Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 3

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Phân thức \(\frac{{x - 3}}{8} \) có giá trị bằng \(0\) hay \(\frac{{x - 3}}{8}  = 0\).

Khi đó \(x - 3 = 0\) (vì \(8 \ne 0)\) nên \(x = 3\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: \(\frac{{5x + y}}{{3y}} + \frac{{2x - y}}{{3y}} = \frac{{5x + y + 2x - y}}{{3y}} = \frac{{7x}}{{3y}}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

• Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng \(ax + b = 0\) với \(a \ne 0\) nên các phương trình \[2x - 5 = 0\]; \[4x - 3 = 0\]; \[\frac{1}{3}x + 2 = 0\] đều là phương trình bậc nhất một ẩn.

• Phương trình \[\frac{1}{{{x^2}}} + 1 = 0\] có chứa ẩn ở mẫu nên không phải là phương trình bậc nhất một ẩn.

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Khi \(a > 0.\) thì góc tạo bởi đường thẳng \(y = ax + b\) và trục \(Ox\) là góc nhọn.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Hệ số góc của hàm số \(y = 2024x + 1\) là 2024;

Hệ số góc của hàm số \[y = 2025x + 1\] là 2025.

Vì \(2\,024 \ne 2\,025\) nên đồ thị của hai hàm số \(y = 2024x + 1\) và \[y = 2025x + 1\] là hai đường thẳng cắt nhau.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Trong các số \[2\,;\,\,3\,;\,\,4\,;\,\,5\] thì có 2 và 4 chia hết cho 2.

Do đó, kết quả thuận lợi cho biến cố “Số ghi trên thẻ chia hết cho 2” là thẻ ghi số 2 và thẻ ghi số 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Số kết quả có thể là 38.

Chọn ngẫu nhiên một bạn nên các kết quả có thể là đồng khả năng.

Có \[38--17 = 21\] bạn nam nên có 21 kết quả thuận lợi.

Do đó, xác suất cô chọn trúng một bạn nam là \[\frac{{21}}{{38}}\].

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Vì  theo tỉ số \[2\] nên \(\frac{{BC}}{{NP}} = 2\) hay \(BC = 2NP\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Vẽ tam giác \[ABC\] vuông tại \[A.\]

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông \[ABC\] ta được:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\) suy ra \[AC < BC,{\rm{ }}AB < BC\].

Mà \[BC\] là cạnh huyền và \[AB,{\rm{ }}AC\] là các cạnh góc vuông.

Vậy trong giác vuông cạnh huyền là cạnh lớn nhất.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có , suy ra \[\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{MN}}{{NP}}\].

Mà \[\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{5}{{12}}\] nên \[\frac{{MN}}{{NP}} = \frac{5}{{12}}\].

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đỉnh của hình chóp tam giác đều \[S.MNP\] là \[S\].

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Hình chóp tứ giác đều \[S.ABCD\] có \[SH\] được gọi là đường cao.

Hướng dẫn giải

a) Rút gọn phân thức

\(Q = \frac{{\left( {{x^2} - 4{y^2}} \right)\left( {x - 2y} \right)}}{{{x^2} - 4xy + 4{y^2}}} = \frac{{\left( {x + 2y} \right)\left( {x - 2y} \right)\left( {x - 2y} \right)}}{{{{\left( {x - 2y} \right)}^2}}} = x + 2y.\)

b) Với \(x =  - 9998\) và \(y =  - 1\) \(\left( {x \ne 2y} \right)\), ta được:

\(Q =  - 9998 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) =  - 10\,\,000\).

Vậy tại \(x =  - 9998\) và \(y =  - 1\) thì \(Q =  - 10\,\,000.\)

Hướng dẫn giải

Gọi \[x\] (chiếc) là số thảm thực tế tổ bạn Hùng làm được \[\left( {x > 0} \right)\]

Số thảm dự định tổ bạn Hùng làm được là \[x - 24\] (chiếc).

Mỗi ngày tổ bạn Hùng dự định làm \[\frac{{x - 24}}{{20}}\] (chiếc).

Mỗi ngày tổ bạn Hùng thực tế làm \[\frac{x}{{18}}\] (chiếc).

Do thực tế mỗi ngày tổ tăng năng suất \[20\% \] nên ta có phương trình

\[120\%  \cdot \frac{{x - 24}}{{20}} = \frac{x}{{18}}\]

\[\frac{{3\left( {x - 24} \right)}}{{50}} = \frac{x}{{18}}\]

\[54\left( {x - 24} \right) = 50x\]

\[54x - 50x = 1296\]

\[4x = 1296\]

\[x = 324\] (thỏa mãn)

Vậy số thảm thực tế tổ bạn Hùng làm được là \[324\] chiếc.

Hướng dẫn giải

a) Tập hợp \[M\] gồm các kết quả xảy ra đối với tên học sinh được chọn ra là :

\[M\] = {Hoa; Mai; Linh; My; Cường; Hường; Mỹ; Kiên; Phúc; Hoàng}.

Số phần tử của tập hợp \[M\] là 10.

b) Có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố “Học sinh được chọn ra là học sinh nam” đó là Cường; Hường; Mỹ; Kiên ; Phúc; Hoàng.

Vì thế xác suất của biến cố đó là \(\frac{6}{{10}} = \frac{3}{5}\)   .

Hướng dẫn giải

1.

Gấp miếng bìa ta được hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có kích thước như hình vẽ.

Khi đó đáy \(ABCD\) là hình vuông và các mặt bên là các tam giác cân.

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC.\)

Khi đó \(BM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Tam giác \(SBC\) cân tại \(S\) có \(SM\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao nên \(SM \bot BC\) do đó \(\Delta SBM\) vuông tại \(M.\)

Áp dụng định lí Pythagore ta có \(S{B^2} = S{M^2} + B{M^2}\).

Suy ra \(S{M^2} = S{B^2} - B{M^2} = {13^2} - {5^2} = 144.\)

Do đó \(SM = 12{\rm{\;cm}}.\)

Diện tích của hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) là:

\({S_{xq}} = \frac{1}{2} \cdot \left( {4 \cdot 10} \right) \cdot 12 = 240{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

2.

Vì \[H\] là giao của ba đường cao \[AE,{\rm{ }}BD,{\rm{ }}CF\] nên \[H\] là trực tâm của tam giác \[ABC.\]

a) Xét DABD và DACF có:

\(\widehat {BAD} = \widehat {CAF}\); \(\widehat {ADB} = \widehat {AFC}\;\left( { = 90^\circ } \right)\)

Do đó ΔABD∽  ΔACF  (g.g).

b) Ta có: ΔABD∽  ΔACF  (cmt) suy ra \(\frac{{AD}}{{AF}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) hay \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}}.\)

Xét \[\Delta ABC\] và \[\Delta ADF\] có:

\(\widehat {BAC} = \widehat {DAF}\); \(\frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}}\;\left( {{\rm{cmt}}} \right)\)

Do đó ΔABC∽  ΔADF  (c.g.c).

c) • Xét \[\Delta BEH\] và \[\Delta BDC\] có:

\(\widehat {EBH} = \widehat {DBC}\); \(\widehat {BEH} = \widehat {BDC}\;\left( { = 90^\circ } \right)\)

Do đó ΔBEH∽  ΔBDC  (g.g).

Suy ra \(\frac{{BE}}{{BD}} = \frac{{BH}}{{BC}}\) hay \(BH \cdot BD = BE \cdot BC\) (1)

• Xét \[\Delta CEH\] và \[\Delta CFB\] có:

\(\widehat {ECH} = \widehat {FCB}\); \(\widehat {CEH} = \widehat {CFB}\,\;\left( { = 90^\circ } \right)\).

Do đó ΔCEH∽  ΔCFB  (g.g).

Suy ra \(\frac{{CE}}{{CF}} = \frac{{CH}}{{CB}}\) hay \(CH \cdot CF = CE \cdot CB\)  (2)

Từ (1) và (2) ta có: \[BH \cdot BD + CH \cdot CF = BE \cdot BC + CE \cdot BC\]

\[ = BC\left( {BE + CE} \right) = BC \cdot BC = B{C^2}\] (đpcm).

• Mặt khác, ta có:

\(\frac{{HE}}{{AE}} + \frac{{HD}}{{BD}} + \frac{{HF}}{{CF}}\)\( = \frac{{\frac{1}{2} \cdot HE \cdot BC}}{{\frac{1}{2} \cdot AE \cdot BC}} + \frac{{\frac{1}{2} \cdot HD \cdot AC}}{{\frac{1}{2} \cdot BD \cdot AC}} + \frac{{\frac{1}{2} \cdot HF \cdot AB}}{{\frac{1}{2} \cdot CF \cdot AB}}\)

\( = \frac{{{S_{HBC}}}}{{{S_{ABC}}}} + \frac{{{S_{HAC}}}}{{{S_{BAC}}}} + \frac{{{S_{HAB}}}}{{{S_{CAB}}}}\)\( = \frac{{{S_{HBC}} + {S_{HAC}} + {S_{HAB}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{ABC}}}} = 1\) (đpcm).

Vậy \[BH \cdot BD + CH \cdot CF = B{C^2}\] và \(\frac{{HE}}{{AE}} + \frac{{HD}}{{BD}} + \frac{{HF}}{{CF}} = 1.\)

\(\frac{{x - y}}{{1 + xy}} + \frac{{y - z}}{{1 + yz}} + \frac{{z - x}}{{1 + zx}} = \frac{{x - y}}{{1 + xy}} + \frac{{y - x + x - z}}{{1 + yz}} + \frac{{z - x}}{{1 + zx}}\)

\( = \frac{{x - y}}{{1 + xy}} - \frac{{x - y}}{{1 + yz}} + \frac{{x - z}}{{1 + yz}} - \frac{{x - z}}{{1 + zx}}\)

\( = \left( {x - y} \right)\left( {\frac{1}{{1 + xy}} - \frac{1}{{1 + yz}}} \right) + \left( {x - z} \right)\left( {\frac{1}{{1 + yz}} - \frac{1}{{1 + zx}}} \right)\)

\[ = \left( {x - y} \right)\frac{{yz - xy}}{{\left( {1 + xy} \right)\left( {1 + yz} \right)}} + \left( {x - z} \right)\frac{{zx - yz}}{{\left( {1 + yz} \right)\left( {1 + zx} \right)}}\]

\[ = \frac{{y\left( {x - y} \right)\left( {z - x} \right)}}{{\left( {1 + xy} \right)\left( {1 + yz} \right)}} + \frac{{z\left( {x - y} \right)\left( {x - z} \right)}}{{\left( {1 + yz} \right)\left( {1 + zx} \right)}}\]

\[ = \frac{{y\left( {x - y} \right)\left( {z - x} \right)}}{{\left( {1 + xy} \right)\left( {1 + yz} \right)}} - \frac{{z\left( {x - y} \right)\left( {z - x} \right)}}{{\left( {1 + yz} \right)\left( {1 + zx} \right)}}\]

\[ = \frac{{\left( {x - y} \right)\left( {z - x} \right)}}{{1 + yz}} \cdot \frac{{y\left( {1 + zx} \right) - z\left( {1 + xy} \right)}}{{\left( {1 + xy} \right)\left( {1 + zx} \right)}}\]

\[ = \frac{{\left( {x - y} \right)\left( {z - x} \right)}}{{1 + yz}} \cdot \frac{{y - z}}{{\left( {1 + xy} \right)\left( {1 + zx} \right)}}\]

\( = \frac{{x - y}}{{1 + xy}} \cdot \frac{{y - z}}{{1 + yz}} \cdot \frac{{z - x}}{{1 + zx}}\).