Dạng 1: Phiếu bài luyện số 1 có đáp án

Vì $\widehat{A}+\widehat{B}={180}^o$ nên AD//BC. Suy ra ABCD là hình thang có hai đáy là AD, BC.

Mặt khác: hình thang ABCD (AD//BC) có $\widehat{B}=\widehat{C}={110}^o$. Do đó ABCD là hình thang cân (hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau).

Vì OA = OB nên tam giác OAB cân tại O

$\Rightarrow \widehat{\text{OAB}}=\widehat{\text{OBA}}$ 

Ta có $\widehat{\text{OCD}}=\widehat{\text{OAB}}=\widehat{\text{OBA}}=\widehat{\text{ODC}}$ 

=> tam giác OCD cân tại O => OC = OD 

Suy ra $\text{AC}=\text{OA}+\text{OC}=\text{OB}+\text{OD}=\text{BD}$ 

Hình thang ABCD có hai đường chéo AC và BD bằng nhau nên ABCD là hình thang cân.

Từ B kẻ BE // AD, $E\in BC$. Vì AB < CD nên điểm E nằm giữa C và D.

Chứng minh $\Delta ABE=\Delta EDA\left(g.c.g\right)$ => AD = BE

Có AD = BC $\Rightarrow BE=BC\Rightarrow \Delta BEC$ cân tại B $\Rightarrow \widehat{BEC}=\widehat{C}$

Mà $BE\text{//}AD\Rightarrow \widehat{D}=\widehat{BEC}$ ( đồng vị) $\Rightarrow \widehat{D}=\widehat{C}$ mà tứ giác ABCD là hình thang

a) $\text{ΔBCH}$ và $\text{ΔADK }\left(\widehat{\text{H}}=\widehat{\text{K}}=90°\right)$ có cạnh huyền BC = AD (cạnh bên hình thang cân), góc nhọn $\stackrel{⏜}{C}=\stackrel{⏜}{D}$ (góc đáy hình thang cân).

Do đó $\text{ΔBCH}=\text{ΔADK}$ (cạnh huyền, góc nhon), suy ra CH = DK.

b) Ta có: KH = AB = 3 cm nên

CH + CK = AD = KH = 13 - 3 = 10 cm.

Do CH = DK nên CH = 10 : 2 = 5 (cm).

Áp dụng định lý Py-ta-go vào $\text{ΔBHC}$ vuông tại H ta có:

$\widehat{D}=\widehat{C}={60}^0$ nên $\widehat{D_1}={30}^0$

Suy ra $\widehat{CBD}={90}^0$

Ta tính được AD = 4cm, BC = 4cm,

CD = 8cm. Chu vi hình thang ABCD = 20 cm

a) Vì ABCD là hình thang cân nên  $\widehat{\text{C}}=\widehat{\text{D}}$ suy ra OCD là tam giác cân.

Ta có $\widehat{\text{OAB}}=\widehat{\text{D}}=\widehat{\text{C}}=\widehat{\text{OBA}}$  (hai góc đồng vị)

=> Tam giác OAB cân tại O.

b) OI là trung tuyến của tam giác cân OAB

nên OI cũng là đường cao tam giác OAB

$\Rightarrow \text{OI}\perp \text{AB}$ mà AB // CD nên $\text{OI}\perp \text{CD}$ 

Tam giác OCD cân tại O có $\mathrm{OI}\perp \text{CD}$ nên OI cắt CD tại trung điểm J của CD.

Vậy ba điểm O, I, J thẳng hàng.

c) Xét $△$ACD và $△$BDC có:

AC = CD (2 đường chéo của hình thang cân)

AD = BC (2 cạnh bên của hình thang cân)

CD = DC Do đó $\Delta \text{ACD}=\Delta \text{BDC\hspace{0.17em}}\left(\text{c.c.c}\right)$ 

Suy ra $\widehat{\text{ACD}}=\widehat{\text{BDC}}$  hay $\widehat{\text{MCD}}=\widehat{\text{NDC}}$ 

Hình thang MNDC có $\widehat{\text{MCD}}=\widehat{\text{NDC}}$ nên MNDC là hình thang cân.

$\Rightarrow \text{MC}=\text{ND}\Rightarrow \text{AC}-\text{MC}=\text{BD}-\text{ND}\Rightarrow \text{AM}=\text{BN}$ 

Hình thang MNAB có hai đường chéo AM và BN bằng nhau nên MNAB là hình thang cân.

a) $\Delta AED=\Delta BFC$(cạnh huyền – góc nhọn) $\Rightarrow DE=CF$ (2 cạnh tương ứng)

c) $\Delta OAB$ cân tại O từ đó ta có $\left.\begin{array}{l}OA=OB\\ IA=IB\end{array}\right\}\Rightarrow OI$ là đường trung trực của AB

$\Delta ODC$ cân tại O từ đó ta có $\left.\begin{array}{l}OC=OD\\ IA=IB\end{array}\right\}\Rightarrow OI$ là đường trung trực của CD

d) Tính được $\left\{\begin{array}{l}\widehat{ABC}=\widehat{DAB}=130°\\ \widehat{ADC}=\widehat{BCD}=50°\end{array}\right.$

a) Gọi I là giao điểm của AC và BD. Chỉ ra $\Delta IAB; \Delta ICD$ cân tại I từ đó chỉ ra AB // CDvà kết luận ABCD là hình thang cân.

Ta đặt $AD=AB=BC=x$.

Vẽ $AM$ // $BC$ $(M\in CD)$.

Mà $AB$ // $CD$ (do $ABCD$ là hình thang) nên tứ giác $ABCM$ là hình bình hành.

Suy ra $BC=AM=x,\ MC=AB=x$.

$\triangle ADM$ có $AM=AD(=x)$ nên $\triangle ADM$ cân tại $A$.

Mà $\widehat{D}=60^\circ$ nên tam giác $\triangle ADM$ đều. Suy ra $DM=AD=x$.

Vẽ $AH\perp CD$ tại $H$ thì $AH$ là đường cao của hình thang cân $ABCD$, cũng là đường cao của tam giác đều $ADM$.

Vì $\triangle ADM$ đều nên $AH$ là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác đó. Suy ra
\[
HM=\frac{DM}{2}=\frac{x}{2}.
\]

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác $AHM$ vuông tại $H$ ta có:
\[AH^2+HM^2=AM^2\] nên \[AH^2=AM^2-HM^2=x^2-\left(\frac{x}{2}\right)^2=\frac{3x^2}{4}\] nên \[AH=\frac{x\sqrt{3}}{2}.\]

Vì $AH=a\sqrt{3}$ nên $\frac{x\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}\Rightarrow x=2a$.

Do đó chu vi của hình thang cân là $2a\cdot5=10a$.