Dạng 5. Bài tập tự luyện đường trung bình của tam giác có đáp án

a) $\Delta ABD$  cân tại B, đường cao BH nên BH đồng thời là đường trung tuyến nên AH = HD 

Tương tự AK = KE  nên HK là đường trung bình của $\Delta ADE$ nên HK // DE ; $HK=\frac{1}{2}DE$ 

b) $HK=\frac{DE}{2}=\frac{10}{2}=5\left(cm\right)$ (vì $DE=DB+BC+CF=AB+BC+CA=10$cm )

a) MN là đường trung bình của $\Delta ABC\Rightarrow MN\text{//}BC\Rightarrow MN\text{//}HK$ hay$MI\text{//}BH$ 

$MI\text{//}BH$ và $MA=MB\Rightarrow IA=IH$

$\Delta MAH$ cân tại A nên $\widehat{HMI}=\widehat{IMA}$  (1)

 NK là đường trung bình của $\Delta ABC\Rightarrow NK\text{//AB}\Rightarrow \widehat{MNK}=\widehat{IMA}$(hai góc ở vị tri so le trong) (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{HMI}=\widehat{MNK}$ (so le trong) hay $\widehat{HMN}=\widehat{MNK}$ 

Tứ giác MNHK có MN // HK nên tứ giác là hình thang, lại có $\widehat{HMN}=\widehat{MNK}$ là hình thang cân.

b) HK là đường trung bình của $\Delta AED$

=> HK // ED hay BC // ED nên tứ giác BCDE là hình thang.

=> NK là đường trung bình của $\Delta ACD\Rightarrow NK\text{//}CD$ mà $NK\text{//AB}$ nên $AB\text{//}CD\Rightarrow \widehat{ABH}=\widehat{BCD}$(so le trong) (3)

Dễ thấy $\Delta ABE$ cân tại B vì BH vừa là đường cao vừa là trung tuyến

=> BH là phân giác của $\widehat{ABE}\Rightarrow \widehat{ABH}=\widehat{HBE}$ (4)

Từ (3), (4) $\Rightarrow \widehat{HBE}=\widehat{BCD}$ hay $\Rightarrow \widehat{CBE}=\widehat{BCD}$

Hình thang BCDE có $\widehat{CBE}=\widehat{BCD}$tứ giác BCDE là hình thang cân.

a) Khi $AD=\frac{1}{2}DC.$

Gọi N là trung điểm của DC, khi đó MN là đường trung bình của $\Delta BCD$ $\Rightarrow MN\text{//}BD\Rightarrow MN\text{//}ID$

$\Delta AMN$ có MN // ID và $AD=DN\Rightarrow AI=IM$ 

b) Khi $AI=IM$. Kẻ $MN\text{//}BD$ . Xét $\Delta AMN$ ta có $ID\text{//}MN$ và $AI=IM$ nên $AD=DN$.

Xét $\Delta BCD$ có $MN\text{//}BD;MB=MC$ nên $ND=NC$ . Vậy $AD=\frac{1}{2}DC,$và dễ dàng chỉ ra $ID=\frac{1}{4}BD.$

c) Khi $AD=\frac{1}{2}DC. AB=3AE.$

Ta có I là giao điểm của BD và AM

 Gọi F là trung điểm của BE.Ta có MF là đường trung bình của $\Delta BEC\Rightarrow FM\text{//}CE$ 

$AD=\frac{1}{2}DC$  thì IA = OM (theo câu a) nên EI là đường trung bình của $\Delta AFM\Rightarrow EI\text{//}FM$ 

Có $FM\text{//}CE$ và EI // FM nên E, I, C thẳng hàng hay EC đi qua điểm I

Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Khi đó $\Delta BCD$  cân tại C  nên BC = CD 

Kẻ $\text{BH}\perp \text{CD},\text{IK}\perp \text{CD}$.

Ta có: $\text{CH}=\frac{\text{CD}-\text{AB}}{2}=\frac{10-4}{2}=3$ (cm).

Áp dụng định lí Py-ta-go vào $\text{ΔBHC}$, ta có: ${\text{BH}}^2={\text{BC}}^2-{\text{CH}}^2=5^2-3^2=16=4^2$ 

=> BH = 4 cm.

Tam giác BDH có BI = ID và IK // BH nên IK là đường trung bình.

$\Rightarrow \text{IK}=\frac{\text{BH}}{2}=\frac{4}{2}=2$ (cm).

Kẻ HK // BE ta chứng minh được AE = EK = KC

Tam giác AHC có AK = KH và HM = MC => MK là đường trung bình của $\text{ΔAHC}$.

=> MK // AC. Ta lại có $\text{AC}\perp \text{AB}$ nên  

Tam giác ABM có:$\text{AH}\perp \text{BM}$ và $\text{MK}\perp \text{AB}$

=> K là trực tâm, suy ra $\text{BK}\perp \text{AM}$.

Gọi J là trung điểm của KC, ta có IJ là đường trung bình trong tam giác KHC.

Do đó $\text{IJ}//\text{HC}\Rightarrow \text{IJ}\perp \text{AH}$ 

Trong tam giác AHJ có  $\text{IJ}\perp \text{AH},\text{HI}\perp \text{AJ}$ . Từ đó, I là trực tâm tam giác AHJ.

=> AI$\perp$HJ (1).

Trong tam giác BKC, HJ là đường trung bình, suy ra HJ // BK (2).

Từ (1) và (2) suy ra $\text{AI}\perp \text{BK}$