Vì ABCD là hình bình hành => $AD=BC$ , $AB=CD=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC$

Vì M, N là trung điểm của AD, BC => $MD=NC=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC$.

Tứ giác DMNC có $\left\{\begin{array}{l}DM=CN\left(=\frac{1}{2}AB\right)\\ DM//CN\end{array}\right.\Rightarrow DMNC$ là hình bình hành

Hình bình hành DMNC có $CD=DM\left(=\frac{1}{2}AD\right)\Rightarrow DMNC$ là hình thoi.

Gọi F là giao điểm của MN và CE.

DMNC là hình thoi => MN // CD.

Hình thang $ADCE\left(AE//DC\right)$ có $\left\{\begin{array}{l}MA=MD\\ MN//CD\end{array}\right.\Rightarrow FC=FE$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}MF//AE\\ AE\perp CE\end{array}\right.\Rightarrow MF\perp CE$

$△$MEC có MF là đường cao và là đường trung tuyến => $△$MEC cân tại M

=> MF là đường phân giác của $\widehat{EMC}\Rightarrow \widehat{EMF}=\widehat{CMF}$                    (1)

DMNC là hình thoi => MC là phân giác của $\widehat{NMD}\Rightarrow \widehat{CMF}=\widehat{CMD}$        (2)

Từ (1) và (2) => $\widehat{EMF}=\widehat{CMF}=\widehat{CMD}=\frac{1}{2}\widehat{NMD}$          (3)

Ta có: $\widehat{AEM}=\widehat{EMF}$ (vì AB // MN)                 (4)

Ta có: $\widehat{BAD}=\widehat{NMD}$ (hai góc đồng vị)            (5)

Từ (3), (4), (5) => $\widehat{BAD}=2.\widehat{AHM}$

=> BE là đường trung tuyến => K là trung điểm BI => BK = IK

Vì  ABCD là hình thoi $\left\{\begin{array}{l}AB=CD\\ AB//CD\end{array}\right.$

Vì E đối xứng với A qua B => AB = BE

=> $\left\{\begin{array}{l}BE=CD\\ BE//CD\end{array}\right.\Rightarrow BDCE$ là hình bình hành => KB = KC

$△$ACE: $\left\{\begin{array}{l}OA=OC\\ KB=KC\end{array}\right.\Rightarrow OK$ là đường trung bình của $△$ACE

=> OK // AB hay OH // AE

$△$ACE: $\left\{\begin{array}{l}OA=OC\\ OH//AE\end{array}\right.\Rightarrow HE=HC$ => H là trung điểm CE

Tam giác ACE có EO, CB là các đường trung tuyến => G là trọng tâm tam giác ACE

Mà H là trung điểm CE => A, G, H thẳng hàng.

Gọi O là giao điểm của AC và BD . Giả sử AC > BD.

Đặt  OA = x, OB = y (2 > y)

Ta có: $x+y=\frac{OA}{2}+\frac{OB}{2}=\frac{70}{2}=35$           (1)

$△$OAB vuông tại A => $A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2\Rightarrow x^2+y^2={25}^2=625$  (2)

Từ (1) => ${\left(x+y\right)}^2={35}^2\iff x^2+2xy+y^2={35}^2=1225$       (3)

Từ (2) và (3) => $2xy=1225-625=600$

Mà ${\left(x-y\right)}^2=x^2+y^2-2xy=625-600=25$

=> x - y = 5

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}x+y=35\\ x-y=5\end{array}\right.\Rightarrow x=20,y=15$

Vậy $$\begin{gathered} AC=2.OA=2x=2.20=40cm \\ BD=2.OB=2Y=2.15=30cm \end{gathered}$$

Gọi M là trung điểm của AB

Tam giác OAB vuông tại A có M là trung điểm của AB => $OM=\frac{1}{2}AB=2cm$.

Vì $OH=1cm=\frac{1}{2}OM\Rightarrow \Delta OMH$là một nửa tam giác đều $\Rightarrow \widehat{OMH}=30°$

Vì Mlà trung điểm của AB $\Rightarrow MA=MO=MB\Rightarrow \Delta MOA$ cân tại M

=> $\widehat{OMH}=2.\widehat{MAO}\Rightarrow \widehat{MAO}=\frac{\widehat{OMH}}{2}=\frac{30°}{2}=15°$

Ta có: $\widehat{BAD}=2.\widehat{MAO}=2.15°=30°$

ABCD là hình thoi => $\widehat{BCD}=\widehat{BAD}=30°\Rightarrow \widehat{ABC}=\widehat{ADC}=150°$

$\left\{\begin{array}{l}MN//AC\\ MN=\frac{1}{2}AC\end{array}\right.$                                                           (1)

Vì P, Q là trung điểm của CD, DA => PQlà đường trung bình của tam giác ADC

$\left\{\begin{array}{l}PQ//AC\\ PQ=\frac{1}{2}AC\end{array}\right.$  (2)

Từ (1) và (2) => MNPQ là hình bình hành..

b) Vì  P, N là trung điểm của CD, BC => NP là đường trung bình của tam giác BDC

=> $NP=\frac{1}{2}BD$          (4)

Từ (3), (4) => AC = BD

Hình thang ABCD có AC = BD => ABCD là hình thang cân

b) DEIF là hình thoi $\Rightarrow EI=ED=DF=FI$

=> $△$EID, $△$DIF là các tam giác đều.

$\Rightarrow \widehat{EIF}=120°$.

Mà  $△$EIA cân tại I $\Rightarrow \widehat{EIM}=2.\widehat{EAM}$

Mà  $△$FIA cân tại I $\Rightarrow \widehat{FIM}=2.\widehat{FAM}$

$$\begin{gathered} \Rightarrow \widehat{FAM}+\widehat{EAM}=\frac{1}{2}\left(\widehat{FIM}+\widehat{EIM}\right)=\frac{1}{2}\widehat{EIF}=60° \\ \Rightarrow \widehat{BAC}=60° \end{gathered}$$

Do đó để DEIF là hình thoi thì $△$ABC cân tại A cần thêm điều kiện $\widehat{BAC}=60°$.