Bài 9: Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức

Phân thức: $\frac{5x^2-4x+2}{20}$xác định với mọi x ∈ R

Phân thức:$\frac{8}{x+2004}$xác định khi x + 2004 ≠ 0 ⇒ x ≠ - 2004

Phân thức: $\frac{4x}{3x-7}$xác định khi 3x – 7 ≠ 0 ⇒ x ≠ 7/3

Phân thức: $\frac{x^2}{x+z}$xác định khi x + z ≠ 0 ⇒ x ≠ - z

xác định khi:

x(2 – 3x) ≠ 0 ⇔ 

Vậy phân thức $\frac{5}{2x-3x^2}$ xác định với x ≠ 0 và x ≠ 2/3

 xác định khi ${\left(2x+1\right)}^3\ne 0$

Suy ra: 2x + 1 $\ne$ 0 ⇒ x $\ne$ - 1/2

 xác định khi:

${\left(4-3x\right)}^2$ $\ne$ 0 ⇒ 4 – 3x $\ne$ 0 ⇒ x $\ne$ 4/3

 xác định khi:

(x – 2y)(x + 2y) $\ne$ 0 ⇔  ⇒ x $\ne$ $\pm$ 2y

Ta có: $\frac{2x}{2x-2}$xác định khi 2x – 2 ≠ 0 ⇒ 2x ≠ 2 ⇒ x ≠ 1

$\frac{1}{x^2-2x+1}=\frac{1}{{\left(x-1\right)}^2}$xác định khi ${\left(x-1\right)}^2$ $\ne$ 0 ⇒ x – 1 $\ne$ 0 ⇒ x $\ne$ 1

$\frac{5x^3}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}$ xác định khi $\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)$ $\ne$ 0 hay x – 1 $\ne$ 0

( vì với mọi x thì $x^2\ge 0$ nên $x^2+1>0$)

Do đó, phân thức $\frac{5x^3}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}$ xác định với x $\ne$ 1.

Vậy các phân thức $\frac{2x}{2x-2}$; $\frac{1}{x^2-2x+1}$; $\frac{5x^3}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}$ có cùng điều kiện biến x là đúng.

+) Tập hợp các số nguyên lẻ lớn hơn 5 và nhỏ hơn 10 là: { 7; 9}.

+) Do đó, phân thức cần tìm xác định với x ≠ 7; x ≠ 9 . Suy ra: x – 7 ≠ 0 và x – 9 ≠ 0

Ta chọn phân thức là 

Phân thức một biến màgiá trị của nó được xác định với mọi giá trị của biến khác $\pm \sqrt{2}$=> x $\ne$ $\sqrt{2}$ và x $\ne$ - $\sqrt{2}$

Suy ra: x - $\sqrt{2}$ $\ne$ 0 và x + $\sqrt{2}$ $\ne$ 0 ta chọn phân thức:

(với a là một hằng số)

Ta chỉ cần tìm hai phân thức là nghịch đảo của nhau.

Ví dụ: . Có vô số cặp phân thức như vậy.

Có vô số cặp phân thức như vậy.

$9x^2-6x+1\ne 0\Rightarrow {\left(3x-1\right)}^2\ne 0\Rightarrow x\ne 1/3$ ta có x = - 8 $\ne$ 1/3

Thay x = - 8 vào biểu thức, ta có: 

Ta có: $x^3+2x^2-x-2$ = $x^2\left(x+2\right)-\left(x+2\right)$ = $\left(x^2-1\right).\left(x+2\right)$ = $\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)$

Do đó, để $x^3+2x^2-x-2$ $\ne$ 0 khi (x + 2)(x – 1)(x + 1) $\ne$ 0 ⇒ x $\ne$ - 2 và x $\ne$ ± 1

Ta có: x = 1000001 thỏa mãn điều kiện.

Thay x = 1000001 vào biểu thức ta được: 

xác định khi:

(x + y)(6x – 6y) $\ne$ 0 ⇒ 

Điều kiện x $\ne$ ± y

Vậy biểu thức không phụ thuộc vào x, y.

xác định khi 4ax + 6x + 9y + 6ay $\ne$ 0

⇒ 2x(2a + 3) + 3y(2a + 3) = (2a + 3)(2x + 3y) $\ne$ 0

Ta có: 2a + 3 $\ne$ 0 ⇒ a $\ne$ - 3/2 ; 2x + 3y $\ne$ 0 ⇒ x $\ne$ - 3/2 y

Điều kiện: x $\ne$ - 3/2 y và a $\ne$ - 3/2

Vậy biểu thức không phụ thuộc vào x, y.

Điều kiện: $x^3-2x^2=x^2\left(x-2\right)$ $\ne$ 0 ⇒ x $\ne$ 0 và x $\ne$ 2

Ta có: 

Nếu phân thức đã cho bằng -2 thì biểu thức x - 2 cũng có giá trị bằng -2. Suy ra: x - 2 = -2 ⇒ x = 0 không thỏa mãn điều kiện.

Vậy không có giá trị nào của x để phân thức bằng -2

Điều kiện: $x^3-2x^2=x^2\left(x-2\right)$ $\ne$ 0 ⇒ x $\ne$ 0 và x $\ne$ 2

Ta có: 

Nếu phân thức đã cho bằng 2 thì biểu thức x - 2 cũng có giá trị bằng 2. Suy ra: x- 2 = 2 ⇒ x = 4. Với x = 4 thỏa mãn điều kiện.

Vậy khi x = 4 thì phân thức có giá trị bằng 2.

Điều kiện: $x^3-2x^2=x^2\left(x-2\right)$ $\ne$ 0 ⇒ x $\ne$ 0 và x $\ne$ 2

Ta có: 

Nếu phân thức có giá trị bằng 0 thì biểu thức x - 2 cũng có giá trị bằng 0. Suy ra: x - 2 = 0 ⇒ x = 2 mà x = 2 không thỏa mãn điều kiện.

Vậy không có giá trị nào của x để phân thức có giá trị bằng 0.

Biểu thức xác định khi 2x + 10 $\ne$ 0, x $\ne$ 0 và 2x(x + 5) $\ne$ 0

Điều kiện x $\ne$ 0 và x $\ne$ - 5

Nếu giá trị phân thức bằng 1 thì giá trị của biểu thức (x - 1) / 2 cũng bằng 1.

Suy ra: (x - 1) / 2 = 1 ⇒ x – 1 = 2 ⇒ x = 3 mà x = 3 thỏa mãn điều kiện.

Vậy x = 3 thì giá trị của phân thức bằng 1.

Nếu giá trị phân thức bằng - 1/2 thì giá trị của biểu thức (x - 1) / 2 cũng bằng - 1/2.

Suy ra: (x - 1) / 2 = - 1/2 ⇒ x – 1 = - 1 ⇒ x = 0 mà x = 0 không thỏa mãn điều kiện.

Vậy không có giá trị nào của x để phân thức bằng - 1/2 .

Nếu giá trị phân thức bằng – 3 thì giá trị của biểu thức (x - 1) / 2 cũng bằng - 3.

Suy ra: (x - 1) / 2 = -3 ⇒ x – 1 = -6 ⇒ x = -5 mà x = -5 không thỏa mãn điều kiện.

Vậy không có giá trị nào của x để phân thức bằng -3.

Biểu thức bằng 0 khi tử bằng 0 và mẫu khác 0

Ta có: 2x + 4 = 0 => x = - 2 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy với x = - 2 thì giá trị của biểu thức bằng 0.

Biểu thức bằng 0 khi tử bằng 0 và mẫu khác 0

Ta có: x + 3 = 0 => x = -3 (không thỏa mãn điều kiện)

Vậy không có giá trị nào của x để biểu thức bằng 0.

Biểu thức xác định khi: $x^2-4=\left(x+2\right)\left(x-2\right)\ne 0$và ${\left(x+2\right)}^2\ne 0$ hay $x\ne \pm 2$

Ta có:

Biểu thức bằng 0 khi (x – 1)(x + 6) = 0 và $\left(x-2\right){\left(x+2\right)}^2\ne 0$

+) Ta có: (x - 1).(x + 6) = 0 khi x - 1= 0 hay x + 6 = 0

x - 1 = 0 khi x = 1 ( thỏa mãn điều kiện)

x + 6 = 0 khi x = -6 ( thỏa mãn điều kiện)

Vậy với x = 1 hoặc x = - 6 thì giá trị biểu thức bằng 0.

Biểu thức bằng 0 khi $x^3$ = 0 và $x^2+x+1\ne 0$

Ta có: $x^3$ = 0 ⇒ x = 0;

$x^2+x+1=x^2+2.x.1/2+1/4+3/4={\left(x+1/2\right)}^2+3/4\ne 0$ mọi x.

Vậy với x = 0 thì giá trị của biểu thức bằng 0.

Vì 2 / (x - 3) là một số nguyên nên 2 ⋮ (x – 3) và x ≠ 3

Suy ra: x – 3 ∈ Ư(2) = {- 2; - 1; 1; 2}

Ta có:x – 3 = - 2 ⇒ x = 1;            x – 3 = - 1 ⇒ x = 2

      x – 3 = 1 ⇒ x = 4;            x – 3 = 2 ⇒ x = 5

Vậy với x ∈ {1; 2; 4; 5} thì 2 / (x - 3) là một số nguyên.

Vì 3 / (x + 2) là một số nguyên nên 3 ⋮ (x + 2) và x ≠ - 2

Suy ra: x + 2 ∈ Ư(3) = {- 3; - 1; 1; 3}

Ta có: x + 2 = - 3 ⇒ x = - 5;            x + 2= - 1 ⇒ x = - 3

      x + 2 = 1 ⇒ x = -1;            x + 2 = 3 ⇒ x = 1

Vậy với x ∈ {-5; -3; -1; 1} thì 3 / (x + 2) là một số nguyên.

Ta có:

Với x là số nguyên ta có: $3x^2+8x+33$ là số nguyên.

Để biểu thức đã cho là số nguyên thì 131 ⋮ (x – 4) và x $\ne$ 4

Suy ra: x – 4 ∈ Ư(131) = {-131; -1; 1; 131}

Ta có: x – 4 = -131 ⇒ x = -127;            x – 4 = -1 ⇒ x = 3

      x – 4 = 1 ⇒ x = 5;            x – 4 = 131 ⇒ x = 135

Vậy với x ∈ {-127; 3; 5; 135} thì là số nguyên.

Ta có:

Vì x là số nguyên nên x – 1 là số nguyên.

Để biểu thức đã cho là số nguyên thì 3 ⋮ (3x + 2) và x ≠ -2/3

Suy ra: 3x + 2 ∈ Ư(3) = {-3; -1; 1; 3}

Ta có: 3x + 2 = -3 ⇒ x = -5/3 ∉ Z (loại)

3x + 2 = -1 ⇒ x = - 1

3x + 2 = 1 ⇒ x = -1/3 ∉ Z (loại)

3x + 2 = 3 ⇒ x = 1/3 ∉ Z (loại)

x = -1 khác -3/2

Vậy với x = - 1 thìcó giá trị nguyên.

Chọn đáp án C

Giá trị của biểu thức$Q=\frac{x^2-6x+9}{x^2-9}=\frac{{\left(x-3\right)}^2}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\frac{x-3}{x+3}$

Giá trị của Q tại x = 3 là (3-3)/(3+3) = 0 sai vì x = 3 phân thức đã cho không xác định.

Giá trị biểu thức bằng 0 khi

⇒ x = 0 hoặc (x + 1) = 0 hoặc x – 1 = 0

x + 1 = 0 hay x = - 1

x – 1 = 0 hay x = 1

x = 0 không thỏa mãn điều kiện nên loại

Vậy x = 1 hoặc x = -1

Giá trị biểu thức bằng 0

Khi $x^3+x^2-x-1$ ⇒ $x^2\left(x+1\right)-\left(x+1\right)$ = 0

⇒ $\left(x+1\right)\left(x^2-1\right)$ = 0

⇒ x + 1 = 0 hoặc x – 1 = 0

x + 1 = 0 ⇒ x = −1

x - 1 = 0 ⇒ x = 1

x = 1 và x = -1 không thỏa mãn điều kiện

Vậy không có giá trị nào của x để giá trị tương ứng của biểu thức bằng 1