Dạng 1. Phiếu tự luyện số 1 có đáp án
32 câu hỏi
Cho hình bình hành ABCD. Gọi K, I lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Đường chéo BD cắt AI ở M và cắt CK ở N. Chứng minh rằng:
a) AI // KC, AI = KC
a) Chứng minh AICK là hình bình hành (2 cạnh đối AK, IC song song và bằng nhau) rồi suy ra ĐPCM.
b) ΔADM=ΔCBN.
b) AICK là hình bình hành suy ra ΔADI=ΔCBKc−c−c⇒ΔADM=ΔCBNg−c−g
c) KMIN, AMCN là các hình bình hành.
c) KN=12AM,MI=12NC, AM=NC ΔADM=ΔCBN⇒KN=MI
Mà KN // MI nên tứ giác KMIN là hình bình hành.
AMCN là các hình bình hành vì AM = NC và AM // NC
b) DM = MN = NB
d) Từ câu a) suy ra DM = NB mà MN = NB( định lí đường trung bình trong ΔAMB)
Do đó DM = MN = NB
Cho hình bình hành ABCD có BC = 2.AB và BAD^=600. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC và AD
a) Chứng minh tứ giác ECDF là hình thoi.
a) Ta có FD // EC, FD=EC=12AD nên ECDF là hình bình hành.
Mà AB=12BC=12AD
AB = BE = EF = EC
=> ECDF là hình thoi.
b) Tứ giác ABED là hình gì?
b) Vì ECDF là hình thoi nên ADE^=12ADC^=12.1800−600=600.
Tứ giác ABED là hình thang cân vì BE // AD và BAD^=ADE^=600.
c) Tính số đo của góc AED^.
c) Ta có EF là đường trung bình của hình bình hành ABCD nên EF = CD = FD mà F là trung điểm AD nên EF = FD = AF
Suy ra ΔAED vuông tại E
Suy ra AED^=900.
Cho hình thoi ABCD, O là trung điểm của hai đường chéo. Vẽ đường thẳng qua B song song với AC, đường thẳng qua C song song với BD, hai đường thẳng đó cắt nhau ở K.
a) Tứ giác OBKC là hình gì?
a) BK // OC, CK // OB
Mà OB⊥OC⇒OBKC là hình chữ nhật.
b) Chứng minh AB = OK
b) ABCD là hình thoi nên AB = BC
OBKC là hình chữ nhật nên KO = BC=> KO = BC => ĐPCM
c) Tìm điều kiện của hình thoi ABCD để OBKC là hình vuông.
c) Nếu OBKC là hình vuông thì OB = OC => BD = AC. Vậy ABCD là hình vuông.
Cho hình vuông ABCD. E là điểm trên cạnh DC, F là điểm trên tia đối của tia BC sao cho BF = DE.
a) Chứng minh tam giác AEF vuông cân.
a) ΔDAE=ΔBAF c−g−c
⇒DAE^=BAF^ và AE = AF.
Mà EAD^+EAB^=900
⇒EAB^+BAF^=900
⇒ΔAEF vuông cân tại A.
b) Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh I thuộc BD.
b) Chứng minh IA = IE = FI (1)
Chứng minh IE = IC = FI (2)
Từ (1), (2) suy ra IA = IC nên C thuộc trung trực của AC hay I∈BD.
c) Lấy điểm K đối xứng với A qua I. Chứng minh tứ giác AEKF là hình vuông.
c) Chứng minh AFKE là hình bình hành, mà FE = AK = 2.AI và AE⊥AF. Vậy AFKE là hình vuông.
Cho hình thoi ABCD có B^=600. Kẻ AE⊥DC, AF⊥BC.
a) Chứng minh AE = AF
a) Do AC là phân giác của góc DCB^ nên AE = FA.
b) Chứng minh tam giác AEF đều
b) Có B^=600 nên ΔABC và ΔADClà các tam giác đều ⇒EAC^=FAC^=300
Vậy ΔAFE cân và có FAE^=600 nên ΔAFE đều.
c) Biết BD = 16cm, tính chu vi tam giác AEF
c) ΔABC và ΔADC là các tam giác đều có AE, AF là đường cao tương ứng của 2 tam giác nên cũng là đường trung tuyến. Do đó E, F lần lượt là trung điểm của DC, BC.
=> EF là đường trung bình của ΔDCB⇒AE=AB=EF=12BD=8cm.Vậy chu vi ΔFAE là 24cm
Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC. Lấy E là điểm đối xứng với H qua I. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của HC, CE. Các đường thẳng AM ,AN cắt HE tại G và K.
a) Chứng minh tứ giác AHCE là hình chữ nhật.
a) Chứng minh AHCE là hình bình hành; AHC^=900
=> AHCE là hình chữ nhật.
b) Chứng minh HG = GK = KE.
b) Chứng minh G, K lần lượt là trọng tâm của ΔAHC,ΔAFC và sử dụng tính chất 2 đường chéo của hình chữ nhật.
c) Tứ giác INMH là hình gì? Vì sao?
c) INMH là hình bình hành vì IN // HM và IN // HM.
Cho tam giác ABC có đường cao AI. Từ A kẻ tia Ax vuông góc với AC, từ B kẻ tia By song song với AC. Gọi M là giao điểm của tia Ax và tia By. Nối M với trung điểm P của AB, đường MP cắt AC tại Q và BQ cắt AI tại H
a) Tứ giác AMBQ là hình gì?
a) Chứng minh ΔMPB=ΔQPAg−c−g => PM=PQ; PB = PA và AM⊥AC nên AMBQ là hình chữ nhật.
b) Chứng minh CH⊥AB.
b) Chứng minh H là trực tâm của ΔABC => ĐPCM
c) Chứng minh tam giác PIQ cân.
c) Sử dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông để chứng minh PI=PQ=12AB.
Cho hình bình hành ABCD. Trên các cạnh AB và CD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM = DN. Đường trung trực của BM lần lượt cắt các đường thẳng MN và BC tại E và F
a) Chứng minh E và F đối xứng với nhau qua AB
a) Do AM = DN => MADN là hình bình hành.
=> D^=AMN^=EMB^=MBC^.
Ta có ΔMPE=ΔBPE nên EP = FP mà EF⊥MB. Vậy MEBFlà hình thoi và 2 điểm E, F đối xứng nhau qua AB
b) Chứng minh tứ giác MEBF là hình thoi
b) Tứ giác MEBF có MB∩FE=P. Lại có P là trung điểm BM, P là trung điểm EF ; MB⊥EF => MEBF là hình thoi.
c) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để tứ giác BCNE là hình thang cân.
c) Để BNCE là hình thang cân thì CNE^=BEN^. Mà CNE^=D^=MBC^=EMB^=EBM^ nên ΔMEB có 3 góc bằng nhau, suy ra điều kiện để BNCE là hình thang cân thì ABC^=600.
Cho tam giác ABC, vẽ ra phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE và BCKH. BM là đường trung tuyến của tam giác ABC.
a) Chứng minh DBH^+ABC^=1800.
a) DBH^+HBC^+CBA^+ABD^=3600.
Mà d => đpcm.
b) Vẽ hình bình hành DBHN. Chứng minh △ABC = △NHB
b) ΔABC=ΔNHBc−g−c
c) Chứng minh DH = 2.BM
c) Gọi O=DH∩BN.
=> O là trung điểm của DH và BN.
Ta có: ΔABC=ΔNHB => OH = BM (2 trung tuyến tương ứng).
Mà DH = 2OH => ĐPCM.
d) Chứng minh BM⊥DH.
d) Vì ΔBHO=ΔCBMc−c−c nên BHO^=MBC^
Gọi I=BM∩HD
IBM^=1800=IBH^+HBC^+CBM^=IBH^+900+CBM^⇒IBH^+CBM^=900⇒IBH^+BHO^=900⇒BIH^=900
Suy ra BM⊥DH.
Cho hình vuông ABCD. Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông. Kẻ OF⊥AD, OG⊥CD. Chứng minh;
a) Tứ giác OFDG là hình gì? Vì sao?
a) Tứ giác OFDG có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật.
Vì tứ giác ABCD là hình vuông nên ΔAOD và ΔCOD có O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông cân tại O. Mặt khác OF⊥AD, OG⊥CD nên F, G lần lượt là trung điểm của AD, DC. Suy ra DF = DG. Do đó, Tứ giác OFDG là hình vuông.
b) OB = FG và OB⊥FG;
b) Vì OFDG là hình vuông nên FG = OD và FG⊥OD.
Mà OD = OB và D, O, B thẳng hàng => OB = FG và OB⊥FG;
c) Các đường thẳng BO, AG, CF đồng quy.
c) Chứng minh được ΔADC có DO, CF, AG là 3 trung tuyến
Vậy các đường thẳng BO, AG, CF đồng quy.
