Dạng 2. Phiếu tự luyện số 2 có đáp án

a) Xác định dạng của tứ giác AEMF, AMBH, AMCK

H là điểm đối xứng với M  qua AB => AB là đường trung trực của HM  

⇒AH=AM;BH=BM;AEM^=90°

K là điểm đối xứng với M  qua AC => AC là đường BM = CM = AM  trung trực của KM

 ⇒AM=AK;CM=CK;AFM^=90°

Lại có => AH = BH = BM = AM = MC = CK = AK

Tứ giác AEMF  có AEM^=AFM^=EAF^=90° nên tứ giác AEMF  là hình chữ nhật

Tứ giác AMBH  có AH = BH = BM = AM nên tứ giác AMBH là hình thoi

Tứ giác AMCK  có AM = MC = CK = AK  nên tứ giác AMCK  là hình thoi

b) Tứ giác AMBH, AMCK  là hình thoi => AH // BM; AK // MC mà M∈BC => A, H, K thẳng hàng (theo tiên đề Ơclit)

Lại có AH = AK  (cmt) A  là trung điểm của HK  hay H đối xứng với K  qua A

c) Hình chữ nhật AEMF  là hình vuông <=> EM = AE <=>AB = AC <=> △ABC  vuông cân tại A .

a. BHCD là hình bình hành:

 Vì M vừa là trung điểm của BC  vừa là trung điểm của HD  nên BHCD  là hình bình hành.

b. Tam giác ABD, ACD vuông tại B, C :

BD // CH mà CH ⊥AB⇒BD⊥AB  

CD // BH mà BH⊥AC⇒CD⊥AC

c. BI, CI l ần lượt là trung tuyến của hai tam giác vuông có chung cạnh huyền AD

=> IA = IB = IC = ID

a) Theo giả thiết thì tứ giác CFME  có

Do đó MECF  là hình chữ nhật.

b) Gọi I  là giao điểm của EF và CM , I  là trung điểm của EF và CM .

Vì tam giác ABC  vuông cân tại C  nên CD⊥AB. Xét tam giác DCM  vuông tại D, có DI  là trung tuyến nên:

DI=12MC=12EF. Mà DI  cũng là trung tuyến trong tam giác DEF , do vậy tam giác DEF vuông tại D.

Trong tứ giác CEDF  có CED^+CFD^=180°⇒CED^=BFD^   (1).

Dễ thấy (2) và EC=MF=BF (3) (tam giác BFM vuông cân tại ).

Từ (1), (2), (3) suy ra hai tam giác CED và CFD bằng nhau (g-c-g).

Từ đó DE = DF . Vậy tam giác DEF vuông cân tại .

a) Theo tính chất tam giác vuông, ta có AM = MC = MB.

Tam giác CMA  cân tại A  và F  là trung điểm AC  suy ra MF⊥AC .

Chứng minh tương tự: ME⊥AB .

Vậy AEMF  là hình chữ nhật.

b) Ta có EF là đường trung bình trong tam giác ABC, suy ra . Theo giả thiết, AB < AC   suy ra  HB < HA  , do đó H  thuộc đoạn MB . Vậy EHMF  là hình thang. (1)

Tam giác HAB  vuông tại H, ta có HE = EA = EB, từ đó suy ra ΔAHE cân tại E

Ta có: EF//BCAH⊥BC⇒EF⊥AH  suy ra ΔAHE  cân tại E  có EF là đường cao đồng thời là đường phân giác  ⇒AEF^=HEF^

mà AEF^=MFE^ . Do đó ⇒MEF^=HEF^ (2)

 Từ (1) và (2) suy ra: EHMF  là hình thang cân.

a) Ta có O là trung điểm của AC  và BD .

Trong tam giác ABC, AM  và BO là hai đường trung tuyến, do đó P  là trọng tâm tam giác ABC. Từ đó ta có AP=23AM .

Chứng minh tương tự, ta có  AQ=23AN

b) Ta có: BP=23BO=13BD ; tương tự, DQ=13BD  , suy ra PQ=13BD .

Mặt khác OP=OQ=13OB , do đó O  là trung điểm PQ.

Vậy BP = PQ = QD = 2OP.

a) Trong tam giác ACD, PQ  là đường trung bình, suy ra PQ // CD

Tương tự MN//CD,MQ//AB,NP//AB .

Từ đó ta có MN // PQ  và NP // MQ  

Suy ra MNPQ  là hình bình hành.

Mặt khác, AB⊥CD⇒MN⊥MQ.

Vậy MNPQ  là hình chữ nhật.

b) Ta có MP = NQ. Theo giả thiết thì BCAD  là hình thang với hai đáy BC, AD có QN  là đường trung bình nên MP=NQ=12BC+AD=10cm.

a) Dễ thấy các tam giác ADM, BCN, AME, BNF  là các tam giác vuông cân với các đỉnh lần lượt là M, N, M, N.

do đó AM=DM=EM và BN=CN=FN.

Mặt khác, vì AD = BC  nên .

Vậy AM=DM=EM=BN=CN=FN.

b) Tam giác ADE  vuông tại A  có ADE^=450=> . Lại có , do đó BN // EM .

Theo trên BN = EM, do vậy BNME là hình bình hành, suy ra MN // BE // CD.

Suy ra CDMN là hình thang, mà  DCN^=CDM^(=450)

Vậy CDMN là hình thang cân.

c) Chứng minh tương tự như trên, ta có ÀNM cũng là hình bình hành.

Từ đó suy ra AF = BE = MN.

d) Theo chứng minh trên ta có BN // MD  và BN = MD, do đó BNDM  là hình bình hành, suy ra BD  và MN  cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn. Mặt khác BD  và AC  cũng cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn.

Vậy AC, BD, MN  đồng quy tại trung điểm mỗi đoạn.

a) Tứ giác ADME  có:

A^=D^=E^=90° nên ADME là hình chữ nhật.

b)  MD⊥AB, AC⊥AB, suy ra MD // AC .

Vì M  là trung điểm của BC nên MD  là đường trung bình của △ABC .

Tương tự, ME  cũng là đường trung bình của △ABC . Từ đó ta có D, E  lần lượt là trung điểm của AB, AC .

Suy ra MD // CE  và DE // MC. Vậy CMDE  là hình bình hành.

c) Theo trên thì DE // HM   (1).

Xét tam giác ACH vuông tại H , có HE  là trung tuyến nên HE=12AC⇒HE=AE.

Mặt khác, ADME  là hình chữ nhật (cmt) nên AE=DM

Suy ra HE = DM (2).

Từ (1) và (2) suy ra MHDE  là hình thang cân.

d) Xét hai tam giác ADK  và DBH , có:

DE//BC⇒ADK^=DBH^ (Hai góc đồng vị).

AD = DB (vì D  là trung điểm của AB)

DH // AK ⇒DAK^=BDH^ (Hai góc đồng vị).

Suy ra ΔADK=ΔDBH => AK = DH .

Lại có AK // DH, do đó ADHK  là hình bình hành, suy ra HK // DA .

Vì DA⊥AC  nên HK⊥AC .

a) Vì E  đối xứng với A  qua O  nên O  là trung điểm AE  mà O  cũng là trung điểm BC  nên tứ giác ABEC  là hình bình hành mà AB = AC  (gt)

Vậy tứ giác ABEC  là hình thoi.

b) Tứ giác ABC  là hình bình hành nên AB // CD  và AB = CD  

Tứ giác ABEC  là hình thoi nên

AB // CE và AB = CE

=> C, D, E thẳng hàng và CD = CE

=> C là trung điểm của DE  (1)

Xét tam giác AEF vuông tại E  có: AC = CE  (vì ABEC  là hình thoi) nên tam giác ACE  cân.

CAE^=CEA^, lại có CFE^+CAE^=CEF^+CEA^=90o     

Vậy CEF^=CFE^  hay tam giác CEF cân tại C suy ra CE = CF = AC.

=> C là trung điểm AF (2)

Từ (1) và (2) ta có: AEFD là hình bình hành

Mà AE⊥EF  nên AEFD  là hình chữ nhật.

c) Xét ΔBGC  và ΔBHC có:

BC là cạnh chung

BGC^=BHC^=90o

GBC^=HBC^ (vì BC  là p/g góc ABE  của hình thoi ABEC)

Vậy ΔBGC=ΔBHC  (cạnh huyền, góc nhọn)

=> BG = BH  mà BA = BE

 ⇒BGBA=BHBE⇒GH//AE

d) Xét ΔACI  và ΔACO  có:

AC chung

AIC^=AOC^=90o

 AI = AO

Vậy ΔACI =ΔACO  (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

=> ACI^=ACO^ (2 góc tương ứng)

=> AC là tia phân giác góc BCD  

=> Hình bình hành ABCD  là hình thoi

⇒AC⊥BD (đpcm) và BC = CD => BC = AB

Mà AB = AC  (do ABCE  là hình thoi)

⇒ΔABC đều => ABO^=60°  (đpcm)

a) Ta có tứ giác  ABCD, DEFG   là các hình vuông( GT)

 ⇒AB=BC=CD=AD;A^=B^=C^=D^DE=EF=FG=DG;D^=E^=F^=G^

Xét  và  có:

 AD=CD(cmt)ADE^=CDG^=90°ED=DG(cmt)⇒ΔADE=ΔCDG(c.g.c)

=> AE = CG (Hai cạnh tương ứng) và AED^=CGD^  (Hai góc tương ứng)  hay HEC^=CGD^

Ta có: HCE^=DCG^  (Hai góc đối đỉnh)

Mà CGD^+DCG^=90°  (Hai góc phụ nhau)

 ⇒HCE^+HEC^=90°

Xét △HEC có: HCE^+HEC^=90°(cmt)⇒EHC^=90°  hay  AE⊥CG={H}

b) Xét △AEC có: I  là trung điểm của AC, N là trung điểm của EC

=> IN là đường trung bình của △AEC

 ⇒IN//AE;IN=AE2

Xét △AEG có:  K là trung điểm của EG, M là trung điểm của AG

=> KM là đường trung bình của △AEG (ĐN)

 ⇒KM//AE;KM=AE2

Xét tứ giác MINK có:

IN=KM=AE2IN//KM(//AE)⇒ Tứ giác MINK là hình bình hành (dhnb)

Tương tự ta cũng chứng minh được IM là đường trung bình của △ACG

=> IM // CG; IM = CG2 mà KM = AE2 và AE = CG (cmt)

=> IM = KM mà tứ giác MINK là hình bình hành

Do đó tứ giác MINK là hình thoi.

Ta có ( Hai góc đồng vị)

( Hai góc đồng vị)

Mà

Nên

Mà

Mà tứ giác MINK  là hình thoi (cmt)

Vậy tứ giác MINK  là hình vuông (đpcm)

Nối IH, HK

Ta có AE⊥CG={H}(CMT)⇒EHG^=AHC^=90°

Xét △EHG có: và K là trung điểm của EG (Tứ giác DEFG là hình vuông)

Do đó HK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền EG

=> HK = EG2 (TC) mà EG = DF ( Tứ giác DEFG là hình vuông)

=> HK =DF2

Xét △DHF có: HK = DF2 => △DHF vuông tại  D =>

Tương tự ta cũng chứng minh được: IH = AC2 mà AC = BD => IH = BD2

=> Tam giác BHD vuông tại H(TC)

Do đó:

Vậy B, H , F thẳng hàng.

Ta có tứ giác ABCD, DEFG là hình vuông (gt)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong => EG // BD

Xét: △BDF có K là trung điểm của DF mà EG // BD (cmt) hay TK // BD

=> T là trung điểm của BF

Ta có :

 BAD^=FGD^=90°⇒AB⊥AG;FG⊥AG⇒AB//FG

=> Tứ giác ABFG là hình thang

Ta có: T là trung điểm của BF (cmt), M là trung điểm của AG (gt)

=> TM là đường trung bình của hình thang ABFG

Mà AG  không đổi nên độ dài TM  không đổi khi D  di động trên đoạn AG  cố định.