b) OI là trung tuyến của tam giác cân OAB

nên OI cũng là đường cao tam giác OAB

$\Rightarrow \text{OI}\perp \text{AB}$ mà AB // CD nên $\text{OI}\perp \text{CD}$ 

Tam giác OCD cân tại O có $\mathrm{OI}\perp \text{CD}$ nên OI cắt CD tại trung điểm J của CD.

Vậy ba điểm O, I, J thẳng hàng.

c) Xét $△$ACD và $△$BDC có:

AC = CD (2 đường chéo của hình thang cân)

AD = BC (2 cạnh bên của hình thang cân)

CD = DC Do đó $\Delta \text{ACD}=\Delta \text{BDC\hspace{0.17em}}\left(\text{c.c.c}\right)$ 

Suy ra $\widehat{\text{ACD}}=\widehat{\text{BDC}}$  hay $\widehat{\text{MCD}}=\widehat{\text{NDC}}$ 

Hình thang MNDC có $\widehat{\text{MCD}}=\widehat{\text{NDC}}$ nên MNDC là hình thang cân.

$\Rightarrow \text{MC}=\text{ND}\Rightarrow \text{AC}-\text{MC}=\text{BD}-\text{ND}\Rightarrow \text{AM}=\text{BN}$ 

Hình thang MNAB có hai đường chéo AM và BN bằng nhau nên MNAB là hình thang cân.

a) $\Delta AED=\Delta BFC$(cạnh huyền – góc nhọn) $\Rightarrow DE=CF$ (2 cạnh tương ứng)

c) $\Delta OAB$ cân tại O từ đó ta có $\left.\begin{array}{l}OA=OB\\ IA=IB\end{array}\right\}\Rightarrow OI$ là đường trung trực của AB

$\Delta ODC$ cân tại O từ đó ta có $\left.\begin{array}{l}OC=OD\\ IA=IB\end{array}\right\}\Rightarrow OI$ là đường trung trực của CD

d) Tính được $\left\{\begin{array}{l}\widehat{ABC}=\widehat{DAB}=130°\\ \widehat{ADC}=\widehat{BCD}=50°\end{array}\right.$

a) Gọi I là giao điểm của AC và BD. Chỉ ra $\Delta IAB; \Delta ICD$ cân tại I từ đó chỉ ra AB // CD và kết luận ABCD là hình thang cân.

Ta đặt $AD=AB=BC=x$.

Vẽ $AM$ // $BC$ $(M\in CD)$.

Mà $AB$ // $CD$ (do $ABCD$ là hình thang) nên tứ giác $ABCM$ là hình bình hành.

Suy ra $BC=AM=x,\ MC=AB=x$.

$\triangle ADM$ có $AM=AD(=x)$ nên $\triangle ADM$ cân tại $A$.

Mà $\widehat{D}=60^\circ$ nên tam giác $\triangle ADM$ đều. Suy ra $DM=AD=x$.

Vẽ $AH\perp CD$ tại $H$ thì $AH$ là đường cao của hình thang cân $ABCD$, cũng là đường cao của tam giác đều $ADM$.

Vì $\triangle ADM$ đều nên $AH$ là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác đó. Suy ra
\[
HM=\frac{DM}{2}=\frac{x}{2}.
\]

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác $AHM$ vuông tại $H$ ta có:
\[AH^2+HM^2=AM^2\] nên \[AH^2=AM^2-HM^2=x^2-\left(\frac{x}{2}\right)^2=\frac{3x^2}{4}\] nên \[AH=\frac{x\sqrt{3}}{2}.\]

Vì $AH=a\sqrt{3}$ nên $\frac{x\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}\Rightarrow x=2a$.

Do đó chu vi của hình thang cân là $2a\cdot5=10a$.