Dạng 5. Bài nâng cao phát triển tư duy có đáp án

Cách 1: Vì D, Elà trung điểm của các cạnh BC, AB => DE là đường trung bình của $\Delta ABC$

=> $DE=\frac{1}{2}AC$  (1)

Vì D, F là trung điểm của các cạnh BC, AC, => DF là đường trung bình của $\Delta ABC$

=> $DF=\frac{1}{2}AB$ (2)

Vì E, F là trung điểm của các cạnh  AB, AC => $AE=\frac{1}{2}AB,AF=\frac{1}{2}AC$ (3)

Tam giác ABC cân tại A => AB = AC (4)

Từ (1), (2), (3), (4) => AE = ED = DF = FA.

Tứ giác AEDFcó AE = ED = DF = FA => AEDF là hình thoi.

Cách 2: Vì D, F là trung điểm của các cạnh BC, AC => DF là đường trung bình của $\Delta ABC$

=> $DF//AB$ và $DF=\frac{1}{2}AB$

Mà AB = AE và A, E, B thẳng hàng

Tứ giác  AEDF có $\left\{\begin{array}{l}DF//AE\\ DF=AE\end{array}\right.\Rightarrow EADF$ là hình bình hành.

Hình bình hành AEDF có $AE=AF\left(=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}AC\right)\Rightarrow AEDF$ là hình thoi.

Vì $\left\{\begin{array}{l}Cy//AB\\ Bx//AC\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}CD//AB\\ BD//AC\end{array}\right.$

Tứ giác ACDB có $\left\{\begin{array}{l}CD//AB\\ BD//AC\end{array}\right.\Rightarrow ACDB$ là hình bình hành.

Hình bình hành ACDB có AB = AC (tam giác ABC cân tại A) => AEDF là hình thoi.

Vì $△$ABC cân tại B có đường cao BE => BE là đường trung tuyến

=> EA = EC                                                            (1)

Ta có : EB = ED (gt)                                                         (2)

Từ (1) và (2) => ABCD là hình bình hành.

Vì BE là đường cao của $△$ABC => $BE\perp AC$

Hình bình hành ABCD có $BE\perp AC$ => ABCD là hình thoi.

Vì $CD//AB\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{BDC}$ (so le trong)        (1)

Vì BD là phân giác của $\widehat{ABC}\Rightarrow \widehat{ABD}=\widehat{DBC}$ (2)

Từ (1) và (2) => $\widehat{BDC}=\widehat{DBC}\Rightarrow \Delta BCD$ cân tại $D\Rightarrow CB=CD$         (3)

Vì $△$ABC cân tại B => CB = AB (4)

Từ (3) và (4) => AB = CD.

Tứ giác ABCD có $\left\{\begin{array}{l}AB=CD\\ AB//CD\end{array}\right.\Rightarrow ABCD$ là hình bình hành.

Cách 1: Hình bình hành ABCD có DB là phân giác của $\widehat{ABC}\Rightarrow$=> ABCD là hình thoi.

Cách 2: Hình bình hành ABCD có CB = AB => ABCD là hình thoi.

Vì ABCD  là hình bình hành => $\left\{\begin{array}{l}AB//CD\\ AD//BC\end{array}\right.$

Tứ giác AMCN có $\left\{\begin{array}{l}AM=CN\\ AM//CN\end{array}\right.\Rightarrow AMCN$ là hình bình hành (1)

Tứ giác AMND có $\left\{\begin{array}{l}AM=DN\\ AM//DN\end{array}\right.\Rightarrow AMND$ là hình bình hành

=> AD // MN, mà $AD\perp AC\Rightarrow MN\perp AC$ (2)

Từ (1) và (2) => AMCN là hình thoi.

Ta có: AB // CD (vì ABCD là hình thoi)

mà $BF\perp CD$

$$\begin{gathered} \Rightarrow BF\perp AB\Rightarrow \widehat{ABF}=90° \\ \Rightarrow \widehat{MBN}={90}^{\circ }-\widehat{ABE} \end{gathered}$$

Mà $\widehat{A}={90}^{\circ }-\widehat{ABE}$ (vì $△$ABE vuông tại E)

$\Rightarrow \widehat{A}=\widehat{MBN}$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}DG\perp AB\\ BF\perp AB\end{array}\right.\Rightarrow BF//DG$hay BN // DM

Chứng minh tương tự,  ta có: $\left\{\begin{array}{l}DH\perp AD\\ BE\perp AD\end{array}\right.\Rightarrow BE//DH$ hay BM // DN

=> Tứ giác BMDN là hình bình hành

=> $\widehat{MBN}=\widehat{MDN}=\widehat{A}$

Ta có: $\widehat{A}+\widehat{B}={180}^{\circ }\Rightarrow \widehat{B}={180}^{\circ }-\widehat{A}={180}^{\circ }-\widehat{MBN}$ (hai góc trong cùng phía)

$$\begin{gathered} \widehat{MBN}+\widehat{BND}={180}^{\circ }\to \widehat{BND}={180}^{\circ }-\widehat{MBN} \\ \widehat{BND}=\widehat{BMD}=\widehat{B} \end{gathered}$$

Vậy các góc của tứ giác BMDN bằng các góc của tứ giác ABCD

Vì ABCD là hình bình hành => $AD=BC$ , $AB=CD=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC$

Vì M, N là trung điểm của AD, BC => $MD=NC=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC$.

Tứ giác DMNC có $\left\{\begin{array}{l}DM=CN\left(=\frac{1}{2}AB\right)\\ DM//CN\end{array}\right.\Rightarrow DMNC$ là hình bình hành

Hình bình hành DMNC có $CD=DM\left(=\frac{1}{2}AD\right)\Rightarrow DMNC$ là hình thoi.

Gọi F là giao điểm của MN và CE.

DMNC là hình thoi => MN // CD.

Hình thang $ADCE\left(AE//DC\right)$ có $\left\{\begin{array}{l}MA=MD\\ MN//CD\end{array}\right.\Rightarrow FC=FE$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}MF//AE\\ AE\perp CE\end{array}\right.\Rightarrow MF\perp CE$

$△$MEC có MF là đường cao và là đường trung tuyến => $△$MEC cân tại M

=> MF là đường phân giác của $\widehat{EMC}\Rightarrow \widehat{EMF}=\widehat{CMF}$                    (1)

DMNC là hình thoi => MC là phân giác của $\widehat{NMD}\Rightarrow \widehat{CMF}=\widehat{CMD}$        (2)

Từ (1) và (2) => $\widehat{EMF}=\widehat{CMF}=\widehat{CMD}=\frac{1}{2}\widehat{NMD}$          (3)

Ta có: $\widehat{AEM}=\widehat{EMF}$ (vì AB // MN)                 (4)

Ta có: $\widehat{BAD}=\widehat{NMD}$ (hai góc đồng vị)            (5)

Từ (3), (4), (5) => $\widehat{BAD}=2.\widehat{AHM}$

=> BE là đường trung tuyến => K là trung điểm BI => BK = IK

Vì  ABCD là hình thoi $\left\{\begin{array}{l}AB=CD\\ AB//CD\end{array}\right.$

Vì E đối xứng với A qua B => AB = BE

=> $\left\{\begin{array}{l}BE=CD\\ BE//CD\end{array}\right.\Rightarrow BDCE$ là hình bình hành => KB = KC

$△$ACE: $\left\{\begin{array}{l}OA=OC\\ KB=KC\end{array}\right.\Rightarrow OK$ là đường trung bình của $△$ACE

=> OK // AB hay OH // AE

$△$ACE: $\left\{\begin{array}{l}OA=OC\\ OH//AE\end{array}\right.\Rightarrow HE=HC$ => H là trung điểm CE

Tam giác ACE có EO, CB là các đường trung tuyến => G là trọng tâm tam giác ACE

Mà H là trung điểm CE => A, G, H thẳng hàng.

Gọi O là giao điểm của AC và BD . Giả sử AC > BD.

Đặt  OA = x, OB = y (2 > y)

Ta có: $x+y=\frac{OA}{2}+\frac{OB}{2}=\frac{70}{2}=35$           (1)

$△$OAB vuông tại A => $A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2\Rightarrow x^2+y^2={25}^2=625$  (2)

Từ (1) => ${\left(x+y\right)}^2={35}^2\iff x^2+2xy+y^2={35}^2=1225$       (3)

Từ (2) và (3) => $2xy=1225-625=600$

Mà ${\left(x-y\right)}^2=x^2+y^2-2xy=625-600=25$

=> x - y = 5

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}x+y=35\\ x-y=5\end{array}\right.\Rightarrow x=20,y=15$

Vậy $$\begin{gathered} AC=2.OA=2x=2.20=40cm \\ BD=2.OB=2Y=2.15=30cm \end{gathered}$$

Gọi M là trung điểm của AB

Tam giác OAB vuông tại A có M là trung điểm của AB => $OM=\frac{1}{2}AB=2cm$.

Vì $OH=1cm=\frac{1}{2}OM\Rightarrow \Delta OMH$là một nửa tam giác đều $\Rightarrow \widehat{OMH}=30°$

Vì Mlà trung điểm của AB $\Rightarrow MA=MO=MB\Rightarrow \Delta MOA$ cân tại M

=> $\widehat{OMH}=2.\widehat{MAO}\Rightarrow \widehat{MAO}=\frac{\widehat{OMH}}{2}=\frac{30°}{2}=15°$

Ta có: $\widehat{BAD}=2.\widehat{MAO}=2.15°=30°$

ABCD là hình thoi => $\widehat{BCD}=\widehat{BAD}=30°\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{ADC}=150°$

$\left\{\begin{array}{l}MN//AC\\ MN=\frac{1}{2}AC\end{array}\right.$                                                           (1)

Vì P, Q là trung điểm của CD, DA => PQlà đường trung bình của tam giác ADC

$\left\{\begin{array}{l}PQ//AC\\ PQ=\frac{1}{2}AC\end{array}\right.$  (2)

Từ (1) và (2) => MNPQ là hình bình hành..

b) Vì  P, N là trung điểm của CD, BC => NP là đường trung bình của tam giác BDC

=> $NP=\frac{1}{2}BD$          (4)

Từ (3), (4) => AC = BD

Hình thang ABCD có AC = BD => ABCD là hình thang cân

b) DEIF là hình thoi $\Rightarrow EI=ED=DF=FI$

=> $△$EID, $△$DIF là các tam giác đều.

$\Rightarrow \widehat{EIF}=120°$.

Mà  $△$EIA cân tại I $\Rightarrow \widehat{EIM}=2.\widehat{EAM}$

Mà  $△$FIA cân tại I $\Rightarrow \widehat{FIM}=2.\widehat{FAM}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{FAM}+\widehat{EAM}=\frac{1}{2}\left(\widehat{FIM}+\widehat{EIM}\right)=\frac{1}{2}\widehat{EIF}=60° \\ \Rightarrow \widehat{BAC}=60° \end{gathered}$$

Do đó để DEIF là hình thoi thì $△$ABC cân tại A cần thêm điều kiện $\widehat{BAC}=60°$.