Bài 5: Diện tích hình thoi

Giả sử ta có hình thoi ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Ta cắt hình thoi theo đường chéo AC ta được 2 tam giác.

Lấy AC làm một cạnh hình chữ nhật. Cắt tam giác BAC theo đường BO ta được hai tam giác ghép lại ta có hình chữ nhật.

Trong $△$ABD ta có:

M là trung điểm của AB

Q là trung điểm của AD nên MQ là đường trung bình của $△$ABD.

⇒ MQ // BD và MQ = 1/2 BD (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)

Trong $△$CBD ta có:

N là trung điểm của BC

P là trung điểm của CD

nên NP là đường trung bình của $△$CBD

⇒ NP // BD và NP = 1/2 BD (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MQ // NP và MQ = NP nên tứ giác MNPQ là hình bình hành

AC ⊥ BD (gt)

MQ // BD

Suy ra: AC ⊥ MQ

Trong $△$ABC có MN là đường trung bình ⇒ MN // AC

Suy ra: MN ⊥ MQ hay (NMQ) = ${90}^0$

Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Kẻ đường chéo MP và NQ

Trong $△$MNP ta có:

X là trung điểm của MN

Y là trung điểm của NP

nên XY là đường trung bình của $△$MNP

⇒ XY // MP và XY = 1/2 MP (tính chất đường trung bình của tam giác) (3)

Trong $△$QMP ta có:

T là trung điểm của QM

Z là trung điểm của QP

nên TZ là đường trung bình của $△$QMP

⇒ TZ // MP và TZ = 1/2 MP (tính chất đường trung bình của tam giác) (4)

Từ (3) và (4) suy ra: XY // TZ và XY = TZ nên tứ giác XYZT là hình bình hành.

Trong $△$MNQ ta có XT là đường trung bình

⇒ XT = 1/2 QN (tính chất đường trung bình của tam giác)

Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật ⇒ MP = NQ

Suy ra: XT = XY. Vậy tứ giác XYZT là hình thoi

$S_{XYZT}$ = 1/2 XZ. TY

mà XZ = MQ = 1/2 BD = 1/2. 8 = 4 (cm);

TY = MN = 1/2 AC = 1/2 .6 =3 (cm)

Vậy : $S_{XYZT}$ = 1/2. 3. 4 = 6($c{m}^2$)

Trong ΔEDC ta có:

M là trung điểm của ED

Q là trung điểm của EC

nên MQ là đường trung bình của $∆$EDC

⇒ MQ = 1/2 CD = 2,5 (cm) và MQ // CD

Trong $∆$BDC ta có:

N là trung điểm của BD

P là trung điểm của BC

nên NP là đường trung bình của $∆$BDC

⇒ NP = 1/2 CD = 2,5 (cm)

Trong $∆$DEB ta có:

M là trung điểm của DE

N là trung điểm của DB

nên MN là đường trung bình của $∆$DEB

⇒ MN = 1/2 BE = 2,5 (cm) và MN // BE

Trong $∆$CEB ta có:

Q là trung điểm của CE

P là trung điểm của CB

nên QP là đường trung bình của $∆$CEB

⇒ QP = 1/2 BE = 2,5 (cm)

Suy ra: MN = NP = PQ = QM (1)

MQ // CD hay MQ // AC

AC ⊥ AB (gt)

⇒ MQ ⊥ AB

MN // BE hay MN // AB

Suy ra: MQ ⊥ MN hay (QMN) = ${90}^0$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác MNPQ là hình vuông

$S_{MNPQ}=M{N}^2={\left(2,5\right)}^2=6,75 \left(c{m}^2\right)$