Dạng 1. Phiếu tự luyện số 1 có đáp án

a) Chứng minh AICK là hình bình hành (2 cạnh đối AK, IC song song và bằng nhau) rồi suy ra ĐPCM.

b) AICK là hình bình hành suy ra $\Delta ADI=\Delta CBK\left(c-c-c\right)\Rightarrow \Delta ADM=\Delta CBN\left(g-c-g\right)$ 

c) $KN=\frac{1}{2}AM,MI=\frac{1}{2}NC, AM=NC \left(\Delta ADM=\Delta CBN\right)\Rightarrow KN=MI$

Mà KN // MI nên tứ giác KMIN là hình bình hành.

AMCN là các hình bình hành vì AM = NC và AM // NC

d) Từ câu a) suy ra DM = NB mà MN = NB( định lí đường trung bình trong $\Delta AMB$)

Do đó DM = MN = NB

a) Ta có $FD\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}EC,FD=EC\left(=\frac{1}{2}AD\right)$ nên ECDF là hình bình hành.

Mà $AB=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD$

AB = BE = EF = EC 

=> ECDF là hình thoi.

b) Vì ECDF là hình thoi nên $\widehat{ADE}=\frac{1}{2}\widehat{ADC}=\frac{1}{2}.\left({180}^0-{60}^0\right)={60}^0$.

Tứ giác ABED là hình thang cân vì BE // AD và $\widehat{BAD}=\widehat{ADE}={60}^0$.

c) Ta có EF là đường trung bình của hình bình hành ABCD nên EF = CD = FD mà F là trung điểm AD nên EF = FD = AF 

Suy ra $\Delta AED$ vuông tại E 

Suy ra $\widehat{AED}={90}^0.$

a) BK // OC, CK // OB 

Mà $OB\perp OC$$\Rightarrow OBKC$ là hình chữ nhật.

b) ABCD là hình thoi nên AB = BC

a) $\Delta DAE=\Delta BAF\left(c-g-c\right)$

$\Rightarrow \widehat{DAE}=\widehat{BAF}$ và AE = AF.

Mà $\widehat{EAD}+\widehat{EAB}={90}^0$ 

$\Rightarrow \widehat{EAB}+\widehat{BAF}={90}^0$ 

$\Rightarrow \Delta AEF$ vuông cân tại A.

b) Chứng minh IA = IE = FI       (1) 

Chứng minh IE = IC = FI            (2)

Từ (1), (2) suy ra IA = IC nên C thuộc trung trực của AC hay $I\in BD.$

c) Chứng minh AFKE là hình bình hành, mà FE = AK = 2.AI và $AE\perp AF.$ Vậy AFKE là hình vuông.

a) Do AC là phân giác của góc $\widehat{DCB}$ nên AE = FA.

b) Có $\widehat{B}={60}^0$ nên $\Delta ABC$ và $\Delta ADC$là các tam giác đều $\Rightarrow \widehat{EAC}=\widehat{FAC}={30}^0$

Vậy $\Delta AFE$ cân và có $\widehat{FAE}={60}^0$ nên $\Delta AFE$ đều.

c) $\Delta ABC$ và $\Delta ADC$ là các tam giác đều có AE, AF là đường cao tương ứng của 2 tam giác nên cũng là đường trung tuyến. Do đó E, F lần lượt là trung điểm của DC, BC. 

=> EF là đường trung bình của $\Delta DCB\Rightarrow AE=AB=EF=\frac{1}{2}BD=8cm.$Vậy chu vi $\Delta FAE$ là 24cm

a) Chứng minh AHCE là hình bình hành; $\widehat{AHC}={90}^0$

=> AHCE là hình chữ nhật.

b) Chứng minh G, K lần lượt là trọng tâm của $\Delta AHC,\Delta AFC$ và sử dụng tính chất 2 đường chéo của hình chữ nhật.

c) INMH là hình bình hành vì IN // HM và IN // HM.

a) Chứng minh $\Delta MPB=\Delta QPA\left(g-c-g\right)$ => $PM=PQ$; PB = PA và $AM\perp AC$ nên AMBQ là hình chữ nhật.

c) Sử dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông để chứng minh $PI=PQ=\frac{1}{2}AB.$ 

a) Do AM = DN => MADN là hình bình hành.

=> $\widehat{D}=\widehat{AMN}=\widehat{EMB}=\widehat{MBC}$.

Ta có $\Delta MPE=\Delta BPE$ nên EP = FP mà $EF\perp MB$. Vậy MEBFlà hình thoi và 2 điểm E, F đối xứng nhau qua AB

b) Tứ giác MEBF có $MB\cap FE=P.$ Lại có P là trung điểm BM, P là trung điểm EF ; $MB\perp EF$ => MEBF là hình thoi.

c) Để BNCE là hình thang cân thì $\widehat{CNE}=\widehat{BEN}$. Mà $\widehat{CNE}=\widehat{D}=\widehat{MBC}=\widehat{EMB}=\widehat{EBM}$ nên $\Delta MEB$ có 3 góc bằng nhau, suy ra điều kiện để BNCE là hình thang cân thì $\widehat{ABC}={60}^0.$

a) $\widehat{DBH}+\widehat{HBC}+\widehat{CBA}+\widehat{ABD}={360}^0.$

Mà d => đpcm.

c) Gọi $\left\{O\right\}=DH\cap BN.$ 

=> O là trung điểm của DH và BN.

Ta có: $\Delta ABC=\Delta NHB$ => OH = BM (2 trung tuyến tương ứng).

Mà DH = 2OH => ĐPCM.

d) Vì $\Delta BHO=\Delta CBM\left(c-c-c\right)$ nên $\widehat{BHO}=\widehat{MBC}$

Gọi $I=BM\cap HD$

$$\begin{gathered} \widehat{IBM}={180}^0=\widehat{IBH}+\widehat{HBC}+\widehat{CBM} \\ =\widehat{IBH}+{90}^0+\widehat{CBM} \\ \Rightarrow \widehat{IBH}+\widehat{CBM}={90}^0 \\ \Rightarrow \widehat{IBH}+\widehat{BHO}={90}^0 \\ \Rightarrow \widehat{BIH}={90}^0 \end{gathered}$$

Suy ra $BM\perp DH.$

a) Tứ giác OFDG có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật.

Vì tứ giác ABCD là hình vuông nên $\Delta AOD$ và $\Delta COD$ có O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông cân tại O. Mặt khác $OF\perp AD,OG\perp CD$ nên F, G lần lượt là trung điểm của AD, DC. Suy ra DF = DG. Do đó, Tứ giác OFDG là hình vuông.

b) Vì OFDG là hình vuông nên FG = OD và $FG\perp OD$.

Mà OD = OB và D, O, B thẳng hàng => OB = FG và $OB\perp FG;$ 

c) Chứng minh được $\Delta ADC$ có DO, CF, AG là 3 trung tuyến

Vậy các đường thẳng BO, AG, CF đồng quy.