Dạng 1. Dùng dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là hình thoi có đáp án
5 câu hỏi
Cho tam giác ABC cân tại A . Đường thẳng qua B song song với AC cắt đường thẳng qua C song song với AB tại D. Chứng minh rằng tứ giác ABDC là hình thoi.
Xét tứ giác ABDC có:
AB // CD; AC // BD (gt)
=> tứ giác ABDC là hình bình hành.
Lại có: AB = AC ( cân tại A )
Nên tứ giác ABDC là hình thoi. (đpcm)
Cho hình chữ nhật ABCD . Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng tứ giác EFGH là hình thoi.
Vì E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC nên:
EFlà đường trung bình của ΔABC . Do đó: EF//ACEF=12AC 1
Vì G, H lần lượt là trung điểm của CD, DA nên:
GH là đường trung bình của ΔADC . Do đó: GH//ACGH=12AC 2
Từ (1) và (2) suy ra: EF//GHEF=GH
Vậy tứ giác EFGH là hình bình hành
Xét ΔAHE và ΔBFE có:
EA = EB (Giả thiết)
EAH^=EBF^=90∘
AH = BF (Vì AD = BC)
Suy ra: ΔAHE=ΔBFEc.g.c
=> HE = FE (**)
Từ (*) và (**) ta được tứ giác là hình thoi (đpcm).
Cho hình bình hành ABCD có AB = 2.AD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh CD, AB. Chứng minh tứ giác ANMD là hình thoi.
Hình bình hành ABCD có M, N lần lượt là trung điểm AB, CD nên: AN//DMAN=DM
Do đó tứ giác ANMD là hình bình hành (*)
Ta có: AB = 2.AD (giả thiết)
N là trung điểm AB nên AB = 2.AN
Nên AD = AN
Từ (*) và (**) ta được tứ giác ANMD là hình thoi. (đpcm).
Cho tứ giác ABCD có AD = BC. Gọi E, F, M, N lần lượt là trung điểm của AB, DC, DB, AC. Chứng minh tứ giác EFMN là hình thoi.
Vì E, M lần lượt là trung điểm của AB, BD nên:
EM là đường trung bình của ΔABD .
Do đó: EM//ADEM=12AD 1
Vì N, F lần lượt là trung điểm của AC, DC nên:
NF là đường trung bình của △ACD . Do đó: NF//ADNF=12AD 2
Từ (1), (2) suy ra EMFN là hình bình hành. (*)
Vì E, N lần lượt là trung điểm của AB, AC nên:
EN là đường trung bình của △ABC . Do đó: EN//BCEN=12BC 3
Mà AD = BC (giả thiết) (4)
Từ (1), (3), (4) ta được: EM = EN (**)
Từ (*) và (**) ta được tứ giác EMFNlà hình thoi. (đpcm).
Cho hình thoi ABCD . Trên các cạnh BC và CD lần lượt lấy hai điểm E và F sao cho BE = DF. Gọi G, H thứ tự là giao điểm của AE, AF với đường chéo BD. Chứng minh rằng tứ giác AGCH là hình thoi.
Gọi O là giao điểm của AC và BD khi đó AC⊥BD (Vì O là giao điểm của hai đường chéo của hình thoi)
Xét ΔABE và ΔADF có:
AB = AD (Vì ABCD là hình thoi)
B^=D^ (Vì ABCD là hình thoi)
BE = DF (giả thiết)
Suy ra ΔABE=ΔADF(c.g.c)
Suy ra A1^=A4^ (hai góc tương ứng).
Mà AC là phân giác của A^⇒A2^=A3^.
Do đó AO là phân giác của HAG^. (*)
Xét ΔAGH có:
AO là đường cao, đồng thời là đường phân giác nên ΔAGH cân tại A.
Suy ra HO = OG (1)
Lại có AO = OC ( Vì ABCD là hình thoi có trung điểm O ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra AGCH là hình bình hành. (**)
Từ (*) và (**) ta được tứ giác AGCH là hình thoi. (đpcm)
