a) Số lần xuất hiện quả bóng màu vàng là 11.

Xác suất thực nghiệm của biến cố: “Quả bóng lấy ra là quả bóng màu vàng” là \(\frac{{11}}{{40}}.\)

b) Xác suất của biến cố “Quả bóng lấy ra là quả bóng màu vàng” là \(\frac{1}{3}.\)

Khi đố lần lấy ra ngẫu nhiên một quả bóng ngày càng lớn thì xác suất thực nghiệm của biến cố “Quả bóng lấy ra là quả bóng màu vàng” ngày càng gần với xác suất của biến cố đó là \(\frac{1}{3}.\)

Gọi \[x\,\,{\rm{(km)}}\] là độ dài quãng đường AB  \[\left( {x > 0} \right).\]

Thời gian xe máy đi từ A đến B là \(\frac{x}{{40}}\) (giờ).

Thời gian xe máy đi từ B đến A là \(\frac{x}{{30}}\) (giờ).

Đổi: 45 phút \( = \frac{3}{4}\) giờ.

Vì thời gian về nhiều hơn thời gian đi là 45 phút nên ta có phương trình \(\frac{x}{{30}} - \frac{x}{{40}} = \frac{3}{4}.\).

Giải phương trình, ta được x = 90 (TMĐK)

Vậy độ dài quãng đường AB là \[90\,\,{\rm{km}}.\]

a) Vì \(ABCD\) là hình chữ nhật nên \(\widehat {BAD} = 90^\circ .\)

Vì \(AH\) vuông góc với \(BD\) tại \(H\) nên \(\widehat {AHB} = 90^\circ .\)

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta HBA\) có \(\widehat {BAD} = \widehat {AHB} = 90^\circ \,;\,\,\widehat {ABH}\) chung.

Do đó  (g.g).

b) Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta HAD\) có: \(\widehat {BAD} = \widehat {AHD} = 90^\circ \,;\,\,\widehat {ADH}\) chung.

Do đó  (g.g).

Suy ra\(\frac{{AD}}{{DH}} = \frac{{BD}}{{AD}}\), do đó \(A{D^2} = BD \cdot DH.\)

Mà \(AD = BC\) (do \(ABCD\) là hình chữ nhật) nên \(B{C^2} = BD \cdot DH.\)

c) Vì \(DE\) là đường phân giác của \(\Delta ABD\) nên \(\widehat {ADI} = \widehat {HDI}\).

Chứng minh  (g.g) nên \(\widehat {DIH} = \widehat {IEA}.\)

Mà \(\widehat {DIH} = \widehat {AIE}\) (đối đỉnh) suy ra \(\widehat {IEA} = \widehat {AIE}.\) Do đó \(\Delta AIE\) cân tại \(A\).

Xét \(\Delta ADH\) có \(DI\) là đường phân giác nên \(\frac{{IH}}{{IA}} = \frac{{DH}}{{DA}}.\)

Mà \(AE = AI\) (\(\Delta AIE\) cân tại \(A\))  (1)

Từ câu b, ta có: \(\frac{{AD}}{{DH}} = \frac{{BD}}{{AD}}\) nên \(\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{DH}}{{AD}}\)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{IH}}{{EA}} = \frac{{AD}}{{BD}}. & (*)\)

Xét \(\Delta ADB\) có \(DE\) là đường phân giác nên \(\frac{{AE}}{{EB}} = \frac{{AD}}{{BE}}. & (**)\)

Từ (*) và (**) suy ra \(\frac{{IH}}{{EA}} = \frac{{AE}}{{EB}}.\) Do đó \(A{E^2} = IH \cdot EB.\)

Vậy \(\Delta AIE\) cân tại \(A\) và \(A{E^2} = IH \cdot EB.\)

Ta có \({m^2}x + 2m - 8 = 16x\)

\(\left( {{m^2} - 16} \right)x =  - 2m + 8\)

\(\left( {m - 4} \right)\left( {m + 4} \right)x =  - 2\left( {m - 4} \right)\)

Phương trình (1) là phương trình bậc nhất thì \(m \ne  \pm \,4.\)

Khi đó, nghiệm của phương trình là \(x = \frac{{ - 2}}{{m + 4}}.\)

Phương trình có nghiệm nguyên khi \(m + 4 \in \)Ư\[\left( { - 2} \right) = \left\{ { - 2\,;\,\, - 1\,;\,\,1\,;\,\,2} \right\}.\]

Do đó \[m \in \left\{ { - 6\,;\,\, - 5\,;\,\, - 3\,;\,\, - 2} \right\}.\]

Vậy để phương trình (1) là phương trình bậc nhất ẩn \(x\) và có nghiệm là số nguyên thì\[m \in \left\{ { - 6\,;\,\, - 5\,;\,\, - 3\,;\,\, - 2} \right\}.\]