{AE}=\frac{6}{11}$

Kẻ $DM//BK(M\in AC)$

Áp dụng định lý Ta-lét trong $\Delta CBK$, ta có:

$\frac{KM}{KC}=\frac{BD}{BC}\Rightarrow \frac{KM}{KC}=\frac{3}{4}$   (1)

Tương tự với $\Delta ADM$ ta có:  $\frac{AK}{KM}=\frac{1}{2}$  (2)

Từ (1) và (2), tìm được:$\frac{AK}{KC}=\frac{3}{8}$

Chứng minh được ADEF là hình bình hành, từ đó: $EF=AD$ (1)

Kẻ $MG\text{//}AC$ (G Î AB), ta được G là trung điểm của AB. Áp dụng định lý Ta-lét trong $\Delta ABC$, ta có: $\frac{CF}{EF}=\frac{AC}{AB}$  (2)

Tương tự với $\Delta AGM$và $\Delta ABC$, ta có:

  $\frac{DK}{AD}=\frac{MG}{AG}=\frac{MG}{BG}=\frac{AC}{AB}$ (3)

Từ (1), (2), (3) ta suy ra $CF=DK$

Xét $\Delta ABC$ có:$DE//BC$

$\Rightarrow \frac{AC}{EC}=\frac{AB}{BD}hay\frac{AC}{AB}=\frac{EC}{BD}$ (định lí Ta-let trong tam giác)

Xét $\Delta DEF$có: $DE//MC$ (vì $DE//BC$ )

$\Rightarrow \frac{DM}{MF}=\frac{EC}{CF}$ (định lí Ta-let trong tam giác)

Mà $CF=DB$(gt)(3)  nên từ (1), (2)và (3)$\Rightarrow$ $\frac{DM}{MF}=\frac{AC}{AB}$

 +) $NK\text{//}CH$$\Rightarrow \frac{AK}{AH}=\frac{AN}{AC}\Rightarrow \frac{AN}{AC}=\frac{1}{3}$ 

 $MN\text{//}BC$$\Rightarrow \frac{MN}{BC}=\frac{AN}{AC}\Rightarrow \frac{MN}{BC}=\frac{1}{3}$

+)$IF\text{//}CH$$\Rightarrow \frac{AI}{AH}=\frac{AF}{AC}\Rightarrow \frac{AF}{AC}=\frac{2}{3}$  

 $EF\text{//}BC$$\Rightarrow \frac{\text{EF}}{BC}=\frac{AF}{AC}\Rightarrow \frac{\text{EF}}{BC}=\frac{2}{3}$

$MNFE$ có $MN\text{//}FE$ và $KI\perp MN$. Do đó  $MNEF$ là hình thang có 2 đáy MN, FE, chiều cao KI.$\Rightarrow S_{MNEF}=\frac{(MN+FE).KI}{2}=\frac{\left(\frac{1}{3}BC+\frac{2}{3}BC\right).\frac{1}{3}AH}{2}=\frac{1}{3}.S_{ABC}=30\left(c{m}^2\right)$