Dạng 5. Bài luyện tập dạng cơ bản có đáp án

Hình 1. Trong tam giác ABC, $\Delta OPQ,MN//PQ$ta có: $\frac{OP}{ON}=\frac{PQ}{MN}$ ( hệ quả của định lí Ta-let)

$\iff \frac{x}{2}=\frac{5,2}{3}\iff x=\frac{5,2.2}{3}=\frac{52}{15}\left(cm\right)$

Hình 2. Ta có: $EF\perp AB;EF\perp Q\text{D}$ Suy ra $AB//Q\text{D}$.

Trong $\Delta OQF,QF//EB$ suy ra: $\frac{OF}{OE}=\frac{FQ}{EB}$   ( hệ quả của định lí Ta-let)

$\iff \frac{x}{3}=\frac{3,5}{2}\iff x=\frac{3.3,5}{2}=5,25\left(cm\right)$

Hình 3.Áp dụng định lí Pytago trong $\Delta AMN,\widehat{A}={90}^0$ ta có:

 $M{N}^2=A{M}^2+A{N}^2={16}^2+{12}^2\Rightarrow MN=\sqrt{400}=20\left(cm\right)$

Trong $\Delta AMN,MN//BC$ suy ra: $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$( hệ quả của định lí Ta-let)

$\iff \frac{16}{24}=\frac{12}{AC}\iff AC=\frac{24.12}{16}=18\left(cm\right)$;  

Trong $\Delta AMN,MN//BC$ suy ra: $\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}$ ( hệ quả của định lí Ta-let)

$\iff \frac{16}{24}=\frac{20}{BC}\iff BC=\frac{24.20}{16}=30\left(cm\right)$

$AK//BD\Rightarrow \frac{AI}{ID}=\frac{AK}{BD}$

Từ  $AH//DC\Rightarrow \frac{AI}{ID}=\frac{AH}{DC}$

Do đó  $\frac{AK}{BD}=\frac{AH}{DC}$

Ta có:  $\frac{AK}{BD}=\frac{AH}{DC}=\frac{AK+AH}{BD+DC}=\frac{HK}{BC}=\frac{AI}{ID}$

Ta chứng minh

 $\frac{AF}{BF}=\frac{AH}{BC}\left(2\right);\frac{AE}{CE}=\frac{AK}{BC}\left(3\right)$

Từ (1), (2), (3) ta có $\frac{AE}{CE}+\frac{AF}{BF}=\frac{AI}{ID}$ (đpcm)

Trong $\Delta ABH,B\text{'}H\text{'}//BH$ suy ra $\frac{AH\text{'}}{AH}=\frac{AB\text{'}}{AB}$ (hệ quả của định lí Ta-let)                        (1)

Trong $\Delta ACH,C\text{'}H\text{'}//CH$ suy ra $\frac{AH\text{'}}{AH}=\frac{AC\text{'}}{AC}$ ( hệ quả của định lí Ta-let)                        (2)

Trong $\Delta ABC,B\text{'}C\text{'}//BC$ suy ra $\frac{AB\text{'}}{AB}=\frac{AC\text{'}}{AC}$ ( hệ quả của định lí Ta-let)                        (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:$\frac{AH\text{'}}{AH}=\frac{B\text{'}C\text{'}}{BC}$

Ta có: $\frac{AH\text{'}}{AH}=\frac{B\text{'}C\text{'}}{BC}$ ( câu a);  $\frac{B\text{'}C\text{'}}{BC}=\frac{1}{3}\Rightarrow B\text{'}C\text{'}=\frac{1}{3}BC$

Từ $IM\text{//}BK$ và $KN\text{//}IC$ ta suy ra  $\frac{AI}{AB}=\frac{AM}{AK}$ và $\frac{AN}{AI}=\frac{AK}{AC}$.

Do đó $\frac{AN}{AB}=\frac{AM}{AC}$ Þ  $MN\text{//BC}$.

Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt BQ và CR lần lượt tại N và M.

Ta chứng minh được: $\frac{QC}{AQ}=\frac{BC}{AN}$ (1)

$\frac{RA}{BR}=\frac{AM}{BC} \left(2\right)$ ;  $\frac{BP}{CP}=\frac{AN}{AM}$(3)

Từ (1), (2), (3) suy ra $\frac{PB}{PC}\cdot \frac{QC}{QA}\cdot \frac{RA}{RB}=1$ (đpcm)

Gọi O là giao điểm của AC và BD

$\left.\begin{array}{l}BI//DC\Rightarrow \frac{OI}{OC}=\frac{OB}{OD}\\ AB//CF\Rightarrow \frac{OC}{OA}=\frac{OF}{OB}\end{array}\right\}\Rightarrow \frac{OI}{OA}=\frac{OF}{OD}\Rightarrow AD/\text{IF}$

Tương tự  $IK=KF$. Do đó  $EI=IK=KF$.

$MF\text{//}AD\Rightarrow \frac{{\displaystyle MF}}{{\displaystyle AD}}=\frac{{\displaystyle CM}}{{\displaystyle CD}}$  

 $AD\text{//}ME\Rightarrow \frac{{\displaystyle ME}}{{\displaystyle AD}}=\frac{{\displaystyle BM}}{{\displaystyle BD}}$ 

 $\Rightarrow \frac{MF}{AD}+\frac{ME}{AD}=\frac{CM}{CD}+\frac{BM}{BD}$ mà $CD=BD$ (gt)

$\Rightarrow \frac{MF+ME}{AD}=\frac{CM+BM}{CD}=\frac{BC}{CD}=2\Rightarrow ME+MF=2AD$(đpcm)

$ME+MF=2AD$  (cmt)

Mà  $ME+MF=\text{F}E+MF+MF=FE+2MF=2IF+2MF=2IM$

$\left.\begin{array}{l}\Rightarrow AD=IM\\ AD//IM\end{array}\right\}\Rightarrow ADIM$ là hình bình hành