Dạng 6. Bài tập tự luyện có đáp án

+ Xét tam giác AHC vuông tại H có HM là đường trung tuyến => HM = MA = MC .

+ Ta có: $\Delta MAH=\Delta BAH$ (c-g-c) => HM = HB

+ Xét tứ giác ABGM có: AB = BH = HM = MA => ABHM là hình thoi.

1) Vì E là trung điểm của AB, F là trung điểm của BC

=> EF là đường trung bình của tam giác ABC

=> $EF=\frac{1}{2}.AC$    (1)

Vì H là trung điểm của AD , G là trung điểm của DC

=> HG là đường trung bình của tam giác ADC

=> $HG=\frac{1}{2}.AC$   (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow EF=GH=\frac{1}{2}.AC$

2) ABCD là hình thang cân => AC = BD  (3)

$EF=GH=\frac{1}{2}.AC$                                 (4)

$EH=GF=\frac{1}{2}BD$                                (5)

Từ (3), (4), (5) => EF = GH = EH = GF

3) Vì E là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC

=> EN là đường trung bình của tam giác ABC

=> $EN=\frac{1}{2}BC$     (6)

Vì G là trung điểm của CD, M là trung điểm của BD

=> GM là đường trung bình của tam giác BCD

=> $MG=\frac{1}{2}BC$     (7)

4) Chứng minh tương tự ta được $ME=NG=\frac{1}{2}AD$   (9)

ABCD là hình thang cân => AD = BC  (10)

Từ (8),(9),(10) => EN = MG = ME = NG

$\Delta ABE=\Delta ACF$ (cạnh huyền, góc nhọn)

=> AE = AF và BE = CF .

Vì H là trực tâm của $△$ABC nên AH là đường cao, đồng thời là đường trung tuyến, từ đó GB = GC và DE = DF.

Xét $△$EBC  có GN // BE (cùng vuông góc với AC) và GB = GC nên NE = NC.

Chứng minh tương tự ta được MF = MB .

Dùng định lí đường trung bình của tam giác ta chứng minh được DM // GN và DM = GN nên tứ giác DNGM  là hình bình hành.

Mặt khác, DM = DN (cùng bằng $\frac{1}{2}$ của hai cạnh bằng nhau) nên DNGM là hình thoi.

a)  Gọi H là giao điểm của EF và MB.

Ta có: AMND là hình bình hành (AM = ND và AM //  ND) => AD // NM.

Lại có AD // BC, nên suy ra MN // BC $\Rightarrow \widehat{MEH}=\widehat{HFB}$ .

Ta có: $\Delta EHM=\Delta FHB$ (cgv - gn) => HE = HF.

Mà $EF\perp AB$ nên  E và F đối xứng với nhau qua AB.

b) Xét tứ giác MEBF có HE = HF, HB = HM, $EF\perp MB$ nên MEBF là hình thoi.

c)  Để tứ giác BCNR là hình thang cân thì $\widehat{ENC}=\widehat{NEB}$ .

Ta có: $\widehat{ENC}=\widehat{EMB}$ (vì AB // CD); $\widehat{FBH}=\widehat{HBE}$ ( vì $△$FBE cân tại B);

$\widehat{MNC}=\widehat{MBC}$ (vì MBCN là hình bình hành).

Xét $△$EMB có: $\widehat{EMB}=\widehat{MBE}=\widehat{BEM}$ nên suy ra $\widehat{EMB}=\widehat{MBE}=\widehat{BEM}=60°$.

Vậy để tứ giác BCNE là hình thang cân thì $\widehat{ABC}=60°$.

1) Vì ABCD là hình thoi nên AB = AD = CB = CD

Mặt khác $\widehat{A}=60°$ nên $\Delta ABD,\Delta CBD$ đều ( vì tam giác cân có một góc bằng $60°$)

$\Rightarrow \widehat{B_1}=\widehat{B_2}=\frac{\widehat{ABD}}{2}=\frac{60°}{2}=30°$ và $\widehat{B_3}=\widehat{B_4}=\frac{\widehat{DBC}}{2}=\frac{60°}{2}=30°$

(trong tam giác đều thì đường cao cũng là đường phân giác).

Xét 2 tam giác vuông $△$BED và $△$BFD có:

$\widehat{B_2}=\widehat{B_3}=30°$

BD cạnh chung

$\Rightarrow \Delta BED=\Delta BFD$ ( cạnh huyền- góc nhọn)

3) Ta có: $\widehat{EBF}=\widehat{B_2}+\widehat{B_3}=30°+30°=60°$

Xét tam giác BEF có:

BE = BF

$\widehat{EBF}=60°$

=> $△$BEF là tam giác đều.

1) Ta có: AB = AD ( vì ABCD là hình thoi)

Và $\widehat{A}=60°$

Suy ra: ABD là tam giác đều.

Mà $BH\perp AD$ nên H là trung điểm của AD.

2) Xét tứ giác ABDE có:

HA = HD( chứng minh trên)

HE = HB (Giả thiết)

=> ABDE là hình bình hành.

Mặc khác: $AD\perp BE$ nên ABDE là hình thoi

( vì hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi).

3) Ta có:

ABCD là hình thoi => DC = AB, DC // AB      (1)

ABDE là hình thoi => DE = AB, DE // AB      (2)

Từ (1), (2) suy ra C, D, E thẳng hàng ( theo tiên đề Ơclit) và DC = DE .

Vậy D là trung điểm của CE.

4) Ta có:

AC = 2AI ( vì ABCD là hình thoi)

BE = 2BH ( vì ABDE là hình thoi)

Mà BH = AI ( cùng là đường cao của tam giác đều ABD)

=> AC = BE.

1) ABCD là hình thoi => AB = AD mà AB = BD (giả thiết)

Nên AB = AD = BD.

Vậy $△$ABD là tam giác đều.

2) Tam giác OAB vuông tại O $\Rightarrow O{A}^2=A{B}^2-O{B}^2$ mà $OB=\frac{BD}{2}=\frac{AB}{2}\Rightarrow O{B}^2=\frac{A{B}^2}{4}$ .

3) Chu vi ABCD  là 8 cm $\Rightarrow BD=AB=2\text{ cm}$ nên $BO=\frac{BD}{2}=1\text{ cm}$ .

Tam giác vuông OAB :  $A{O}^2=A{B}^2-O{B}^2=4-1=3\Rightarrow AO=\sqrt{3}\text{ cm}$.

$AC=2AO=2\sqrt{3}\text{ cm}$ . Vậy $BD=2\text{ cm},AC=2\sqrt{3}\text{ cm}$ .

1) Chứng minh AB = BD

Ta có ABCDlà hình thoi nên:

AB = AD => $△$ABD cân tại A

Mà $\widehat{A}=60°$ (giả thiết) nên suy ra $△$ABD đều.

=> AB = BD .

2) Chứng minh $\Delta ABM=\Delta DBN$

Xét $\Delta ABM$ và $\Delta DBN$có:

$\widehat{BAM}=\widehat{BDN}={60}^{°}$ (Gt)

AB = AD (cmt)

$\widehat{ABM}=\widehat{DBN}$ (Cùng cộng với $\widehat{MBD}$ tạo thành góc có số đo $60°$)

=> $\Delta ABM=\Delta DBN$ (g.c.g).

3) Chứng minh tổng độ dài (DM + DN) không đổi.

Do $\Delta ABM=\Delta DBN$ (cmt) nên AM = DN (1)

Từ (1) suy ra: $DM+DN=DM+AM\Rightarrow DM+DN=AD$.

Vì AD không đổi nên (DM + DN) không đổi.

1) Theo bài ra ta có:   $AM+NC=AD$

Lại có: BN + NC = BC = AD (ABCD là hình thoi)

=> AM = BN.

3) + Có $\Delta AMD=\Delta BND$ (CMT)

=> $\widehat{MDA}=\widehat{NDB}$(cặp góc tương ứng)

+ Mà: $\widehat{MDA}+\widehat{MDB}=\widehat{ADB}=60°$

=> $\widehat{NDB}+\widehat{MDB}=60°\Rightarrow \widehat{MDN}=60°$

+ Có $\Delta AMD=\Delta BND$ (CMT)

=> MD = ND (cặp cạnh tương ứng)

=> $\Delta MNB$ là tam giác cân tại D, mà $\widehat{MDN}=60°$

=> $\Delta MNB$ là tam giác đều

=> $\widehat{NMD}\widehat{=MN\text{D}}=\widehat{MDN}=60°$.