Bộ 5 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới (có tự luận) có đáp án - Đề 1

Đáp án đúng là: D

\(A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\).

Đáp án đúng là: D

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 3} \right)\).

Đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\left( {1;2} \right)\), nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 3} \right)\) làm vectơ chỉ phương nên nhận \(\overrightarrow n = \left( {3; - 2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là \(3\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x - 2y + 1 = 0\).

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng \({\Delta _1}\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2} \right)\).

Đường thẳng \({\Delta _2}\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1;2} \right)\) nên nhận \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;1} \right)\)làm vectơ pháp tuyến.

Ta có \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {1.2 + \left( { - 2} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = 0\)\( \Rightarrow \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = 90^\circ \).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) Số cách chọn ra 3 nhân viên, mỗi người từ một quốc gia khác nhau là \(C_5^1.C_7^1.C_6^1 = 210\) cách.

b) Số cách chọn ra 2 nhân viên từ Hoa Kỳ là \(C_7^2\) cách.

c) Số cách chọn 2 nhân viên từ hai quốc gia khác nhau là \(C_5^1.C_7^1 + C_5^1.C_6^1 + C_7^1.C_6^1 = 107\)cách.

Số cách chọn 2 nhân viên từ ban tổ chức là \(C_{18}^2 = 153\) cách.

Xác suất để chọn được 2 nhân viên từ hai quốc gia khác nhau là \(\frac{{107}}{{153}}\).

d) Số cách được 3 nhân viên từ cùng một quốc gia là \(C_5^3 + C_7^3 + C_6^3 = 65\) cách.

Số cách chọn 3 nhân viên từ ban tổ chức là \(C_{18}^3 = 816\).

Xác suất chọn được 3 nhân viên từ cùng một quốc gia là \(\frac{{65}}{{816}}\).

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) S, d) S

Ta có \({\left( {x + 3} \right)^5} = {x^5} + 5.{x^4}.3 + 10.{x^3}{.3^2} + 10.{x^2}{.3^3} + 5.x{.3^4} + {3^5}\)

\( = {x^5} + 15{x^4} + 90{x^3} + 270{x^2} + 405x + 243\).

a) Khai triển trên có 6 số hạng.

b) Số hạng chứa \({x^4}\) là số hạng thứ hai (theo thứ tự số mũ \(x\) giảm dần).

c) Hệ số của \({x^4}\) là 15.

d) Hệ số của \({x^3}\) là 90.

Suy ra tổng hệ số của \({x^4}\) và \({x^3}\) bằng \(90 + 15 = 105\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: −5

Ta có parabol có tọa độ đỉnh \(I\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right) = \left( {2; - 7} \right)\).

Suy ra \(x + y = - 5\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 16

Gọi \(x\left( {x \ge 0} \right)\) (nghìn đồng) là số tiền tăng lên cho mỗi kg rau.

Số tiền bán mỗi một kg rau sau khi tăng là \(x + 30\) (nghìn đồng).

Số kg rau thừa là \(20x\left( {x \le 50} \right)\).

Tổng số kg rau bán được là \(1000 - 20x\) (kg).

Tổng số tiền thu được là \(T = \left( {1000 - 20x} \right)\left( {x + 30} \right) + 20x.2 = - 20{x^2} + 440x + 30000\) (nghìn đồng).

Để số tiền không nhỏ hơn 31140 nghìn đồng thì \( - 20{x^2} + 440x + 30000 \ge 31140\)\( \Leftrightarrow - 20{x^2} + 440x - 1140 \ge 0\)\( \Leftrightarrow 3 \le x \le 19\).

Suy ra \(x \in \left[ {3;19} \right]\). Do đó \(b - a = 16\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 6

Tiêu cự của elip là \(2c = 2\sqrt {25 - 16} = 6\).

Hướng dẫn giải

Trả lời: 64

Đầu tiên chọn ngẫu nhiên 1 viên bi ở hộp thứ ba ta có 4 cách chọn.

Tiếp theo, chọn ngẫu nhiên 1 viên bi ở hộp thứ hai khác số với viên bi đã chọn ở hộp thứ ba ta có 4 cách chọn.

Cuối cùng, chọn ngẫu nhiên 1 viên bi ở hộp thứ nhất khác số với 2 viên bi đã chọn từ hộp 2 và 3 ta có 4 cách chọn.

Vậy có \(4.4.4 = 64\) cách bọn ra ba viên bi vừa khác màu vừa khác số.

Hướng dẫn giải

Vì \(M \in d\) nên \(M\left( {2t + 2;t} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {MA} = \left( {1 - 2t;4 - t} \right);\overrightarrow {MB} = \left( { - 3 - 2t;2 - t} \right);\overrightarrow {MC} = \left( { - 2t - 2;1 - t} \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} = \left( { - 4t + 1; - 2t + 3} \right)\).

Do đó \(\left| {\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right| = \sqrt {{{\left( { - 4t + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2t + 3} \right)}^2}} \)\( = \sqrt {20{t^2} - 20t + 10} \)\( = \sqrt {20{{\left( {t - \frac{1}{2}} \right)}^2} + 5} \ge \sqrt 5 \).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(T\) là \(\sqrt 5 \) khi \(t = \frac{1}{2}\).

Với \(t = \frac{1}{2}\) thì \(M\left( {3;\frac{1}{2}} \right)\).

Hướng dẫn giải

\(S = {2024^4} - {8088.2024^3} + 6.{\left( {2024.2022} \right)^2} - {8096.2022^3} + {2022^4}\)

\( = {2024^4} - {4.2024^3}.2022 + {6.2024^2}{.2022^2} - {4.2024.2022^3} + {2022^4}\)

\( = {\left( {2024 - 2022} \right)^4} = {2^4} = 16\).

Hướng dẫn giải

Mỗi học sinh có 6 cách chọn quầy phục vụ nên \(n\left( \Omega \right) = {6^7}\).

Gọi biến cố \(A\): “4 học sinh vào cùng 1 quầy và 3 học sinh còn lại vào cùng 1 quầy phục vụ khác”.

Số cách chia học sinh thành 2 nhóm: 1 nhóm có 4 học sinh và 1 nhóm có 3 học sinh là \(C_7^4.C_3^3\).

Với mỗi cách chia như vậy, số cách chia 2 nhóm trên vào 6 quầy sao cho mỗi nhóm 1 quầy khác nhau là \(C_6^1.C_5^1\).

Suy ra \(n\left( A \right) = C_7^4.C_3^3.C_6^1.C_5^1\).

Xác suất của biến cố \(A\) là \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{C_7^4.C_3^3.C_6^1.C_5^1}}{{{6^7}}} = \frac{{1050}}{{{6^7}}} = \frac{{175}}{{46656}}\).