a) Với m = 1, ta có \(y = x + 2.\)

• Cho \(x = 0\) thì \(y = 2.\)                                       • Cho \(x =  - 1\) thì \(y = 1.\)

Đồ thị hàm số \(\left( d \right)\) là đường thẳng đi qua các điểm \[\left( {0\,;\,\,2} \right);\,\,\left( {--1\,;\,\,1} \right).\]

Ta có đồ thị hàm số sau:

b) Thay \[y = 7\] vào \[\left( {{d_1}} \right)\] có: \[7 = 3x + 1\,;\,\,x = 2.\]

Thay \[x = 2\]; \[y = 7\] vào \(\left( d \right)\) có \[7 = \left( {2x - 1} \right) \cdot 2 + m + 1\]

\[4m - 2 + m + 1 = 7\]

\[5m - 1 = 7\]

\[5m = 8\]

\[m = \frac{8}{5}.\]

Vậy \[m = \frac{8}{5}\] thì \(\left( d \right)\) cắt đường thẳng \[\left( {{d_1}} \right)\] tại điểm có tung độ bằng 7. 

Gọi \(x\) (giờ) là thời gian khối diễu binh di chuyển \(\left( {x > \frac{1}{6}} \right)\).

Thời gian khối diễu hành di chuyển là \(x - \frac{1}{6}\) (giờ).

Quãng đường khối diễu binh di chuyển là \[5x\,\,({\rm{km}})\].

Quãng đường khối diễu hành di chuyển là \(4,5\left( {x - \frac{1}{6}} \right)\,\,({\rm{km}})\).

Do tổng quãng đường di chuyển của cả hai khối là 4 km , nên ta có phương trình:

\(5x + 4,5\left( {x - \frac{1}{6}} \right) = 4\).

Giải phương trình ta được x = 0, 5 (thỏa mãn)

Thời gian khối diễu binh di chuyển là 0,5 giờ = 30 phút.

Vậy cả hai khối đến đích lúc 8 giờ 30 phút.

Số khả năng thuận lợi cho biến cố A là: \(21 - 6 = 15.\)

Xác suất của biến cố A: “Màn hình được chọn không thuộc khu trung tâm” là: \(\frac{{15}}{{21}} = \frac{5}{7}.\)

1) Vì \(DE \bot BC\,;\,\,AB \bot AC\) nên \(DE\,{\rm{//}}\,AB\).

Xét \(\Delta ABC\) có \(DE\,{\rm{//}}\,AB\), theo hệ quả định lí Thalès, ta có

\(\frac{{CE}}{{CA}} = \frac{{DE}}{{AB}}\) nên \[\frac{2}{{2 + 8,3}} = \frac{{1,6}}{{AB}}\] hay \[\frac{{1,6}}{{AB}} = \frac{2}{{10,3}}\]

Suy ra\[AB = \frac{{10,3 \cdot 1,6}}{2} = 8,24 \approx 8\,\,{\rm{(m)}}\]

Vậy chiều cao của cây khoảng \[8\,\,{\rm{m}}{\rm{.}}\]

2) a) Xét \(\Delta CHA\) và \(\Delta CFD\) có:

\(\widehat {AHC} = \widehat {DFC} = 90^\circ \,;\,\,\widehat {ACH}\) chung.

Do đó  (g.g)

b) Từ câu a:  suy ra \(\frac{{CD}}{{CA}} = \frac{{DF}}{{AH}}\).

Xét \(\Delta AED\) và \(\Delta AFD\) có

\(\widehat {AED} = \widehat {AFD} = 90^\circ \,;\,\,\widehat {EAD} = \widehat {FAD}\,;\,\,AD\) chung.

Do đó \(\Delta AED = \Delta AFD\,\,{\rm{(g}}{\rm{.c}}{\rm{.g)}}\)

Suy ra \(AE = AF\,;\,\,DE = DF\). Suy ra \(AD\) là đường trung trực của \(EF\).

Suy ra \(AD \bot EF\) Suy ra \(\frac{{CD}}{{CA}} = \frac{{DE}}{{AH}}\)

\(\widehat {EFD} = \widehat {DAF}\) (cùng phụ \(\widehat {AFK}\))

Mặt khác \(\widehat {DAF} = \widehat {DAE}\). Suy ra \(\widehat {KFD} = \widehat {EAD}\)

c) Xét \(\Delta JFD\) và \(\Delta DAC\), có: \(\widehat {JFD} = \widehat {DAC}\) (cmt); \(\widehat {JDF} = \widehat {DCA}\) (cùng phụ \(\widehat {FDC}\))

Suy ra . Suy ra \(\frac{{JF}}{{DA}} = \frac{{FD}}{{AC}}\) (1)

Xét \(\Delta JED\) và \(\Delta DAB\), có: \(\widehat {JED} = \widehat {DAB}\) (cùng phụ \(\widehat {AEK}\)); \(\widehat {JDE} = \widehat {DBA}\) (cùng phụ \(\widehat {BDE}\))

Suy ra . Suy ra \(\frac{{JE}}{{DA}} = \frac{{ED}}{{AB}}\) (2)

Mà \(ED = FD\) (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\frac{{JF}}{{JE}} = \frac{{AB}}{{AC}}\)

Mặt khác \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{DB}}{{DC}}\,\,(AD\) là phân giác \(\Delta ABC\)).

Suy ra \(\frac{{JF}}{{JE}} = \frac{{DB}}{{DC}}\), suy ra \(JF \cdot DC = JE \cdot DB\) (đpcm).

• So sánh chi phí khi \(40 \le x < 50\):

Xét hiệu \({C_A} - {C_B} = \left( {5x + 20} \right) - \left( {4,8x + 30} \right) = 0,2x - 10 < 0\,\,\left( {40 \le x < 50} \right)\).

Suy ra chi phí nhà A nhỏ hơn nếu mua từ 40 robot đến dưới 50 robot.

• So sánh chi phí khi \(x \ge 50\):

Xét hiệu: \({C_A} - {C_B} < 0\)

\(\left( {5x + 10} \right) - \left( {4,8x + 30} \right) < 0\)

\(0,2x - 20 < 0\)

\(x < 100\)

Suy ra chi phí nhà A nhỏ hơn nếu mua dưới 100 robot.

Vậy nếu nhập ít nhất 40 robot và không vượt quá 99 robot thì công ty nên chọn nhà cung cấp A. Khi công ty nhập từ 100 robot thì chọn nhà cung cấp B để tiết kiệm chi phí.