Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 6
14 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Với điều kiện nào của \[x\] thì phân thức \(\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}\) có nghĩa?
\[x \le 2\].
\(x \ne 2\,;\,\,x \ne - 3\).
\[x = 2\].
\[x \ne 2\].
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Để phân thức \(\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}\) có nghĩa thì \(\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right) \ne 0\) hay \(x \ne 2\,;\,\,x \ne - 3\).
Phương trình \[3x - 2 = 2x + 5\] có bao nhiêu nghiệm?
\(0\).
\(1\).
\(2\).
Vô số nghiệm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có: \[3x - 2 = 2x + 5\]
\[3x - 2x = 5 + 2\]
\[x = 7\]
Phương trình \[3x - 2 = 2x + 5\] có \(1\) nghiệm.
{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}\) có nghĩa?
Một đội máy kéo dự định mỗi ngày cày được \[40\]ha. Khi thực hiện đội mỗi ngày cày được \[52\] ha . Vì vậy đội không những đã hoàn thành xong trước kế hoạch \[2\] ngày mà còn cày thêm được \[4\] ha nữa. Gọi thời gian dự định hoàn thành công việc là \[x\] (ngày) (\[x > 2\]) thì phương trình để tìm \[x\] là
\[40x + 4 = 52\left( {x + 2} \right)\].
\[40x - 4 = 52\left( {x + 2} \right).\]
\[40x - 4 = 52\left( {x + 2} \right)\].
\[40x + 4 = 52\left( {x - 2} \right).\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Thời gian dự định hoàn thành công việc là \[x\] (ngày) (\[x > 2\]).
Diện tích đội phải cày theo dự định là \[40x\,\,\,\left( {ha} \right)\]
Thời gian đội đã cày khi thực hiện là \[x - 2\] (ngày)
Diện tích đội đã cày khi thực hiện là \[52\left( {x - 2} \right)\,\,\left( {ha} \right)\]
Vì khi thực hiện đội còn cày thêm được \[4\] ha nữa nên ta có phương trình \[40x + 4 = 52\left( {x - 2} \right)\].
Cho hàm số \(y = \frac{{m - 2}}{{m + 3}}x + 7.\) Với giá trị nào của \(m\) thì hàm số đã cho là hàm số bậc nhất?
\(m \ne 2.\)
\(m \ne - 2.\)
\(m = - 3.\)
\(m \ne 2\) và \(m \ne - 3.\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Để hàm số \(y = \frac{{m - 2}}{{m + 3}}x + 7\) là hàm số bậc nhất thì \(a = \frac{{m - 2}}{{m + 3}} \ne 0\) tức là \(m - 2 \ne 0\) và \(m + 3 \ne 0\) hay \(m \ne 2\) và \(m \ne - 3.\)
Vậy ta chọn phương án D.
Bạn My có các tấm thẻ, mỗi tấm thẻ ghi một chữ cái trong từ “MATHEMATIC”. Bạn My rút ngẫu nhiên một tấm thẻ. Xác suất để rút được tấm thẻ ghi chữ T là
1.
\[0,1\].
\[0,2\].
\[0,3\].
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Có 10 chữ cái trong từ “MATHEMATIC” nên số kết quả có thể là 10.
Chọn ngẫu nhiên một thẻ nên các kết quả có thể là đồng khả năng.
Có 2 tấm thẻ ghi chữ T nên có 2 kết quả thuận lợi.
Xác suất để rút được tấm thẻ ghi chữ T là \[\frac{2}{{10}} = 0,2\].
Nếu \[\Delta MNP\] và \[\Delta DEF\] có \[\widehat M = \widehat D = 90^\circ \], \(\widehat P = 50^\circ \). Để ΔMNP∽ ΔDEF thì cần thêm điều kiện
\[\widehat E = 50^\circ \].
\[\widehat F = 60^\circ \].
\[\widehat E = 40^\circ \].
\[\widehat F = 40^\circ \].
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Xét \[\Delta MNP\] có \[\widehat M = 90^\circ \], \(\widehat P = 50^\circ \) nên \(\widehat N = 40^\circ \).
Xét \[\Delta MNP\] và \[\Delta DEF\] có \[\widehat M = \widehat D\] (gt) cần thêm điều kiện \[\widehat E = 40^\circ \] thì \[\widehat N = \widehat E = 40^\circ .\]
Khi đó ΔMNP∽ΔDEF (g.g).
Cho hình vẽ. Hình ℋ là tứ giác \[ABCD\] và ℋ' là tứ giác \[A'B'C'D'\] được gọi là
hình đồng dạng phối cảnh.
hình giống nhau.
hình sao chép.
hình đối xứng.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Hình ℋ và hình ℋ' được gọi là hình đồng dạng phối cảnh.
Các cạnh bên của hình chóp tứ giác đều \[S.ABCD\] là
\[SA,{\rm{ }}SB,{\rm{ }}SC,{\rm{ }}SD\].
\[AB,{\rm{ }}AC,{\rm{ }}BC,{\rm{ }}BD\].
\[DA,{\rm{ }}SB,{\rm{ }}SH,{\rm{ }}DC\].
\[SA,{\rm{ }}SC,{\rm{ }}SD,{\rm{ }}SH\].
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Các cạnh bên của hình chóp tứ giác đều \[S.ABCD\] là \[SA,{\rm{ }}SB,{\rm{ }}SC,{\rm{ }}SD\].
PHẦN II. TỰ LUẬN
Cho biểu thức \[A = \frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 4}} \cdot \left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}} \right).\]
a) Rút gọn biểu thức \(A.\)
b) Tính giá trị của biểu thức \(A\) biết \(\left| {x + 3} \right| = 1.\)
Hướng dẫn giải
a) Điều kiện xác định của biểu thức \(A\) là \({x^2} - 4 \ne 0,\) \(x - 1 \ne 0\) hay \(x - 2 \ne 0,\) \(x + 2 \ne 0\) và \(x - 1 \ne 0\), tức là \[x \ne 2,\,\,x \ne - 2\] và \(x \ne 1.\)
Với \[x \ne 2,\,\,x \ne - 2\] và \(x \ne 1,\) ta có:
\[A = \frac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} - 4}} \cdot \left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}} \right)\]
\( = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{1}{{x - 1}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}} \cdot \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}\)
\( = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} - 4}} - \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} - 4}}\)
\( = \frac{{{x^2} + x + 1 - \left( {{x^2} - 1} \right)}}{{{x^2} - 4}}\)
\( = \frac{{{x^2} + x + 1 - {x^2} + 1}}{{{x^2} - 4}}\)
\[ = \frac{{x + 2}}{{{x^2} - 4}} = \frac{{x + 2}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{1}{{x - 2}}.\]
Vậy với \(x \ne 2,x \ne - 2\) và \(x \ne 1,\) thì \(A = \frac{1}{{x - 2}}.\)
b) Ta có \(\left| {x + 3} \right| = 1\) suy ra \(x + 3 = 1\) hoặc \(x + 3 = - 1\).
Do đó \(x = - 2\) (không thỏa mãn điều kiện) hoặc \(x = - 4\) (thỏa mãn điều kiện)
Thay \(x = - 4\) vào biểu thức \(A = \frac{1}{{x - 2}},\) ta được:
\(A = \frac{1}{{ - 4 - 2}} = - \frac{1}{6}.\)
Vậy \(A = - \frac{1}{6}\) khi \(\left| {x + 3} \right| = 1.\)
Để sử dụng dịch vụ truyền hình cáp, người dùng phải trả một khoản phí ban đầu và phí thuê bao hàng tháng. Một phần đường thẳng \(d\) ở hình dưới đây biểu thị chi phí (đơn vị: triệu đồng) để sử dụng dịch vụ truyền hình cáp theo thời gian sử dụng của một gia đình (đơn vị: tháng).
a) Tìm hàm số bậc nhất sao cho đồ thị của hàm số là đường thẳng \(d.\)
b) Giao điểm của đường thẳng \(d\) với trục tung trong tình huống này có ý nghĩa gì? Tính tổng chi phí mà gia đình đó phải trả khi sử dụng dịch vụ truyền hình cáp với thời gian 12 tháng.
Hướng dẫn giải
a) Gọi hàm số bậc nhất cần tìm là \(y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right).\)
Theo giả thiết, ta có
• Với \(x = 0\,;\,\,y = 1\) thì \(0a + b = 1\) hay \(b = 1\).
• Với \(x = 6\,;\,\,y = 2\) thì \(6a + 1 = 2\) hay \(a = \frac{1}{6}\).
Vậy \(\left( d \right):y = \frac{1}{6}x + 1\).
b) Giao điểm của đường thẳng \(d\) với trục tung có ý nghĩa là chi phí ban đầu người dùng trả cho nhà mạng là 1 triệu đồng.
Trong thời gian 12 tháng, người dùng phải trả số tiền là: \(\frac{1}{6} \cdot 12 + 1 = 3\) (triệu đồng).
Gieo ngẫu nhiên xúc xắc một lần.
a) Gọi \(A\) là tập hợp gồm các kết quả có thể xảy ra đối với mặt xuất hiện của xúc xắc. Tính số phần tử của tập hợp \(A\).
b) Tính xác suất của mỗi biến cố “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là số không chia hết cho 3”.
Hướng dẫn giải
a) Tập hợp \(A\) gồm các kết quả có thể xảy ra đối với mặt xuất hiện của xúc xắc là:\(A = \left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,4\,;\,\,5\,;\,\,6} \right\}\).
Vậy có 6 phần tử của tập hợp \(A\).
b) Có 4 kết quả thuận lợi cho biến cố “Mặt xuất hiện của xúc xắc có số chấm là không chia hết cho 3” đó là mặt 1 chấm; mặt 2 chấm; mặt 4 chấm; mặt 5 chấm.
Vì thế xác suất của biến cố đó là: \(\frac{4}{6} = \frac{2}{3}\).
1. Theo quy định của khu phố, mỗi gia đình sử dụng bậc tam cấp di động để dắt xe vào nhà không được lấn chiếm vỉa hè quá \[85{\rm{ cm}}\] ra phía vỉa hè. Biết rằng nhà bạn Nam có nền cao \[60{\rm{ cm}}\] so với vỉa hè và có chiều dài bậc tam cấp là \[1{\rm{ m}}.\] Theo em, nhà bạn Nam có thực hiện đúng quy định của khu phố không? Vì sao?
2. Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC,\) có cạnh đáy \(AB = 5{\rm{\;cm}}\) và độ dài trung đoạn \(SI = 6{\rm{\;cm}}\) (hình vẽ bên). Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình chóp \(S.ABC.\)
(Làm tròn các kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).
1. Xét \(\Delta ABC\) vuông tại\[A\], theo định lý Pythagore, ta có:
\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)
Suy ra \[A{C^2} = B{C^2} - A{B^{2\;}} = {100^2} - {60^2} = 6400\].
Khi đó \[AC = \sqrt {6\,400} = 80\,\,{\rm{(cm)}}\]
Vì \[80\,\,{\rm{cm}} < 85\,\,{\rm{cm}}\] nên nhà bạn Nam đã thực hiện đúng quy định của khu phố.
2. Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) là:
\({S_{xq}} = \frac{1}{2} \cdot \left( {AB + BC + CA} \right) \cdot SI = \frac{1}{2} \cdot \left( {5 + 5 + 5} \right) \cdot 6 = 45{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right){\rm{.}}\)
Tam giác \(ABC\) là tam giác đều nên đường trung tuyến \(CI\) đồng thời là đường cao.
Xét \(\Delta ACI\) vuông tại \(I\) có \(A{C^2} = A{I^2} + C{I^2}\).
Suy ra \(C{I^2} = A{C^2} - A{I^2} = {5^2} - {\left( {\frac{1}{2} \cdot 5} \right)^2} = 25 - \frac{{25}}{4} = \frac{{75}}{4}\).
Do đó \(CI = \sqrt {\frac{{75}}{4}} \approx 4,33{\rm{\;(cm)}}.\)
Diện tích đáy của hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) là:
Sđáy=12⋅CI⋅AB≈12⋅4,33⋅5≈10,83 cm2.
Diện tích toàn phần của hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) là:
Stp=Sxq+Sđáy≈45+10,83=55,83 cm2.
Vậy hình chóp \(S.ABC\) có diện tích xung quanh là \(45{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}\) và diện tích toàn phần là \(55,83{\rm{\;}}\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)
Cho tam giác \[ABC\] có ba góc nhọn \[\left( {AB < AC} \right).\] Kẻ đường cao \[BE,{\rm{ }}AK\] và \[CF\] cắt nhau tại \[H.\]
a) Chứng minh: ΔABK∽ ΔCBF .
b) Chứng minh: \(AE \cdot AC = AF \cdot AB\).
c) Gọi \[N\] là giao điểm của \[AK\] và \[EF,{\rm{ }}D\] là giao điểm của đường thẳng \[BC\] và đường thẳng \[EF\] và \[O,{\rm{ }}I\] lần lượt là trung điểm của \[BC\] và \[AH.\] Chứng minh \[ON\] vuông góc \[DI.\]
Hướng dẫn giải
![Cho tam giác \[ABC\] có ba góc nhọn \[\left( {AB < AC} \right).\] Kẻ đường cao \[BE,{\rm{ }}AK\] và \[CF\] cắt nhau tại \[H.\] a) Chứng minh: tam giác ABK đồng dang tam giác CBF . (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/02/blobid8-1771990721.png)
a) Xét \[\Delta ABK\] và \[\Delta CBF\] có:
\[\widehat {ABK} = \widehat {CBF}\;\left( {\widehat B\;\,{\rm{chung}}} \right)\]
\(\widehat {AKB} = \widehat {CFB}\;\left( { = 90^\circ } \right)\)
Do đó ΔABK∽ ΔCBF (g.g) .
b) Xét \[\Delta AEB\] và \[\Delta ACF\] có:
\(\widehat {EAB} = \widehat {FAC}\;\,\left( {\widehat A\;\,{\rm{chung}}} \right)\)
\(\widehat {AEB} = \widehat {AFC}\;\left( { = 90^\circ } \right)\)
Do đó ΔAEB∽ ΔACF (g.g)
Suy ra \(\frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) hay \(AE \cdot AC = AF \cdot AB\) (đpcm)
c)
• Xét \[\Delta BFC\] vuông tại \[F\] có \[O\] là trung điểm của \[BC\] nên \(FO = \frac{{BC}}{2}\) (1)
• Xét \[\Delta BEC\] vuông tại \[E\] có \[O\] là trung điểm của \[BC\] nên \(EO = \frac{{BC}}{2}\) (2)
Từ (1) và (2) nên suy ra \[FO = EO\] (5)
• Xét \[\Delta AEH\] vuông tại \[E\] có \[I\] là trung điểm của \[AH\] nên \(EI = \frac{{AH}}{2}\) (3)
• Xét \[\Delta AFH\] vuông tại \[F\] có \[I\] là trung điểm của \[AH\] nên \(FI = \frac{{AH}}{2}\) (4)
Từ (3) và (4) nên suy ra \[FI = EI\] (6)
Từ (5) và (6) ta suy ra được \[OI\] là đường trung trực của cạnh \[EF\].
Khi đó \[OI \bot EF\] hay \[OI \bot DN\].
Do đó \[DN\] là đường cao của \[\Delta DOI\].
Xét \[\Delta DOI\] có \[DN\] và \[IK\] là đường cao và \[N\] là giao của \[DN\] và \[IK\].
Do đó \[N\] là trực tâm của tam giác \[DOI\].
Vậy \[OI \bot DI\] (đpcm).
Cho biết \(\frac{{a + b - c}}{{ab}} - \frac{{b + c - a}}{{bc}} - \frac{{c + a - b}}{{ca}} = 0.\) Chứng minh rằng trong ba phân thức ở vế trái, có ít nhất một phân thức bằng 0.
Hướng dẫn giải
\(\frac{{a + b - c}}{{ab}} - \frac{{b + c - a}}{{bc}} - \frac{{c + a - b}}{{ca}} = 0\)
\(c\left( {a + b - c} \right) - a\left( {b + c - a} \right) - b\left( {c + a - b} \right) = 0\)
\({a^2} + {b^2} - 2ab - {c^2} = 0\)
\({\left( {a - b} \right)^2} - {c^2} = 0\)
\(\left( {a - b + c} \right)\left( {a - b - c} \right) = 0\).
Vậy \(a - b + c = 0\) hoặc \(a - b - c = 0\).
