Dạng 1. Bài tập và các dạng toán minh hoạ có đáp án

a) Áp dụng tính chất của tam giác cân cho $△$ABC ta có: AM$\perp$MC và BM = MC

I là trung điểm của AC và K đối xứng với M qua I nên tứ giác AMCK  là hình bình hành

Lại có MK = AC (=2MI)

=> Tứ giác AMCK là hình chữ nhật.

b) Vì tứ giác AMCK là hình chữ nhật (chứng minh ở a) => AK // MC và AK = MC = MB nên tứ giác AKMB là hình bình hành.

c) Nếu tứ giác AKMB là hình thoi thì BA = AK = KM = MB.

=> $△$MBA cân tại B => $\widehat{BAM}=\widehat{AMB}$ = 90^o => vô lý.

Vậy không có trường hợp nào của $△$ABC để AKMB là hình thoi.

a) Vì E đối xứng với điểm M qua điểm D nên M, D, E thẳng hàng và DM = DE (1)

Áp dụng tính chất đường trung bình cho $△$BAC ta có DM // AC.

Mà $△$ABC vuông tại A nên CA$\perp$AB => MD$\perp$AB (2)

Từ (1) và (2) => E đối xứng với M qua đường thẳng AB.

b) $△$EAF vuông cân nên IA = IE = FI (1); $△$CFE vuông có IC là đường trung tuyến => IE = IC = IF (2);

Từ (1) và (2) suy ra => IA = IC nên I thuộc trung trực của AC hay I thuộc BD.

c) Do K đối xứng với A qua I nên I là trung điểm của AK.

Mà I là trung điểm của EF(gt) nên AFKE là hình bình hành, $△$AEF vuông cân tại A nên AI $\perp$ EF.

Vậy AFKE là hình vuông.

a) $\widehat{BAH}+\widehat{MAC}$ vì cùng phụ với $\widehat{ABC}$

b) $\widehat{A_1}=\widehat{C_1}$ (1) (chứng minh a)

Mà $△$ABC vuông có AM là trung tuyến nên $△$AMC cân tại M => $\widehat{C_1}=\widehat{A_4}$(2).

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{A_1}=\widehat{A_4}$(3)

D thuộc đường trung trực của BC.

=> DM$\perp$BC = {M}

=> $\widehat{D_1}=\widehat{A_2}$

Vì DM = MA (giả thiết) $\Rightarrow \widehat{M_1}=\widehat{A_3}\Rightarrow \widehat{A_2}=\widehat{A_3}$(4)

c) Theo cách vẽ và kết quả câu b), ta có AEDF là hình vuông.

d) $△$DBE = $△$DCF  (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

a) E là điểm đối xứng của điểm A qua điểm D => A, D, E thẳng hàng và DA = DE => CD$\perp$AE tại trung điểm của AE => CA = CE => $△$CAE cân ở C.

=> $\widehat{DAC}$ = 45^o => $△$ACE vuông cân.

b) Áp dụng tính chất đường trung bình cho $△$HAE và giả thiết ABCD là hình vuông ta sẽ chứng minh được tứ giác BMNC là hình bình hành.

c) Do AH$\perp$BN, mà NM // CB => NM$\perp$AB nên M là trực tâm của tam giác ANB.

d) M là trực tâm $△$ABN nên BM$\perp$AN mà BM // CN =>  $\widehat{ANC}$= 90^o

a) Vì ABDE, ACFG là các hình vuông nên ta có E, A, C thẳng hàng và B, A, G cũng thẳng hàng (1) và EC = BG.

Mà $\widehat{EBA}=\widehat{AGC}$= 45⁰ (2).

Từ (1) và (2)

Suy ra EB // CG & EC = BG => EBCG là hình thang cân.

b) Chứng minh AEKG là hình chữ nhật, mà M là trung điểm EG nên K, A, M thẳng hàng.

c) Gọi H = MA $\cap$ BC

Vì BEGC là hình thang cân nên $△$BEG = $△$EBC (c-g-c) => $\widehat{ECB}=\widehat{EGB}$ mà $\widehat{EGA}=\widehat{MAG}=\widehat{BAH}$ 

=> $\widehat{BAH}+\widehat{ABC}=\widehat{ECB}+\widehat{ABC}$ = 90^o => MA$\perp$BC tại H.

d) $△$ABK = $△$BDC vì AB = DB, KA = EG = BC, $\widehat{BAK}=\widehat{DBC}\Rightarrow \widehat{BKA}=\widehat{BCD}$ mà KA$\perp$BC => CD$\perp$BK.

Chứng minh tương tự ta cũng có BF$\perp$KC.

=> $△$KBC có BF, CD, AM là 3 đường cao => đồng quy tại trực tâm I.

a) BK // OC, CK // OB.

Mà OB$△$OC => OBKC là hình chữ nhật.

b)ABCD là hình thoi nên AB = BC. OBKC là hình chữ nhật nên KO = BC.

=> KO = BC => ĐPCM.

c) nếu OBKC là hình vuông thì OB = OC => BD = AC. Vậy ABCD là hình vuông.

a) Ta sẽ có FD//EC và FD = EC = $\frac{1}{2}$ AD => ECDF là hình bình hành.

Mà $AB=\frac{1}{2}BC$ 

=> AB = BE = EF = EC

=> CDFE là hình thoi.

b) Tứ giác ABED là hình thang cân vì BE // AD và $\widehat{BAD}=\widehat{ADE}={60}^0$ 

c) Ta có $EF=CD=AB=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}AD$, F là trung điểm AD => $\widehat{AED}={90}^0$.

a) ABCD là hình thang nên AE//DF => AEFD là hình thang. O là trung điểm EF, OM // AE => M là trung điểm AD (tính chất đường trung bình của hình thang)

=> ME // FN // BD và ME = FN = $\frac{1}{2}$AC => AC = BD

=> ABCD là hình thang cân.

b) Nếu EMFN là hình vuông thì ME$\perp$EN => BD$\perp$AC nên ABCD là hình thang cân có hai đường chéo vuông góc.

a) AMBH là hình thoi (tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường)

Tương tự cũng có AMCK là hình thoi. AEMF là hình chữ nhật (tứ giác có ba góc vuông).

b) Áp dụng tính chất đối xứng trục ta có:

$AH=AM,\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$ và $AK=AM,\widehat{A_3}=\widehat{A_4}$.

Mà $\widehat{A_2}+\widehat{A_3}$ = 90^o => H, A, K thẳng hàng.

Lại có AH = AM = AK =? H đối xứng với K qua A.

c) Nếu AEMF là hình vuông thì AM là đường phân giác của $\widehat{BAC}$ mà AM là đường trung tuyến.

=> $△$ABC vuông cân tại A.

Chú ý $\widehat{KAF}=\widehat{TCJ}$ (2 cạnh tương ứng song song)

$\widehat{ABC}=\widehat{ADC}$ (góc đối của hình bình hành)

$\widehat{FAK}=\widehat{ABC}$ (có cạnh tương ứng vuông góc)

Suy ra $\widehat{KAF}=\widehat{TCJ}$ = $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}$

Vậy $\widehat{MAQ}=\widehat{MBN}=\widehat{PCN}=\widehat{PDQ}$ 

Lại có: MA = MB = PC = PD và AQ = BN = CN = DQ

(nửa đường chéo của hình vuông bằng nhau)

Suy ra $△$MAQ = $△$MBN = $△$PCN = $△$PDQ

=> MQ = MN = NP = PQ (1)

Do các tam giác bằng nhau $\Rightarrow \widehat{BNM}=\widehat{CNP}hay\widehat{BNC}=\widehat{MNP}$ = 90⁰ (2).