Dạng 6. Bài tập tự luyện có đáp án
27 câu hỏi
Cho hình bình hành ABCD. Vẽ AE⊥BC tại E, DF⊥AB tại F. Biết AE = DF . Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình thoi.
Ta có: FAD^=ABE^ (vì AD // BC) ⇒ΔAFD=ΔBEA (cgv - gn)
=> AD = AB (hai cạnh tưng ứng).
Xét hình bình hành ABCD có AD = AB nên ABCD là hình thoi.
Cho tam giác ABC có AC = 2.AB, đường trung tuyến BM. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến tia phân giác của góc A. Chứng minh rằng ABHM là hình thoi.
+ Xét tam giác AHC vuông tại H có HM là đường trung tuyến => HM = MA = MC .
+ Ta có: ΔMAH=ΔBAH (c-g-c) => HM = HB
+ Xét tứ giác ABGM có: AB = BH = HM = MA => ABHM là hình thoi.
Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD , DA.
1) Chứng minh: EF = GH; EH = GF.
1) Vì E là trung điểm của AB, F là trung điểm của BC
=> EF là đường trung bình của tam giác ABC
=> EF=12.AC (1)
Vì H là trung điểm của AD , G là trung điểm của DC
=> HG là đường trung bình của tam giác ADC
=> HG=12.AC (2)
Từ (1) và (2) ⇒EF=GH=12.AC
Chứng minh tương tự ta được EH = GF
2) Chứng minh: tứ giác EFGH là hình thoi.
2) ABCD là hình thang cân => AC = BD (3)
EF=GH=12.AC (4)
EH=GF=12BD (5)
Từ (3), (4), (5) => EF = GH = EH = GF
Suy ra tứ giác EFGH là hình thoi
3) Gọi M, N lần lượt là trung điểm BD, AC. Chứng minh: EN=MG=BC2.
3) Vì E là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC
=> EN là đường trung bình của tam giác ABC
=> EN=12BC (6)
Vì G là trung điểm của CD, M là trung điểm của BD
=> GM là đường trung bình của tam giác BCD
=> MG=12BC (7)
Từ (6) và (7) ⇒EN=MG=12BC (8)
4) Tứ giác ENGM là hình gì? Vì sao?
4) Chứng minh tương tự ta được ME=NG=12AD (9)
ABCD là hình thang cân => AD = BC (10)
Từ (8),(9),(10) => EN = MG = ME = NG
Suy ra tứ giác ENGM là hình thoi.
Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Đường thẳng AH cắt EF tại D , cắt BC tại G . Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của G trên AB và AC . Chứng minh rằng tứ giác DNGM là hình thoi.
ΔABE =ΔACF (cạnh huyền, góc nhọn)
=> AE = AF và BE = CF .
Vì H là trực tâm của △ABC nên AH là đường cao, đồng thời là đường trung tuyến, từ đó GB = GC và DE = DF.
Xét △EBC có GN // BE (cùng vuông góc với AC) và GB = GC nên NE = NC.
Chứng minh tương tự ta được MF = MB .
Dùng định lí đường trung bình của tam giác ta chứng minh được DM // GN và DM = GN nên tứ giác DNGM là hình bình hành.
Mặt khác, DM = DN (cùng bằng 12 của hai cạnh bằng nhau) nên DNGM là hình thoi.
Cho hình bình hành ABCD.Trên các cạnh AB và CD lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM = DN. Đường trung trực của BM lần lượt cắt các đường thẳng MN và BC tại E và F
a) Chứng minh E và F đối xứng với nhau qua AB
a) Gọi H là giao điểm của EF và MB.
Ta có: AMND là hình bình hành (AM = ND và AM // ND) => AD // NM.
Lại có AD // BC, nên suy ra MN // BC ⇒MEH^=HFB^ .
Ta có: ΔEHM=ΔFHB (cgv - gn) => HE = HF.
Mà EF⊥AB nên E và F đối xứng với nhau qua AB.
b) Chứng minh tứ giác MEBF là hình thoi;
b) Xét tứ giác MEBF có HE = HF, HB = HM, EF⊥MB nên MEBF là hình thoi.
c) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để tứ giác BCNE là hình thang cân.
c) Để tứ giác BCNR là hình thang cân thì ENC^=NEB^ .
Ta có: ENC^=EMB^ (vì AB // CD); FBH^=HBE^ ( vì △FBE cân tại B);
MNC^=MBC^ (vì MBCN là hình bình hành).
Xét △EMB có: EMB^=MBE^=BEM^ nên suy ra EMB^=MBE^=BEM^=60°.
Vậy để tứ giác BCNE là hình thang cân thì ABC^=60°.
Cho hình thoi BCNE có A^=60°. Kẻ 2 đường cao BE và BF E∈AD;F∈DC.
1) Chứng minh: BE = BF.
1) Vì ABCD là hình thoi nên AB = AD = CB = CD
Mặt khác A^=60° nên ΔABD,ΔCBD đều ( vì tam giác cân có một góc bằng 60°)
⇒B1^=B2^=ABD^2=60°2=30° và B3^=B4^=DBC^2=60°2=30°
(trong tam giác đều thì đường cao cũng là đường phân giác).
Xét 2 tam giác vuông △BED và △BFD có:
B2^=B3^=30°
BD cạnh chung
⇒ΔBED=ΔBFD ( cạnh huyền- góc nhọn)
=> BE = BF ( hai cạnh tương ứng)
2) Tính số đo ABC^
2) Ta có: ABC^=ABD^+DBC^=60°+60°=120°
3) Tính số đo EBF^. ΔBEF là tam giác đặc biệt gì? Vì sao?
3) Ta có: EBF^=B2^+B3^=30°+30°=60°
Xét tam giác BEF có:
BE = BF
EBF^=60°
=> △BEF là tam giác đều.
Cho hình thoi ABCD có A^=60°, kẻ BH⊥ADH∈AD, rồi kéo dài một đoạn HE = BH. Nối E với A, E với D. Chứng minh :
1) H là trung điểm AD.
1) Ta có: AB = AD ( vì ABCD là hình thoi)
Và A^=60°
Suy ra: ABD là tam giác đều.
Mà BH⊥AD nên H là trung điểm của AD.
2) Tứ giác ABDE là hình thoi.
2) Xét tứ giác ABDE có:
HA = HD( chứng minh trên)
HE = HB (Giả thiết)
=> ABDE là hình bình hành.
Mặc khác: AD⊥BE nên ABDE là hình thoi
( vì hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi).
3) D là trung điểm CE .
3) Ta có:
ABCD là hình thoi => DC = AB, DC // AB (1)
ABDE là hình thoi => DE = AB, DE // AB (2)
Từ (1), (2) suy ra C, D, E thẳng hàng ( theo tiên đề Ơclit) và DC = DE .
Vậy D là trung điểm của CE.
4) AC = BE
4) Ta có:
AC = 2AI ( vì ABCD là hình thoi)
BE = 2BH ( vì ABDE là hình thoi)
Mà BH = AI ( cùng là đường cao của tam giác đều ABD)
=> AC = BE.
Cho hình thoi ABCD có AB = BD.
1) Chứng minh: Tam giác ABD đều.
1) ABCD là hình thoi => AB = AD mà AB = BD (giả thiết)
Nên AB = AD = BD.
Vậy △ABD là tam giác đều.
2) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh: OA2=34AB2.
2) Tam giác OAB vuông tại O ⇒OA2=AB2−OB2 mà OB=BD2=AB2⇒OB2=AB24 .
Do đó : OA2=AB2−AB24=34AB2
3) Biết chu vi của hình thoi ABCD là 8cm . Tính độ dài đường chéo BD ; AC.
3) Chu vi ABCD là 8 cm ⇒BD=AB=2 cm nên BO=BD2=1 cm .
Tam giác vuông OAB : AO2=AB2−OB2=4−1=3⇒AO=3 cm.
AC=2AO=23 cm . Vậy BD=2 cm, AC=23 cm .
4) Tính diện tích hình thoi ABCD.
4) Diện tích hình thoi ABCD: 12AC.BD=1223.2=23 cm2
Cho hình thoi ABCD có A^=60°. Một góc xBy thay đổi sao cho tia Bx cắt cạnh AD tại M, tia By cắt cạnh CD tại N và xBy^=60°. Chứng minh :
1) AB = BD.
1) Chứng minh AB = BD
Ta có ABCDlà hình thoi nên:
AB = AD => △ABD cân tại A
Mà A^=60° (giả thiết) nên suy ra △ABD đều.
=> AB = BD .
2) ΔABM=ΔDBN
2) Chứng minh ΔABM=ΔDBN
Xét ΔABM và ΔDBNcó:
BAM^=BDN^=60° (Gt)
AB = AD (cmt)
ABM^=DBN^ (Cùng cộng với MBD^ tạo thành góc có số đo 60°)
=> ΔABM=ΔDBN (g.c.g).
3) Tổng độ dài (DM + DN) không đổi.
3) Chứng minh tổng độ dài (DM + DN) không đổi.
Do ΔABM=ΔDBN (cmt) nên AM = DN (1)
Từ (1) suy ra: DM + DN = DM + AM⇒DM + DN=AD.
Vì AD không đổi nên (DM + DN) không đổi.
Cho hình thoi ABCD có AB = BD. Gọi M, N lần lượt trên các cạnh AB, BC sao cho AM + NC = AD.
1) Chứng minh: AM = BN.
1) Theo bài ra ta có: AM+NC=AD
Lại có: BN + NC = BC = AD (ABCD là hình thoi)
=> AM = BN.
2) Chứng minh: ΔAMD=ΔBND.
2) +Có: AB = AD (ABCD là hình thoi)
+ Lại có: AB = BD (GT)
=> AD = BD = AB
⇒ΔABD là tam giác đều.
⇒BAD^=60°⇒MAD^=60°(1)
+ Có: ABD^=CBD^=ABC^2 (abcd là hình thoi)
+Lại có: ABD^=60° (ΔABDlà tam giác đều)
⇒CBD^=60°⇒NBD^=60°(2)
+Từ (1) và (2) ta có: MAD^=NBD^
+ Xét ΔAMD và ΔBND có:
AM=BN (CMT)MAD^=NBD^ (CMT)AD=BD (CMT)
⇒ΔAMD=ΔBND (c.g.c)
3) Tính số đo các góc của ΔDMN.
3) + Có ΔAMD=ΔBND (CMT)
=> MDA^=NDB^(cặp góc tương ứng)
+ Mà: MDA^+MDB^=ADB^=60°
=> NDB^+MDB^=60°⇒MDN^=60°
+ Có ΔAMD=ΔBND (CMT)
=> MD = ND (cặp cạnh tương ứng)
=> ΔMNB là tam giác cân tại D, mà MDN^=60°
=> ΔMNB là tam giác đều
=> NMD^=MND^=MDN^=60°.
