Dạng 2. Sử dụng định nghĩa và định lí về đường trung bình của hình thang để chứng minh có đáp án
9 câu hỏi
a) Ta có È là đường trung bình của hình thang ABCD.
Þ EF//AB.
Suy ra EF ^ AD
Khi đó EF vừa trung tuyến, vừa là đường cao của tam giác AFD Þ ĐPCM.
b) Tam giác AFD cân tại F nên
Suy ra
a) Gọi M và N lần lượt là giao điểm của AE, BF với CD.
Ta có: ngoài, ngoài.
Mà ngoài + ngoài = 1800 (do AB//CD)
, tức là tam giác ADE vuông tại E.
Khi đó, tam giác ADM cân tại D (do có DE vừa là đường phân giác, vừa là đường cao) và E là trung điểm của AM.
Chứng minh tương tự, ta được F là trung điểm của BN.
Từ khó, suy ra EF là đường trung bình của hình thang ABNM và ta được ĐPCM
b) Từ ý a),
a) Vẽ ta được AH // BK và AB // HK
Ta có:
Theo ví dụ 4 thì đoạn thẳng PQ nối trung điểm của hai đường chéo bằng nửa hiệu hai đáy. Vậy HD = PQ
Đường trung bình của hình thang bằng nửa tổng hai đáy. Do đó HC bằng độ dài đường trung bình của hình thang.
Gọi I là trung điểm của BC.
Vẽ .
Ta có:
- Xét có MN // BE và MQ = MB nên NA = NE (1)
- Xét hình thang ONFD có BE // ON và OB = BD nên NE = EF (2)
- Xét có DF // BE và BD = DC nên EF = FC (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra: AN = NE = EF = FC, do đó
Gọi O là trung điểm của MN.
Vẽ và
Ta có:
(cạnh huyền – góc nhọn)
=> MD = BH và BD = AH
Tương tự,
=> NE = CH và CE = AH (2)
Từ (1) và (2) suy ra BD = CE (=AH).
Dễ thấy OF là đường trung bình của hình thang MDEN
(không đổi).
Ta có: .
Vậy O nằm trên đường trung trực của BC và cách BC một khoảng không đổi là . Do đó O là một điểm cố định.
Suy ra MN đi qua một điểm cố định là điểm O.
Gọi E là trung điểm của CM, G là trung điểm của DM. Khi đó EG là đường trung bình của
và cân tại C và D mà nên
các góc ở đáy của chúng bằng nhau:
=> CA // DM và CM // DB (vì có các cặp góc đồng vị bằng nhau).
Xét có EF là đường trung bình => EF // MB.
Xét có HG là đường trung bình => HG // AM.
Suy ra: EF // HG (vì cùng song song với AB). Vậy tứ giác EFGH là hình thang.
Xét hình thang ACDM có EH là đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo nên EH // AC.
Tương tự, xét hình thang CDBM có: FG // DB.
Do đó
Mặt khác (chứng minh trên) nên .
Vậy hình thang EFGH là hình thang cân => HF = EG
Từ (1) và (2) suy ra: .
Bạn có thích hoạt động này không?
Hãy lưu hoặc chia sẻ nội dung này đến mọi người.
Gợi ý cho bạn
Ý tưởng của bạn, bài học của bạn
Tự thiết kế đề thi, bài giảng hoặc flashcard theo cách riêng.
