Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 4
17 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Áp dụng quy tắc đổi dấu để viết phân thức bằng phân thức sau \[\frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{ - x - 2y}}\], ta được
\[\frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{x - 2y}}\].
\[\frac{{ - x\left( {x + 1} \right)}}{{x - 2y}}\].
\[\frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{x + 2y}}\].
\[\frac{{ - x\left( {x + 1} \right)}}{{x + 2y}}\].
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Ta có \[\frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{ - x - 2y}} = \frac{{ - x\left( {x + 1} \right)}}{{ - \left( { - x - 2y} \right)}} = \frac{{ - x\left( {x + 1} \right)}}{{x + 2y}}\].
Phân thức \(\frac{{x - 1}}{{x + 1}}\) là kết quả của phép tính nào dưới đây?
\[\frac{x}{{x + 1}} - \frac{2}{{x + 1}}\].
\[\frac{{2x}}{{x + 1}} - \frac{2}{{x + 1}}\].
\[\frac{{ - x}}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 1}}\].
\[\frac{x}{{x + 1}} - \frac{{ - 1}}{{ - \left( {x + 1} \right)}}\].
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
+) Xét phương án A. \[\frac{x}{{x + 1}} - \frac{2}{{x + 1}} = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}\]
+) Xét phương án B. \[\frac{{2x}}{{x + 1}} - \frac{2}{{x + 1}} = \frac{{2x - 2}}{{x + 1}}\].
+) Xét phương án C. \[\frac{{ - x}}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{ - x - 1}}{{x + 1}} = \frac{{ - \left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}} = - 1\].
+) Xét phương án D. \[\frac{x}{{x + 1}} - \frac{{ - 1}}{{ - \left( {x + 1} \right)}} = \frac{x}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 1}} = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\].
Phương trình \[ - 5x = - 15\] có tập nghiệm là
\[S = \left\{ 1 \right\}\].
\[S = \left\{ 2 \right\}\].
\[S = \left\{ 3 \right\}\].
\[S = \left\{ 4 \right\}\].
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[ - 5x = - 15\] nên \[x = \frac{{ - 15}}{{ - 5}} = 3\].
Phương trình \[ - 5x = - 15\] có tập nghiệm là \[S = \left\{ 3 \right\}\].
Cho hai đường thẳng \(d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) và \[d':y = a'x + b'\,\,\left( {a' \ne 0} \right).\] Với điều kiện nào sau đây thì hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) cắt nhau?
\(a = a'.\)
\(a = a'\) và \(b = b'.\)
\(a \ne a'.\)
\(a = a'\) và \[b \ne b'.\]
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hai đường thẳng \(d:y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) và \[d':y = a'x + b'\,\,\left( {a' \ne 0} \right)\] cắt nhau khi và chỉ khi \(a \ne a'.\)
Đồ thị của hàm số \(y = 2x + 1\) và hàm số \(y = ax + 3\) là hai đường thẳng song song, khi đó hệ số \[a\] bằng mấy?
2.
1.
3.
0.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng có hệ số bằng nhau nên \[a = 2.\]
Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có 3 chữ số. Một kết quả thuận lợi cho biến cố “Chọn được số có tổng 3 chữ số không vượt quá 5” là
401.
204.
412.
500.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
500 là số tự nhiên có 3 chữ số có tổng 3 chữ số không vượt quá 5 nên là một kết quả thuận lợi cho biến cố.
Phúc gieo một con xúc xắc 50 lần và thống kê lại kết quả các lần gieo ở bảng sau:
Mặt | 1 chấm | 2 chấm | 3 chấm | 4 chấm | 5 chấm | 6 chấm |
Số lần xuất hiện | 8 | 9 | 9 | 5 | 6 | 13 |
Xác suất thực nghiệm của biến cố “Gieo được mặt có số chấm là số lẻ” sau 50 lần thử trên là
\[0,46\].
\[0,52\].
\[0,54\].
\[0,48\].
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Trong 50 lần thử, số lần gieo được mặt có số chấm là số lẻ là:
\[8 + 9 + 6 = 23\] (lần).
Xác suất thực nghiệm của biến cố “Gieo được mặt có số chấm là số lẻ” sau 50 lần thử trên là \[\frac{{23}}{{50}} = 0,46\].
Nếu theo tỉ số \[k = \frac{2}{3}\] thì theo tỉ số
\(\frac{2}{3}\).
\(\frac{3}{2}\).
\(\frac{4}{9}\).
\(\frac{4}{3}\).
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có theo tỉ số đồng dạng là \(k = \frac{2}{3}\).
Do đó theo tỉ số đồng dạng là \(\frac{1}{k} = \frac{3}{2}\).
Cho hình vẽ bên. Nhận xét nào sau đây là đúng?
Vì \[HD < HC < HE\] nên \[AD < AC < AE\].
Vì \[HD > HC > HE\] nên \[AD > AC > AE\].
Vì \[HD < HC < HE\] nên \[AD > AC > AE\].
Vì \[HD > HC > HE\] nên \[AD < AC < AE\].
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Áp dụng định lí Pythagore vào các tam giác vuông \[ADH,{\rm{ }}ACH,{\rm{ }}AEH\] ta được:
\[A{D^2} = A{H^2} + H{D^2}\]
\[A{C^2} = A{H^2} + H{C^2}\]
\[A{E^2} = A{H^2} + H{E^2}\]
Vì \[HD < HC < HE\] nên \[AD < AC < AE\].
Vậy nhận xét A là đúng.
Cho hình bình hành \[ABCD\], kẻ \[AH\, \bot \,CD\] tại \[H\]; \[AK\, \bot BC\] tại \[K\]. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A ΔHDA∽ ΔKAB..
B ΔADH∽ ΔABK..
C ΔKAB∽ ΔKAB..
D ΔBKA∽ ΔAHD.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Vì \[ABCD\] là hình bình hành (gt) nên \[\widehat B = \widehat D\] (hai góc đối của hình bình hành)
Xét \[\Delta ADH\] và \[\Delta ABK\] có
\[\widehat B = \widehat D\] (cmt)
\[\widehat {AHD} = \widehat {AKB} = 90^\circ \]
Do đó ΔADH∽ ΔABK (g.g)
Số mặt bên của hình chóp tam giác đều \[S.ABC\] là
3.
2.
1.
4.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Số mặt bên của hình chóp tam giác đều \[S.ABC\] là 3.
Hình chóp tứ giác đều là hình chóp có đáy là hình gì?
Hình chữ nhật.
Hình bình hành.
Hình vuông.
Hình thoi.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Hình chóp tứ giác đều là có đáy là hình vuông và chân đường cao trùng với giao điểm của hai đường chéo đáy.
PHẦN II. TỰ LUẬN
Cho biểu thức \(P = \frac{{6{x^2} + 8x + 7}}{{{x^3} - 1}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{6}{{x - 1}}\) (với \(x \ne 1\)).
a) Rút gọn biểu thức \(P\).
b) Tìm giá trị của biểu thức \(P\) tại \(x = \frac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải
a) Với \(x \ne 1\), ta có
\(P = \frac{{6{x^2} + 8x + 7}}{{{x^3} - 1}} + \frac{x}{{{x^2} + x + 1}} - \frac{6}{{x - 1}}\)
\( = \frac{{6{x^2} + 8x + 7}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} - \frac{{6\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)
\( = \frac{{6{x^2} + 8x + 7 + {x^2} - x - 6{x^2} - 6x - 6}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)
\( = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{1}{{x - 1}}.\)
Vậy \(P = \frac{1}{{x - 1}}.\)
b) Với \(x = \frac{1}{2}\) (TMĐK) ta có:
\(P = \frac{1}{{\frac{1}{2} - 1}} = \frac{1}{{\frac{{ - 1}}{2}}} = - 2.\)
Vậy với \(x = \frac{1}{2}\) thì \(P = - 2.\)
Một bể có gắn ba vòi nước: hai vòi chảy vào và một vòi tháo ra (vòi tháo ra đặt ở đáy bể). Biết rằng, nếu chảy một mình, vòi thứ nhất chảy \[8\] giờ đầy bể, vòi thứ hai chảy \[6\] giờ đầy bể và vòi thứ ba tháo \[4\] giờ thì cạn bể đầy. Bể đang cạn, người ta mở đồng thời vòi thứ nhất và vòi thứ hai trong \[2\] giờ rồi mở tiếp vòi thứ ba. Sau bao lâu kể từ lúc mở vòi thứ ba thì đầy bể?
Hướng dẫn giải
Gọi \[x\] (giờ) là thời gian từ lúc mở vòi thứ ba đến khi đầy bể \[\left( {x > 0} \right)\]
Mỗi giờ vòi thứ nhất, vòi thứ hai, vòi thứ ba chảy được lần lượt là \[\frac{1}{8}\,;\,\,\frac{1}{6}\,;\,\,\frac{1}{4}\] (bể)
Mỗi giờ cả ba vòi chảy được \[\frac{1}{8} + \frac{1}{6} - \frac{1}{4} = \frac{1}{{24}}\] (bể)
Mỗi giờ vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy được \[\frac{1}{8} + \frac{1}{6} = \frac{7}{{24}}\] (bể)
Sau \[2\] giờ, vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy được \[2 \cdot \frac{7}{{24}} = \frac{7}{{12}}\] (bể)
Sau \[x\] giờ, lượng nước trong bể là \[x \cdot \frac{1}{{24}} = \frac{x}{{24}}\] (bể)
Theo bài ra ta có phương trình \[\frac{7}{{12}} + \frac{x}{{24}} = 1\]
\[\frac{x}{{24}} = \frac{5}{{12}}\]
\[x = \frac{{24 \cdot 5}}{{12}}\]
\[x = 10\] (TMĐK)
Vậy sau \[10\] giờ kể từ lúc mở vòi thứ ba thì đầy bể.
Một hộp đựng 5 thẻ được đánh số \[3\,;\,\,5\,;\,\,7\,;\,\,11\,;\,\,13.\]
Rút ngẫu nhiên một thẻ trong hộp. Tính xác suất của mỗi biến cố sau:
a) “Số xuất hiện trên thể được rút ra là các số chia hết cho 5”.
b) “Số xuất hiện trên thể được rút ra là các số chia hết cho 3 dư 1”.
Hướng dẫn giải
a) Có 1 kết quả thuận lợi cho biến cố “Số xuất hiện trên thể được rút ra là các số chia hết cho 5” đó là 5.
Vì thế xác suất của biến cố đó là \(\frac{1}{5}\).
b) Có 2 kết quả thuận lợi cho biến cố “Số xuất hiện trên thể được rút ra là các số chia hết cho 3 dư 1” đó là \[7\,;\,\,13.\]
Vì thế xác suất của biến cố đó là \(\frac{2}{5}\).
1.Hình vẽ dưới đây mô tả một khối bê tông mác 200 dùng trong việc xây cầu. Khối bê tông đó gồm hai phần: phần dưới có dạng hình lập phương với độ dài cạnh bằng 1 m; phần trên có dạng hình chóp tứ giác đều với chiều cao bằng \[0,6\] m.
Cần phải chuẩn bị bao nhiêu tấn xi măng và bao nhiêu mét khối nước để làm khối bê tông đó? Biết rằng 1 m3 bê tông mác 200 cần khoảng \[350,55\] kg xi măng và 185 l nước.
2. Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A,\] đường cao \[AH,\] biết \[AB = 6\,\,{\rm{cm;}}\]\[AC = 8\,\,{\rm{cm}}.\]
a) Chứng minh: \[\Delta ABC\] đồng dạng \[\Delta HBA.\] Tính \[HB\,,{\rm{ }}AH.\]
b) Lấy điểm \[M\] trên cạnh \[AC\] (\[M\] khác \[A\] và \[C\]), kẻ \[CI\] vuông góc với \[BM\] tại \[I.\]Chứng minh: \[MA \cdot MC = MB \cdot MI.\]
c) Xác định vị trí điểm \[M\] thuộc cạnh \[AC\] để diện tích tam giác \[BIC\] đạt giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn giải
1.Thể tích phần dưới (có dạng hình lập phương) của khối bê tông là: \[{1^3} = 1\] (m3).
Thể tích phần trên (có dạng hình chóp tứ giác đều) của khối bê tông là:
\(\frac{1}{3} \cdot {1^2} \cdot 0,6 = 0,2\)(m3).
Thể tích của khối bê tông là: \[1 + 0,2 = 1,2\] (m3).
Đổi \[350,55\] kg \[ = 0,35055\]tấn; 185 lít \[ = 0,185\]m3.
Khối lượng xi măng cần dùng để làm khối bê tông đó là:
\[1,2 \cdot 0,35055 = 0,42066\] (tấn).
Lượng nước cần dùng để làm khối bê tông đó là:
\[1,2 \cdot 0,185 = 0,222\] (m3).
2.
a) Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác \[ABC\] vuông tại \[A,\] ta có:
\(A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\)
Suy ra \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{6^2} + {8^2}} = 10\;\,{\rm{(cm)}}\).
Xét hai tam giác \[ABC\] và \[HBA\] có
\(\widehat {AHB} = \widehat {CAB}\;\left( { = 90^\circ } \right)\)
\(\widehat {HBA} = \widehat {ABC}\,\;\left( {\widehat B\;\,{\rm{chung}}} \right)\)
Do đó ΔABC∽ΔHBA g.g .
Suy ra \(\frac{{HB}}{{AB}} = \frac{{BA}}{{BC}}\) nên \(HB = \frac{{A{B^2}}}{{BC}} = \frac{{{6^2}}}{{10}} = 3,6\,\,{\rm{(cm)}}\).
Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác \[ABH\] vuông tại \[H\] có
\(A{B^2} = B{H^2} + A{H^2}\)
Suy ra \(AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {{6^2} - {{3,6}^2}} = 4,8\;\,{\rm{(cm)}}\).
Vậy \[HB = 3,6{\rm{ cm}};{\rm{ }}AH = 4,8{\rm{ cm}}.\]
b) Xét \(\Delta MAB\) và \(\Delta MIC\) có:
\(\widehat {MAB} = \widehat {MIC}\;\left( { = 90^\circ } \right)\)
\(\widehat {AMB} = \widehat {IMC}\).
Do đó ΔMAB∽ΔMIC g.g .
Suy ra ΔABC∽ΔPMN .
Khi đó \(\frac{{MA}}{{MI}} = \frac{{MB}}{{MC}}\) hay \(MA \cdot MC = MB \cdot MI\) (đpcm).
c) Diện tích tam giác \(BIC\) là: \({S_{BIC}} = \frac{1}{2}IB \cdot IC\) (1)
Ta có: \[{\left( {IB - {\rm{ }}IC} \right)^2} \ge 0\]
\[I{B^2} + {\rm{ }}I{C^2} - 2IB \cdot IC \ge 0\]
\[I{B^2} + {\rm{ }}I{C^2} \ge 2IB \cdot IC\]
\(IB.IC \le \frac{{I{B^2} + I{C^2}}}{2}\).
Mặt khác, áp dụng định lý Pythagore vào tam giác \(BIC\) vuông tại \[I\] nên
\[B{C^2} = I{B^2} + I{C^2}\]
Thay vào (1) ta suy ra được:
\({S_{BIC}} \le \frac{1}{2} \cdot \frac{{I{B^2} + I{C^2}}}{2} = \frac{{B{C^2}}}{4} = \frac{{10}}{4} = \frac{5}{2}\;\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).
Dấu xảy ra khi và chỉ khi \[IB = IC.\]
Suy ra \(\Delta IBC\) cân tại \[I\] nên tam giác \(IBC\) vuông cân tại \[I\], suy ra \(\widehat {MBC} = 45^\circ .\)
Vậy khi điểm \[M\] thuộc \[AC\] sao cho \(\widehat {MBC} = 45^\circ \) thì diện tích tam giác \(BIC\) đạt giá trị lớn nhất.
Tìm \(x,\,\,y\) biết rằng \({x^2} + {y^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} = 4.\)
Hướng dẫn giải
Ta có \({x^2} + {y^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} = 4\)
\({x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + {y^2} + \frac{1}{{{y^2}}} - 4 = 0\)
\(\left( {{x^2} - 2 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) + \left( {{y^2} - 2 + \frac{1}{{{y^2}}}} \right) = 0\)
\({\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{1}{y}} \right)^2} = 0\)
Ta thấy\({\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^2} \ge 0\,;\,\,{\left( {y - \frac{1}{y}} \right)^2} \ge 0\).
Để \({\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{1}{y}} \right)^2} = 0\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^2} = 0\\{\left( {y - \frac{1}{y}} \right)^2} = 0\end{array} \right.\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}x - \frac{1}{x} = 0\\y - \frac{1}{y} = 0\end{array} \right.\) do đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 = 0\\{y^2} - 1 = 0\end{array} \right..\)
Ta có bảng sau:
\(x\) | 1 | 1 | \( - 1\) | \( - 1\) |
\(y\) | 1 | \( - 1\) | 1 | \( - 1\) |
Vậy các cặp \(\left( {x\,;\,\,y} \right)\) thỏa mãn biểu thức là \(\left( {1\,;\,\,1} \right)\,;\,\,\left( { - 1\,;\,\,1} \right)\,;\,\,\left( {1\,;\,\, - 1} \right)\,;\,\,\left( { - 1\,;\,\, - 1} \right)\,\).
