Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 9
14 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Áp dụng quy tắc đổi dấu để viết phân thức bằng phân thức sau \[\frac{{1 - x}}{{6 - {x^2}y}}\].
\[\frac{{1 - x}}{{6 + {x^2}y}}\].
\[\frac{{x - 1}}{{ - 6 + {x^2}y}}\].
\[\frac{{1 + x}}{{6 - {x^2}y}}\].
\[\frac{{1 + x}}{{6 + {x^2}y}}\].
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có \[\frac{{1 - x}}{{6 - {x^2}y}} = \frac{{ - \left( {1 - x} \right)}}{{ - \left( {6 - {x^2}y} \right)}} = \frac{{x - 1}}{{ - 6 + {x^2}y}}\].
\[x = 3\] là nghiệm của phương trình
\[2x = 6\].
\[3x = 12\].
. \[3x = 15\].
\[4x = 16\].
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
• Xét \[2x = 6\] thì \[x = 3\]. • Xét \[3x = 12\] thì \[x = 4\].
• Xét \[3x = 15\] thì \[x = 5\]. • Xét \[4x = 16\] thì \[x = 4\].
Vậy \[x = 3\] là nghiệm của phương trình \[2x = 6\].
Hai lớp 8A và 8B cùng tham gia trồng cây. Lớp 8A có \(40\) học sinh, mỗi em trồng được \(3\) cây. Lớp 8B có \(30\) học sinh mỗi em trồng \(x\) cây. Biết số cây mỗi lớp trồng là như nhau, khi đó giá trị của \(x\) là
\[2\].
\[3\].
\[4\].
\[5\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Số cây mỗi em lớp 8B là \(x\) (cây) \(\left( {x \in \mathbb{N}*} \right)\).
Số cây lớp 8B trồng là \(30x\) (cây)
Số cây lớp 8A trồng là \(40 \cdot 3 = 120\) (cây)
Vì số cây mỗi lớp trồng là như nhau nên ta có phương trình
\(30x = 120\) hay \(x = 4\) (thỏa mãn điều kiện).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\). Phát biểu nào sau đây đúng?
Hệ số \[a\] gọi là hệ số góc của đường thẳng \(y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\).
Hệ số \[b\] gọi là hệ số góc của đường thẳng \(y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\).
Hệ số \[a\] gọi là góc tạo bởi đường thẳng \(y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) và trục \[Ox\].
\(ax\) là hệ số góc của đường thẳng \(y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng \(y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có hệ số góc là \[a\].
Lớp 8B có 42 học sinh trong đó có 24 nam. Lớp phó lao động chọn một bạn để trực nhật trong một buổi học. Xác suất thực nghiệm của biến cố “Một bạn nữ trực nhật lớp” là
1.
\[\frac{4}{3}\].
\[\frac{3}{4}\].
\[\frac{3}{7}\].
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Số học sinh nữ của lớp 8B là: \(42 - 14 = 18\) (học sinh).
Xác suất thực nghiệm của biến cố “Một bạn nữ trực nhật lớp” là: \[\frac{{18}}{{42}} = \frac{3}{7}\].
Cho hình vẽ. Hãy chỉ ra cặp tam giác đồng dạng trong các tam giác sau:
Hình 1 và Hình 3.
Hình 2 và Hình 3.
Hình 1 và Hình 2.
Đáp án A và C đều đúng.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
• ΔABC∽ΔDEF vì \(\widehat B = \widehat D = 45^\circ ;\,\,\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{BC}}{{DF}}.\)
• \[\Delta ABC\] không đồng dạng với \(\Delta MNP\) vì \(\widehat B = \widehat M = 45^\circ ;\,\,\frac{{AB}}{{MN}} \ne \frac{{BC}}{{MP}};\,\,\frac{{AB}}{{MP}} \ne \frac{{BC}}{{MN}}.\)
• \[{\rm{\Delta }}DEF\] không đồng dạng với \(\Delta MNP\) vì \(\widehat B = \widehat D = 45^\circ ;\,\,\frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{BC}}{{DF}}.\)
Khi đó ΔMNP∽ΔDEF (g.g).
Cho \[\Delta RSK\] và \[\Delta RSK\] có \(\frac{{RS}}{{PQ}} = \frac{{RK}}{{PM}} = \frac{{SK}}{{QM}}\), khi đó ta có
ΔRSK∽ΔQPM .
ΔRSK∽ΔPQM
ΔRSK∽ΔMPQ.
ΔRSK∽ΔQMP.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Xét \[\Delta RSK\] và \[\Delta RSK\] có \(\frac{{RS}}{{PQ}} = \frac{{RK}}{{PM}} = \frac{{SK}}{{QM}}\).
Do đó ΔRSK∽ΔPQM (c.c.c).
Trong các hình sau, hình nào là hình chóp tứ giác đều?
Hình 1.
Hình 2.
Hình 3.
Hình 4.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Trong các hình trên, Hình 1 là hình chóp tứ giác đều.
PHẦN II. TỰ LUẬN
Cho biểu thức \[A = \left( {\frac{4}{{x - 2}} - \frac{3}{{x + 2}}} \right):\frac{{x + 14}}{{{x^2}}}\] (với \(x \ne 0;\,\,x \ne \pm 2\)).
a) Rút gọn biểu thức \(A.\)
b) Tính giá trị của biểu thức \(A\) biết \(x = \frac{1}{2}.\)
Hướng dẫn giải
a) Với \(x \ne 0;\,\,x \ne \pm 2\), ta có:
\[A = \left( {\frac{4}{{x - 2}} - \frac{3}{{x + 2}}} \right):\frac{{x + 14}}{{{x^2}}}\]
\[ = \left[ {\frac{{4\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} - \frac{{3\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}} \right] \cdot \frac{{{x^2}}}{{x + 14}}\]
\[ = \frac{{4\left( {x + 2} \right) - 3\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} \cdot \frac{{{x^2}}}{{x + 14}}\]
\[ = \frac{{4x + 8 - 3x + 6}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} \cdot \frac{{{x^2}}}{{x + 14}}\]
\[ = \frac{{x + 14}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{{{x^2}}}{{x + 14}} = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 4}}.\]
Vậy với \(x \ne 0;\,\,x \ne \pm 2\) thì \(A = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 4}}.\)
b) Với \(x = \frac{1}{2}\) (thỏa mãn điều kiện), thay vào biểu thức \(A,\) ta được:
\[A = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 4}} = \frac{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}}}{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} - 4}} = \frac{{\frac{1}{4}}}{{\frac{1}{4} - 4}} = - \frac{1}{{15}}.\]
Vậy \(A = - \frac{1}{{15}}\) khi \(x = \frac{1}{2}.\)
Hàm chi phí đơn giản nhất là hàm chi phí bậc nhất \(y = ax + b,\) trong đó \(b\) biểu thị chi phí cố định của hoạt động kinh doanh và hệ số \(a\) biểu thị chi phí của mỗi mặt hàng được sản xuất. Giả sử rằng một xưởng sản xuất xe đạp có chi phí cố định hằng ngày là 36 triệu đồng và mỗi chiếc xe đạp có chi phí sản xuất là \(1,8\) triệu đồng.
a) Viết công thức của hàm số bậc nhất biểu thị chi phí \(y\) (triệu đồng) để sản xuất \(x\) (xe đạp) trong một ngày.
b) Có thể sản xuất bao nhiêu chiếc xe đạp trong ngày, nếu chi phí trong ngày đó là 72 triệu đồng?
Hướng dẫn giải
a) Công thức của hàm số bậc nhất biểu thị chi phí \(y\) (triệu đồng) để sản xuất \(x\) (xe đạp) trong một ngày là:
\(y = 1,8x + 36\) (triệu đồng).
b) Do chi phí trong ngày đó là 72 triệu đồng nên \(y = 72\) (triệu đồng).
Thay \(y = 72\) vào công thức \(y = 1,8x + 36\) ta có:
\(1,8x + 36 = 72\)
\(1,8x = 36\)
\(x = 20\)
Vậy với chi phí là 72 triệu đồng thì trong ngày đó có thể sản xuất được 20 chiếc xe đạp.
Một hộp chứa các viên bi màu trắng và đen có kích thước và khối lượng như nhau. Mai lấy ra ngẫu nhiên từ một hộp, xem màu rồi trả lại hộp. Lặp lại thử nghiệm đó 80 lần, Mai thấy có 24 lần lấy được viên bi màu trắng.
a) Hãy tính xác suất thực nghiệm của biến cố "Lấy được viên bi màu đen" sau 80 lần thử.
b) Biết tổng số bi trong hộp là 10, hãy ước lượng xem trong hộp có khoảng bao nhiêu viên bi trắng.
Hướng dẫn giải
a) Xác suất thực nghiệm của biến cố "Lấy được viên bi màu đen" sau 80 lần thử:
\(\frac{{80 - 24}}{{80}} = \frac{7}{{10}} = 0,7\).
b) Ta có xác suất lấy được viên bi trắng là: \(\frac{{24}}{{80}} = 0,3\)
Khi đó, số viên bi trắng có trong hộp là: \[10 \cdot 0,3 = 3\] (viên).
Vậy số viên bi trắng là khoảng 3 viên.
1. Một cây cao \[12\,\,{\rm{m}}\] mọc cạnh bờ sông. Trên đỉnh cây có một con chim đang đậu và chuẩn bị sà xuống bắt con cá trên mặt nước (như Hình 1 và được mô phỏng như Hình 2). Hỏi con chim sẽ bay một đoạn ngắn nhất bằng bao nhiêu mét thì bắt được con cá? (Biết con cá cách gốc cây \[5\,\,{\rm{m}}\] và nước cao mấp mé bờ sông).
2. Một chiếc lều có hình dạng là một hình chóp tứ giác đều. Biết chiếc lều có mặt bên là tam giác đều có cạnh bằng \(2\,\,{\rm{m}}\). Tính chiều cao của chiếc lều.
Hướng dẫn giải
1. Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \[A\], theo định lý Pythagore, ta có:
\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {5^2} + {12^2} = 25 + 144 = 169.\)
Suy ra \[BC = 13\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}\]
Vậy con chim bay được một đoạn bằng \[13\,\,{\rm{m}}\] thì bắt được con cá.
2.
Xét \(\Delta SAE\) vuông tại \(E\) có: \(S{E^2} + E{A^2} = S{A^2}\)
Suy ra \(S{E^2} = S{A^2} - E{A^2}\) \( = {2^2} - {1^2} = 3\).
Ta có \(SE\) là trung đoạn nên \(E\) là trung điểm của \(AB\).
Xét \(\Delta ABD\) có \(E,\,\,H\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,BD\).
Do đó \(EH\) là đường trung bình của \(\Delta ABD\) nên \(EH = \frac{1}{2}AD = 1\,\,({\rm{cm)}}\).
Xét \(\Delta SEH\) vuông tại \(H\) có: \(S{E^2} = S{H^2} + E{H^2}\) .
Suy ra \(S{H^2} = S{E^2} - E{H^2}\) \( = 3 - {1^2}\) .
Do đó \(SH = \sqrt 2 \,\,{\rm{cm}}\).
Cho tam giác \[KBC\] vuông tại \[K\,\,\left( {KB < KC} \right).\] Tia phân giác của \[B\] cắt cạnh \[KC\] tại \[H.\] Qua \[C\] vẽ đường thẳng vuông góc với tia \[BH\] cắt đường thẳng \[BH\] tại \[I.\]
a) Chứng minh: ΔBHK∽ ΔCHI .
b) Chứng minh: \(C{I^2} = IH \cdot IB\).
c) Tia BK cắt tia \[CI\] tại \[A,\] tia \[AH\] cắt \[BC\] tại \[D.\] Chứng minh \[KC\] là tia phân giác của góc \[IKD.\]
Hướng dẫn giải
a) Xét \[\Delta BHK\] và \[\Delta CHI\] có:
\[\widehat {BHK} = \widehat {CHI}\]
\[\widehat {BKH} = \widehat {CIH}\;\left( { = 90^\circ } \right)\]
Do đó ΔBHK∽ ΔCHI (g.g) .
b) Từ câu a: suy ra \(\widehat {KBH} = \widehat {ICH}\) (hai góc tương ứng).
Mà \(\widehat {KBH} = \widehat {IBC}\) (do \[BI\] là đường phân giác \(\widehat {ABC}\))
Nên suy ra \(\widehat {ICH} = \widehat {IBC}\;\,\left( { = \widehat {KBH}} \right)\).
Xét \[\Delta ICH\] và \[\Delta IBC\] có:
\(\widehat {ICH} = \widehat {IBC}\;\left( { = \widehat {KBH}} \right)\)
\[\widehat {CIH} = \widehat {BIC}\;\left( { = 90^\circ } \right)\]
Do đó ΔICH∽ ΔIBC (g.g) .
Suy ra \(\frac{{CI}}{{BI}} = \frac{{IH}}{{IC}}\) hay \(C{I^2} = IH \cdot IB\) (đpcm).
d) Xét \[\Delta BAC\] có \[BI \bot AC\] nên \[BI\] vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên \[\Delta BAC\] cân tại \[B.\]
Suy ra \[BI\] là đường trung tuyến hay \[IA = IC.\]
Xét \[\Delta KBC\] vuông tại \[K\]có \[KI\] là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \[AC\] nên
\[KI = \frac{{AC}}{2} = AI = IC\].
Do đó \[\Delta KIC\] cân tại \[K\] nên \(\widehat {IKC} = \widehat {ICK}\). (1)
Vì \[\Delta BKH = \Delta BDH\] nên \[BK = BD.\]
Suy ra \[\Delta BKD\] cân tại \[B\] nên \(\widehat {BKD} = \widehat {BDK} = \frac{{180^\circ - \widehat {CBK}}}{2}.\)
Lại có \[\Delta ABC\] cân tại \[B\] nên \(\widehat {BAC} = \widehat {BCA} = \frac{{180^\circ - \widehat {CBK}}}{2}.\)
Do đó \(\widehat {BKD} = \widehat {BAC}\) suy ra \[KD\,{\rm{//}}\,AC\] nên \(\widehat {DKC} = \widehat {KCI}\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra \[\widehat {DKC} = \widehat {IKC}\].
Do đó \[KC\] là tia phân giác của góc \[IKD\] (đpcm).
Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) đôi một khác nhau và \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0.\) Tính giá trị biểu thức \[P = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2bc}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + 2ac}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + 2ab}}.\]
Hướng dẫn giải
Theo đề bài, \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0\), suy ra \(ab + bc + ca = 0.\)
Do đó \[{a^2} + 2bc = {a^2} + bc + \left( { - ab - ac} \right)\]
\[ = a\left( {a - b} \right) - c\left( {a - b} \right) = \left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right).\]
Tương tự, ta có \[{b^2} + 2ac = \left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)\]; \[{c^2} + 2ab = \left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right).\]
Từ đó, ta có:
\[P = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2bc}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + 2ac}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + 2ab}}\]
\[ = \frac{{{a^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{{{b^2}}}{{\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}} + \frac{{{c^2}}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}}\]
\[ = \frac{{{a^2}\left( {b - c} \right) + {b^2}\left( {c - a} \right) + {c^2}\left( {a - b} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right)}}\]
\[ = \frac{{ab\left( {a - b} \right) - c\left( {{a^2} - {b^2}} \right) + {c^2}\left( {a - b} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right)}}\]
\[ = \frac{{\left( {a - b} \right)\left( {ab - ac - bc + {c^2}} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right)}}\]
\[ = \frac{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {a - c} \right)}} = 1.\]
Vậy \[P = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + 2bc}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2} + 2ac}} + \frac{{{c^2}}}{{{c^2} + 2ab}} = 1.\]
