Dạng 1. Chứng minh hệ thức
5 câu hỏi
Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC theo thứ tự ở E, K, G. Chứng minh rằng: AE2=EK.EG
Vì AD//BK⇒EKAE=EBED (1)
Vì AB//DG⇒AEEG=EBED (2)
Từ (1) và (2) có: EKAE=EBED=AEEG⇒AE2=EK.EG
Vậy AE2=EK.EG
Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC theo thứ tự ở E, K, G. Chứng minh rằng: 1AE=1AK+1AG
Vì AD//BK⇒AEAK=DEDBAB//DG⇒AEAG=BEBD;
nên AEAK+AEAG=DEBD+BEBD=BDBD=1⇒1AK+1AG=1AE
Vậy 1AK+1AG=1AE.
Một đường thẳng đi qua đỉnh A của hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC theo thứ tự ở E, K, G. Chứng minh rằng: Khi đường thẳng thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG có giá trị không thay đổi.
Đặt AB=a, AD=b
Vì AB//CG⇒BKKC=ABCG=aCG;AD//CK⇒KCAD=CGDG=KCb; nên BKa=bDG
⇒BK.DG=a.b (hằng số).
Vậy khi đường thẳng thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG có giá trị không thay đổi.
Cho hình thang ABCD có AB=a, CD=b. Qua giao điểm O của hai đường chéo, kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AD và BC theo thứ tự ở E và G. Chứng minh rằng 1OE=1OG=1a+1b.
Vì OE//AB nên OEAB=DEDA⇔OEa=DEDA (theo hệ quả định lý Ta-lét) (1).
Vì OE//CD nên OEDC=AEDA⇔OEb=AEDA (theo hệ quả định lý Ta-lét) (2).
Từ (1) và (2) ta được
OEa+OEb=DEDA+AEDA=1⇔OE1a+1b=1⇔1a+1b=1OE
Tương tự có: 1a+1b=1OG
Vậy 1OE=1OG=1a+1b.
Cho hình thang ABCD (AB//CD). Điểm E thuộc cạnh AD, điểm F thuộc cạnh BC sao cho DEDA=BFBC=13. Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của EF với BD, AC.
Chứng minh rằng EM=NF.
Kẻ AA', CC', EE', FF' vuông góc với BD (A', C', E', F' thuộc BD).
Vì EE'//AA' (cùng vuông góc với BD)
⇒EE'AA'=DEDA=13⇒EE'=13AA'
Tương tự có: FF'=13CC'
Vì CC'//AA' (cùng vuông góc với BD)
⇒AA'CC'=OAOC
Vì EE'//FF' (cùng vuông góc với BD)
⇒EMMF=EE'FF'=13AA'13CC'=AA'CC'=OAOC (1)
Tương tự FNNE=OBOD (2)
Măt khác vì AB//CD⇒OAOC=OBOD (3)
Từ (1), (2), (3) có EMMF=FNNE⇒EMEM+MF=FNFN+NE⇒EMEF=FNEF⇒EM=FN.
Vậy EM=NF
