Dạng 2. Tìm độ dài đoạn thẳng, số đo góc

Gọi độ dài cạnh hình thoi là x.

Vì ED//BC nên EDBC=AEAB (hệ quả định lý Ta-lét)

 ⇒xa=c−xc⇔cx=ac−x⇔cx=ac−ax

 ⇔a+cx=ac⇔x=aca+c

Vậy x=aca+c.

Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho BK=BA.

Ta có tam giác ABK cân tại B nên BKA^=BAK^=12ABC^ (tính chất góc ngoài tam giác).

Mà EBD^=DBF^=12ABC^⇒AKB^=DBF^⇒BD//AK⇒BDAK=CBCK (hệ quả định lý Ta-lét)

 ⇒BDAK=CBBC+BK=aa+c(1)

Trong tam giác ABK có: 

AK<AB+BK=c+c=2c (định lý về độ dài cạnh trong tam giác) (2).

Từ (1) và (2) có:  BD<aa+c.2c=2aca+c

Vậy BD<2aca+c.

Vì ED//BC nên EDBC=ADAC (hệ quả định lý Ta-lét)  

Tương tự có  AB=dm+nn

Vậy BC=dm+nm và AB=dm+nn.

Định hướng

Sau khi vẽ hình ta thấy hình thang PQCB có đủ các điều kiện của Ví dụ 2 - dạng 1 - chủ đề 1. Do đó ta có thể sử dụng kết quả của Ví dụ 2 để giải quyết bài toán.

Lời giải

Đặt BC=x.

Áp dụng kết quả của Ví dụ 2 - dạng 1 - chủ đề 1 ta có:

 1GE=1GF=1a+1x⇒GE=GF=axa+x

 ⇒GE+GF=2axa+x⇔EF=2axa+x⇔b=2axa+x

⇔ab+bx−2ax=0⇔x=ab2a−b 

Vậy BC=ab2a−b.

Gọi H là giao điểm của CM và AB, G là giao điểm của AM và DF.

Vì AB//CG nên ABCG=BEEC=BEBC−BE=26−2=12 (hệ quả định lý Ta-lét)

 ⇒CG=2AB=2.6=12⇒FG=CG−CF=12−3=9

Vì AH//CG nên  BHAB=CFFG

 ⇒BH6=39⇒BH=6.39=2⇒BH=BE

Xét ΔBAE và ΔBCH có:

 BE=BH theo treânABE^=CBH^=90°AB=BC tính chát hình vuong

⇒ΔBAE=ΔBCHc.g.c⇒BEA^=BHC^⇒AMC^=MAH^+AHM^=MAH^+AEB^=90°

Vậy AMC^=90°.