Bài 3: Tính chất đường phân giác của tam giác

Trong $△$ABC, ta có: AD là đường phân giác của (BAC)

Suy ra:  (tính chất đường phân giác)

Mà AB = 15 (cm); AC = 20 (cm)

Nên 

Suy ra:  (tính chất tỉ lệ thức)

Suy ra: 

Kẻ AH ⊥ BC

Ta có: $S_{ABD}$ 1/2 AH.BD; $S_{ADC}$ = 1/2 AH.DC

Trong $△$ABC, ta có: AD là đường phân giác của $\angle$(BAC)

Suy ra:  (tính chất đường phân giác) (1)

BE là đường phân giác của $\angle$(ABC)

Suy ra:  (tỉnh chất đường phân giác) (2)

CF là đường phân giác của ∠(ACB)

Suy ra:  (tính chất đường phân giác) (3)

Nhân từng vế (1), (2) và (3) ta có:

Trong $△$BAC, ta có: AM là đường phân giác của (BAC)

Suy ra:  (tỉnh chất đường phân giác) (1)

CN là đường phân giác của (BCA)

Suy ra:  (tỉnh chất đường phân giác) (2)

Lại có: AB = CB = a (gt)

Từ (1), (2) và (gt) suy ra: 

Trong $△$BAC, ta có: 

Suy ra: MN // AC (theo định lí đảo của định lí Ta-lét).

Ta có:  (chứng minh trên)

Suy ra:

Hay 

Trong ΔBAC, ta có:

MN //AC (chứng minh trên)

Và 

Vậy 

* Trong $△$ABC, ta có:

AD là đường phân giác của $\angle$(BAC)

Suy ra:  (tính chất tia phân giác)

Suy ra: 

Suy ra: 

Suy ra: 

Vậy DC = BC - DB = 28 - 10,5 = 17,5 (cm)

* Trong $△$ABC, ta có: DE // AB

Suy ra:  (Hệ quả định lí Ta-lét)

Vậy: 

Vì $△$ABD và $△$ABC có chung đường cao kẻ từ đỉnh A nên:

Vậy: $S_{ABD}$= 3/8.S

$S_{ADC}=S_{ABC}-S_{ABD}$ = S - 3/8.S = 8/8.S - 3/8.S = 5/8.S

Vì DE // AB và AD là đường phân giác góc A nên AE = DE

Ta có: 

Vậy: 

Ta có: 

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2={21}^2+{28}^2=1225$ 

Suy ra: BC = 35 (cm)

Vì AD là đường phân giác của $\angle$(BAC) nên:

 (t/chất đường phân giác)

Suy ra: 

Hay 

Suy ra: 

Vậy DC = BC – BD = 35 – 15 = 20cm

Trong ΔABC ta có: DE // AB

Suy ra:  (Hệ quả định lí Ta-lét)

Suy ra: 

Ta có: $S_{ABC}$ = 1/2.AB.AC = 1/2.21.28 = 294 ($c{m}^2$)

Vì $△$ABC và $△$ADB có chung đường cao kẻ từ đỉnh A nên:

Vậy $S_{ADC}=S_{ABC}-S_{ABD}$ = 294 – 126 = 168($c{m}^2$)

Vì BD là đường phân giác của $\angle$(ABC) nên:

 (t/chất đường phân giác)

Suy ra:

Mà ΔABC cân tại A nên AC = AB = 15 (cm)

Suy ra: AD/15 = 15/(15+10) ⇒ AD = (15.15)/25 = 9(cm)

Vậy DC = AC – AD = 15 – 9 = 6 (cm)

Vì BE ⊥ BD nên BE là đường phân giác góc ngoài tại đỉnh B

Suy ra :  ( t/chất đường phân giác)

Suy ra:  ⇒ EC.BA= BC (EC + AC)

Suy ra: EC.BA - EC.BC = BC.AC ⇒EC (BA - BC) = BC.AC

Vậy 

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2={12}^2+6^2=400$

Suy ra: BC =20 (cm)

Vì AD là đường phân giác của ∠(BAC) nên:

 (tính chất đường phân giác)

Suy ra: 

Suy ra: 

Vậy : DC = BC – DB = 20 - 60/7 = 80/7 (cm)

Ta có: $S_{ABC}$ = 1/2.AB.AC = 1/2.AH.BC

Suy ra: AB.AC = AH.BC

Trong tam giác vuông AHB, ta có: $\angle \left(AHB\right)={90}^0$

Theo định lí Pi-ta-go, ta có: $A{B}^2=A{H}^2+H{B}^2$

Suy ra: $H{B}^2=A{B}^2-A{H}^2$ = ${12}^2-{\left(9,6\right)}^2$ = 51,84 ⇒ HB =7,2 (cm)

Vậy HD = BD – HB = 60/7 - 7,2 ≈ 1,37 (cm)

Trong tam giác vuông AHD, ta có: $\angle \left(AHD\right)={90}^0$

Theo định lí Pi-ta-go, ta có:

$A{D}^2=A{H}^2+H{D}^2={\left(9,6\right)}^2+{\left(1,37\right)}^2$ = 94,0369

Suy ra: AD ≈ 9,70 (cm)

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có:

$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=a^2+b^2$

Suy ra:

Ta có: AM = BM = 1/2.BC (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Suy ra: AM = 1/2 $\sqrt{\left(a^2+b^2\right)}$

Vì AD là đường phân giác của ∠(BAC) nên:

 (tính chất đường phân giác)

Suy ra: 

hay 

Vậy

Với a = 4,15 (cm); b = 7,25 (cm), sử dụng máy tỉnh, ta tính được:

BC = 8,35 cm

BD = 3,04 cm

DC ≈ 5,31 cm

AM ≈ 4,18 cm

DM ≈ 1,14cm

Chọn B

Chọn C

Vì ABCD là hình bình hành nên $\angle$ABC = $\angle$ADC.

Mặt khác, BE và DF lần lượt là phân giác của các góc B và D, do đó suy ra $\angle$ADF = $\angle$CBE

Mặt khác, ta có: AD = CB = b;

$\angle$DAF = $\angle$BCE (so le trong)

Suy ra: $△$ADF = $△$CBE (g.c.g)

⇒ AF = CE

Đặt AF = CE = x

Theo tính chất của đường phân giác BE trong tam giác ABC, ta có:

Thay số, tính trên máy tính điện tử cầm tay ta được: