Dạng 5. Bài tập tự luyện số 2 có đáp án
9 câu hỏi
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi E là một điểm nằm giữa C và D. Tia phân giác của góc DAE cắt CD ở F. Kẻ FH⊥AE (H∈AE),FH cắt BC ở K.
a) Tính độ dài AH.
a) ΔADF=ΔAHF (cạnh huyền, góc nhọn) ⇒AH=AD=a.
b) Tính số đo góc FAK.
b) ΔAHK=ΔABK (cạnh huyền, cạnh góc vuông) ⇒A3^=A4^.
Kết hợp với giả thiết, ta có: FAK^=A2^+A3^=12900=450.
Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, CD và I là giao điểm của AN, DM. Chứng minh rằng:
a) AN⊥DM;
a) Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình vuông ABCD ta được:
AD=DC,D^=C^DN=CM
⇒ΔADN=ΔDCM (c-g-c)
⇒A1^=D1^.
Vì ΔADN vuông ở D, nên A1^+N1^=900. (1)
Thay A1^=D1^ vào đẳng thức (1) ta được D1^+N1^=900.
Điều này chứng tỏ tam giác DIN vuông ở I hay AN⊥DM.
b) BA = BI
b) Gọi giao điểm của DM với AB là K, khi đó ΔDMC=ΔKMB (g-c-g) => BK = DC.
Lại có AB = DC nên AB = BK suy ra IB là trung tuyến ứng
với cạnh huyền của tam giác vuông AIK. Do đó IB = BA.
Cho một hình vuông cạnh dài 1m. Vẽ hình vuông thứ hai nhận đường chéo của hình vuông đã cho làm cạnh. Tính độ dài đường chéo của hình vuông này.
Xét hình vuông ABCD có AB = BC = 1m.
Ta đi dựng hình vuông nhận đường chéo AC làm cạnh để tính đường chéo của hình vuông mới này.
Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, tia đối của tia BC lấy điểm F sao cho BE = BF = 1m. Ta được tứ giác AFEC có hai đường chéo bằng nhau, vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình vuông cạnh AC. Hình vuông này có đường chéo AE = 2cm.
Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia CB lấy điểm M, trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho BM = DN. Vẽ hình bình hành MANF, gọi O là trung điểm của AF. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác MANF là hình vuông.
a) ΔABM=ΔADN (c-g-c)
⇒AM=AN,A1^=A3^.
Hình bình hành MANF có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình thoi.
Do góc A2 phụ với góc A3 nên góc A1 phụ với A2 hay MAN^=900.
Điều này chứng tỏ hình thoi MANF là hình vuông vì có một góc vuông.
b) F thuộc tia phân giác của góc MCN.
b) Kẻ FH. FK theo thứ tự vuông góc với hai đường thẳng BC, NC thu được tứ giác KCHF có ba góc vuông nên là hình chữ nhật, suy ra KFH^=900.
Lại có NFM^=900 vì là góc của hình vuông nên F1^=F3^ do cùng phụ với F2^.
Từ đó ΔFKN=ΔFHM (cạnh huyền, góc nhọn) => FH = FK.
Điều này chứng tỏ điểm F cách đều hai cạnh CM, CN của góc MCN nên F thuộc tia phân giác của góc MCN.
c) AC⊥CF
c) Theo tính chất về đường chéo của hình vuông và từ câu b), ta có C1^=C2^=450⇒ACF^=900⇒AC⊥CF.
d) Tứ giác BOFC là hình thang.
d) Tương tự như trên ta có B1^=C3^=450⇒OB∥CF.
Tứ giác BOFC có hai cạnh đối song song nên là hình thang.
