Vì $KM//AC$  nên  $\frac{AK}{AB}=\frac{MC}{BC}$

Qua F kẻ $FI//AB$ ;  $I\in BC\Rightarrow \frac{CF}{CA}=\frac{CI}{CB}=\frac{EM}{BC}$

 $\Rightarrow \frac{AK}{AB}+\frac{BE}{BC}+\frac{CF}{CA}=\frac{MC}{BC}+\frac{BE}{BC}+\frac{EM}{BC}=\frac{BC}{BC}=1$

Vậy $\frac{AK}{AB}+\frac{BE}{BC}+\frac{CF}{CA}=1$ .

Vì $FH//BC$  nên  $\frac{FH}{BC}=\frac{AH}{AB}$

Vì $KM//AC$  nên  $\frac{KM}{AC}=\frac{BK}{AB}$

Suy ra  $\frac{FH}{BC}+\frac{MK}{AC}+\frac{DE}{AB}=\frac{AH}{AB}+\frac{BK}{AB}+\frac{AK+BH}{AB}=\frac{AH+HB}{AB}+\frac{AK+KB}{AB}=2$

Vậy $\frac{DE}{AB}+\frac{FH}{BC}+\frac{MK}{CA}=2$ .

Kẻ  $AE\perp BD$

Vì $OK//HC$  nên  $\frac{AO}{AC}=\frac{OK}{HC}\Rightarrow AO.HC=OK.AC$

Lại có $AD.BI.CH=2S_{ABD}.CH$

Mà

 $$\begin{gathered} BD.AE=2S_{ABD},OA.HC=OK.AC,AO\ge AE \\ \Rightarrow AD.BI.CH=2S_{ABD}.CH=BD.AE.CH\le BD.AO.CH=BD.OK.AC \end{gathered}$$

Vậy $AD.BI.CH\le BD.OK.AC$ .

Kẻ $DE//AB$  (E thuộc AC)

Ta có: $\widehat{ADE}=\widehat{BAD}=\widehat{DAE}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}=\frac{1}{2}.120°=60°$  (hai góc so le trong)

$\Rightarrow \Delta ADE$ đều

Đặt  $AD=DE=EA=x$

Vì $AB//DE$  nên $\frac{DE}{AB}=\frac{CE}{CA}$  (hệ quả định lý Ta-lét)  $\Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{4-x}{4}\Rightarrow 4x=2\left(4-x\right)\iff x=\frac{4}{3}$

Vậy $AD=\frac{4}{3}cm$ .

Kẻ $DE//AB$  (E thuộc AC)

Ta có: $\widehat{ADE}=\widehat{BAD}=\widehat{DAE}$  (hai góc so le trong) $\Rightarrow \Delta ADE$  cân tại E

Đặt  $DE=EA=x$

Vì $AB//DE$  nên $\frac{DE}{AB}=\frac{CE}{CA}$  (hệ quả định lý Ta-lét)

 $\Rightarrow \frac{x}{AB}=\frac{AC-x}{AC}=1-\frac{x}{AC}\Rightarrow \frac{x}{AB}+\frac{x}{AC}=1\Rightarrow \frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{1}{x}$

Theo đề bài có: $\frac{1}{AD}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}\Rightarrow AD=x\Rightarrow \Delta ADE$  đều  $\Rightarrow \widehat{DAE}=60°\Rightarrow \widehat{BAC}=120°$

Vậy $\widehat{BAC}=120°$ .

Trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho  $AF=BE$

Gọi giao điểm của CF và EA, ED lần lượt là H, O; giao điểm của EA và DF là K.

Xét $\Delta ABE$  và $\Delta DAF$  có: $\left\{\begin{array}{l}AB=AD\left(\text{tính chaát hình vuoâng}\right)\\ \widehat{ABE}=\widehat{ADF}=90°\\ AF=BE\left(\text{theo caùch döïng}\right)\end{array}\right.$

$\Rightarrow \Delta ABE=\Delta DAF\left(c.g.c\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\widehat{AFD}=\widehat{BEA}\left(1\right)\\ AE=DF\left(2\right)\end{array}\right.$

Mặt khác $\left\{\begin{array}{l}\widehat{FAK}=\widehat{BAE}\\ \widehat{BAE}+\widehat{BEA}=90°\end{array}\right.\left(3\right)$

Từ (1) và (3) ta có $\widehat{AFD}+\widehat{FAK}=90°\Rightarrow \widehat{FKA}=90°\Rightarrow EA\perp DF$

Lại có  $\widehat{ADF}=\widehat{BAE}\Rightarrow \widehat{CDF}=\widehat{ADF}+90°=\widehat{BAE}+90°=\widehat{DAE}$(4)

Xét $\Delta CDF$  và $\Delta DAE$  có: $\left\{\begin{array}{l}\text{CD=DA }\left(\text{tính chaát hình vuoâng}\right)\\ \widehat{CDF}=\widehat{DAE}\text{ (theo (4))}\\ AE=DF\text{ (theo (2))}\end{array}\right.$

$\Rightarrow \Delta CDF=\Delta DAE\left(c.g.c\right)\Rightarrow \widehat{DCF}=\widehat{ADE}$

mà $\widehat{CDO}+\widehat{ADE}=90°\Rightarrow \widehat{CDO}+\widehat{DCF}=90°$

$\Rightarrow ED\perp CF\Rightarrow I$ là trực tâm tam giác CEF; H là trực tâm tam giác DEF

$\Rightarrow CI\perp EF,DH\perp EF\Rightarrow DH//CI\Rightarrow \frac{EJ}{EH}=\frac{EI}{ED}$ (định lý Ta-lét) (*)

Vì $IB//DC$  nên $\frac{EI}{ED}=\frac{EB}{EC}$  (**)

Từ (*) và (**) có $\frac{EJ}{EH}=\frac{EB}{EC}\Rightarrow BJ//CH$  (định lý Ta-lét đảo) mà  $CH\perp ED$

(theo trên), suy ra $BJ\perp ED$ .

Vây BJ vuông góc với DE.

Vì M là trung điểm AB, N là trung điểm CD nên  $\frac{MB}{ND}=\frac{MA}{NC}$

Mà $AB//DC$  nên AC, MN, BD đồng quy hay O thuộc MN (1 ).

Lại có:  $\frac{MA}{ND}=\frac{MB}{NC}=\frac{AB}{CD}$

mà $AB//DC$  nên AD, MN, BC đồng quy hay I thuộc MN (2).

Từ (1 ) và (2) suy ra I, M, O, N thẳng hàng.

Nhận xét:

- Đây là bài toán đơn giản tuy nhiên được sử dụng rất nhiều với tên gọi Bổ đề hình thang: "Trong hình thang có hai cạnh đáy không bằng nhau, đường thẳng đi qua giao điểm của các đường thẳng chứa hai cạnh bên thì đi qua trung điểm của hai đáy"

- Ngược lại: Trong hình thang có hai cạnh đáy không bằng nhau, giao điểm của hai cạnh bên, giao điểm của hai đường chéo và trung điểm của hai đáy là các điểm thẳng hàng".