Dạng 1. Chứng minh hệ thức

Vì $AD//BK\Rightarrow \frac{EK}{AE}=\frac{EB}{ED}$ (1)

Vì $AB//DG\Rightarrow \frac{AE}{EG}=\frac{EB}{ED}$ (2)                       

Từ (1) và (2) có:       $\frac{EK}{AE}=\frac{EB}{ED}=\frac{AE}{EG}\Rightarrow A{E}^2=EK.EG$     

Vậy $A{E}^2=EK.EG$

Vì $AD//BK\Rightarrow \frac{AE}{AK}=\frac{DE}{DB}AB//DG\Rightarrow \frac{AE}{AG}=\frac{BE}{BD}$;

nên  $\frac{AE}{AK}+\frac{AE}{AG}=\frac{DE}{BD}+\frac{BE}{BD}=\frac{BD}{BD}=1\Rightarrow \frac{1}{AK}+\frac{1}{AG}=\frac{1}{AE}$

Vậy $\frac{1}{AK}+\frac{1}{AG}=\frac{1}{AE}$.

Đặt  $AB=a,AD=b$

Vì $AB//CG\Rightarrow \frac{BK}{KC}=\frac{AB}{CG}=\frac{a}{CG};AD//CK\Rightarrow \frac{KC}{AD}=\frac{CG}{DG}=\frac{KC}{b}$;  nên  $\frac{BK}{a}=\frac{b}{DG}$

$\Rightarrow BK.DG=a.b$ (hằng số).

Vậy khi đường thẳng thay đổi vị trí nhưng vẫn đi qua A thì tích BK.DG có giá trị không thay đổi.

Vì $OE//AB$  nên $\frac{OE}{AB}=\frac{DE}{DA}\iff \frac{OE}{a}=\frac{DE}{DA}$ (theo hệ quả định lý Ta-lét) (1).

Vì $OE//CD$ nên $\frac{OE}{DC}=\frac{AE}{DA}\iff \frac{OE}{b}=\frac{AE}{DA}$ (theo hệ quả định lý Ta-lét) (2).

Từ (1) và (2) ta được

$\frac{OE}{a}+\frac{OE}{b}=\frac{DE}{DA}+\frac{AE}{DA}=1\iff OE\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)=1\iff \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{OE}$

Tương tự có: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{OG}$

Vậy $\frac{1}{OE}=\frac{1}{OG}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$.

Kẻ $A{A}^{\text{'}},C{C}^{\text{'}},E{E}^{\text{'}},F{F}^{\text{'}}$ vuông góc với BD ($A^{\text{'}},C^{\text{'}},E^{\text{'}},F^{\text{'}}$ thuộc BD).

Vì $E{E}^{\text{'}}//A{A}^{\text{'}}$ (cùng vuông góc với BD)

 $\Rightarrow \frac{E{E}^{\text{'}}}{A{A}^{\text{'}}}=\frac{DE}{DA}=\frac{1}{3}\Rightarrow E{E}^{\text{'}}=\frac{1}{3}A{A}^{\text{'}}$

Tương tự có: $F{F}^{\text{'}}=\frac{1}{3}C{C}^{\text{'}}$

Vì $C{C}^{\text{'}}//A{A}^{\text{'}}$ (cùng vuông góc với BD)

 $\Rightarrow \frac{A{A}^{\text{'}}}{C{C}^{\text{'}}}=\frac{OA}{OC}$

Vì $E{E}^{\text{'}}//F{F}^{\text{'}}$  (cùng vuông góc với BD)

Tương tự $\frac{FN}{NE}=\frac{OB}{OD}$ (2)

Măt khác vì $AB//CD\Rightarrow \frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}$ (3)

Từ (1), (2), (3) có $\frac{EM}{MF}=\frac{FN}{NE}\Rightarrow \frac{EM}{EM+MF}=\frac{FN}{FN+NE}\Rightarrow \frac{EM}{EF}=\frac{FN}{EF}\Rightarrow EM=FN$.

Vậy $EM=NF$