Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 08
38 câu hỏi
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM
Cho hàm số có đồ thị như hình bên dưới.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( {0;3} \right)\];
Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( { - \infty ;1} \right)\];
Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( {0;2} \right)\];
Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( { - \infty ;3} \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Từ đồ thị hàm số ta có
Trên khoảng \[\left( { - \infty ;0} \right)\], đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải nên hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( { - \infty ;0} \right)\].
Trên khoảng \[\left( {0;2} \right)\], đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải nên hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( {0;2} \right)\].
Trên khoảng \[\left( {2; + \infty } \right)\], đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải nên hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( {2; + \infty } \right)\].
Vậy khẳng định C đúng.
Parabol \[\left( P \right):{\rm{ }}y = - 2{x^2} - 6x + 3\]có hoành độ đỉnh là
\[x = - 3\];
\[x = \frac{3}{2}\];
\[x = - \frac{3}{2}\];
\[x = 3\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Parabol \[\left( P \right):{\rm{ }}y = - 2{x^2} - 6x + 3\]có hoành độ đỉnh là \[x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 6}}{{2.( - 2)}} = - \frac{3}{2}\].
Tìm tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \({x^2} - 4x + 4 > 0\).
\(S = \left( { - \infty ;2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\);
\(S = \mathbb{R}\);
\[S = \left( {2; + \infty } \right)\];
\(S = \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( { - 2; + \infty } \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 4\) có nghiệm kép \(x = 2\) và \(a = 1 > 0\).
Ta có bảng xét dấu:
\(x\) | \( - \infty \) | \(2\) | \( + \infty \) |
\({x^2} - 4x + 4\) | \( + \) | \(0\) | \( + \) |
Tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ;2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).
Tính tổng \[S\]tất cả các nghiệm của phương trình \[\sqrt {{x^2} + 3x - 2} = \sqrt {1 + x} \]
\(0\);
\(1\);
\(2\);
\(4\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\[\sqrt {{x^2} + 3x - 2} = \sqrt {1 + x} \]
Bình phương hai vế của phương trình ta được
\({x^2} + 3x - 2 = 1 + x\)
Rút gọn ta được \({x^2} + 2x - 3 = 0\)
Từ đó tìm được \(x = 1\) hoặc \(x = - 3\)
Thay lần lượt hai giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có \(x = 1\) thoả mãn
Vậy \[S = 1\].
Trong hệ trục tọa độ \[Oxy\], vectơ nào là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 - t\\y = - 1 + 2t\end{array} \right.\]?
\[\overrightarrow n \left( { - 2; - 1} \right)\];
\[\overrightarrow n \left( {2; - 1} \right)\];
\[\overrightarrow n \left( { - 1;2} \right)\];
\[\overrightarrow n \left( {1;2} \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \[d\] là \[\overrightarrow u \left( { - 1;2} \right)\] suy ra một vectơ pháp tuyến của \[d\] là \[\overrightarrow n \left( { - 2; - 1} \right)\].
Phương trình đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {3;2} \right)\) nhận vectơ \(\overrightarrow u \left( {1; - 4} \right)\) là vectơ chỉ phương là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = - 4 + 2t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = 1 - 4t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 2 - 4t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 4t\\y = 3 + 2t\end{array} \right.\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {3;2} \right)\) nhận vectơ \(\overrightarrow u \left( {1; - 4} \right)\) là vectơ chỉ phương có dạng: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 2 - 4t\end{array} \right.\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 5t\\y = 1 + 4t\end{array} \right.\,\,(t \in \mathbb{R})\). Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) là
\(4x - 5y - 7 = 0\);
\(4x + 5y - 17 = 0\);
\(4x - 5y - 17 = 0\);
\(4x + 5y + 17 = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {3;1} \right)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u \left( { - 5;4} \right)\) suy ra đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {4;5} \right)\). Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) là: \(4\left( {x - 3} \right) + 5\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 5y - 17 = 0\)
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {3; - 1} \right),B\left( { - 6;2} \right)\) là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 3t\\y = 2t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y = - 1 - t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y = - 6 - t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y = - 1 + t\end{array} \right.\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Phương trình tham số của đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(A\) và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} \left( { - 9;3} \right) = - 3\left( {3; - 1} \right)\) có dạng: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y = - 1 - t\end{array} \right.\).
Trong mặt phẳng \[Oxy\], đường thẳng \[d:\,x - 2y - 1 = 0\] song song với đường thẳng có phương trình nào sau đây?
\[x + 2y + 1 = 0\];
\[2x - y = 0\];
\[ - x + 2y + 1 = 0\];
\[ - 2x + 4y - 1 = 0\];
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
+ Đường thẳng \(d\) và đường thẳng \(x + 2y + 1 = 0\) có hai vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {1; - 2} \right);\overrightarrow {{n_2}} \left( {1;2} \right)\) không cùng phương nên đường thẳng \(d\) và đường thẳng \(x + 2y + 1 = 0\) không song song.
+ Đường thẳng \(d\) và đường thẳng \(2x - y = 0\) có hai vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {1; - 2} \right);\overrightarrow {{n_2}} \left( {2; - 1} \right)\) không cùng phương nên đường thẳng \(d\) và đường thẳng \(2x - y = 0\) không song song.
+ Đường thẳng \(d\) và đường thẳng \( - x + 2y + 1 = 0\) có hai vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {1; - 2} \right);\overrightarrow {{n_2}} \left( { - 1;2} \right)\) cùng phương nên đường thẳng \(d\) và đường thẳng \( - x + 2y + 1 = 0\) song song hoặc trùng nhau. Mặt khác, điểm \(M\left( {3;1} \right)\) thuộc đường thẳng \(d\) và cũng thuộc đường thẳng \( - x + 2y + 1 = 0\) nên hai đường thẳng trùng nhau.
+ Đường thẳng \(d\) và đường thẳng \( - 2x + 4y - 1 = 0\) có hai vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {1; - 2} \right);\overrightarrow {{n_2}} \left( { - 2;4} \right)\) cùng phương nên đường thẳng \(d\) và đường thẳng \( - 2x + 4y - 1 = 0\) song song hoặc trùng nhau. Mặt khác, điểm \(M\left( {3;1} \right)\) thuộc đường thẳng \(d\) và nhưng không thuộc đường thẳng \( - 2x + 4y - 1 = 0\) nên hai đường thẳng song song.
Khoảng cách từ điểm \[O\left( {0;0} \right)\] tới đường thẳng \[\Delta :ax + by + c = 0\] là:
\[d\left( {O,\Delta } \right) = \frac{{\left| {0.x + 0.y + c} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {0^2}} }}\];
\[d\left( {O,\Delta } \right) = \frac{{a.0 + b.0 + c}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\];
\[d\left( {O,\Delta } \right) = \frac{{\left| c \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\];
\[d\left( {M,\Delta } \right) = \left| {a.0 + b.0 + c} \right|\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Khoảng cách từ điểm \[O\left( {0;\,\,0} \right)\] tới đường thẳng \[\Delta :ax + by + c = 0\] là: \[d\left( {O,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a.0 + b.0 + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\left| c \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\].
Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \[d:3x - y - 2 = 0\] và \(d':x - y - 9 = 0\) là
\[\left( { - \frac{7}{2}; - \frac{{25}}{2}} \right)\];
\[\left( {\frac{{11}}{4}; - \frac{{25}}{4}} \right)\];
\[\left( {\frac{7}{2};\frac{{25}}{2}} \right)\];
\[\left( {\frac{{11}}{4};\frac{{25}}{4}} \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Tọa độ giao điểm của đường thẳng \(d\) và đường thẳng \(d'\) là nghiệm của hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}3x - y - 2 = 0\\x - y - 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{7}{2}\\y = - \frac{{25}}{2}\end{array} \right.\].
Góc giữa hai đường thẳng có thể là góc
nhọn;
vuông;
A và B đúng;
A và C sai.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Góc giữa hai đường thẳng là số đo của góc không tù. Do đó A và B đều đúng.
Trong mặt phẳng \(Oxy\), đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 4x + 6y - 12 = 0\) có tâm là.
\[I\left( { - 2; - 3} \right)\];
\[I\left( {2;3} \right)\];
\[I\left( {4;6} \right)\];
\[I\left( { - 4; - 6} \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có phương trình đường tròn là:
\(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 4x + 6y - 12 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 25\).
Vậy tâm đường tròn là: \(I\left( { - 2; - 3} \right)\).
Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\), bán kính bằng \(3\)?
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\);
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 9\);
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\);
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Phương trình đường tròn tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\) và bán kính \(R = 3\) là: \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\).
Trong hệ trục tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(I\left( {1;1} \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right):3x + 4y - 2 = 0\). Đường tròn tâm \(I\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\left( d \right)\) có phương trình
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 5\);
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 25\);
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\);
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = \frac{1}{5}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Đường tròn tâm \(I\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\left( d \right)\) có bán kính
\(R = d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {3.1 + 4.1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 1\)
Vậy đường tròn có phương trình là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\).
Đường tròn tâm \(I\left( {1;\,\,4} \right)\) và đi qua điểm \(B\left( {2;\,\,6} \right)\) có phương trình là:
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 5\);
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = \sqrt 5 \);
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = \sqrt 5 \);
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 5\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Đường tròn tâm \(I\) và đi qua điểm \(B\left( {2;6} \right)\) có bán kính \(R = IB\)
Ta có \(\overrightarrow {IB} \left( {1;2} \right)\) suy ra \(R = IB = \left| {\overrightarrow {IB} } \right| = \sqrt {{1^2} + {2^2}} = \sqrt 5 \)
Vậy đường tròn có phương trình là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 5\).
Trong mặt phẳng \[Oxy\], cho \(\Delta ABC\) nội tiếp đường tròn tâm \(I\left( {2;\,\,2} \right)\), điểm \(D\) là chân đường phân giác ngoài của góc \[\widehat {BAC}\]. Đường thẳng \(AD\) cắt đường tròn ngoại tiếp \(\Delta \,ABC\) tại điểm thứ hai là \(M\) . Biết điểm \(J\left( { - 2;\,\,2} \right)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta \,ACD\) và phương trình đường thẳng \(CM\) là: \(x + y - 2 = 0.\) Tìm tổng hoành độ của các đỉnh \[A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C\] của tam giác \(ABC\).
\[\frac{9}{5}\];
\[\frac{{12}}{5}\];
\[\frac{3}{5}\];
\[\frac{6}{5}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có:
\(\left( 1 \right)\)\(\widehat {BCM} = \widehat {BAM}\)
\(\widehat {BAM} = \widehat {MAT} = \widehat {DAC}\) \(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right)\) suy ra \(\widehat {DAC} = \widehat {BCM}\), mà \(\widehat {BCM} = \widehat {CDA} + \widehat {AMC},\,\,\widehat {DAC} = \widehat {ACM} + \widehat {AMC}\) từ đó suy ra \(\widehat {CDA} = \widehat {ACM}\), do đó\(MC\) là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ACD\) có tâm \(J\) nên \(JC \bot MC\). Hay \(C\) là hình chiếu của \(J\) lên đường thẳng \(CM\).
Đường thẳng qua \(J\) và vuông góc với \(CM\) có phương trình:
\(\left( {x + 2} \right) - \left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y + 4 = 0\)
Tọa độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\x - y = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 3\end{array} \right. \Rightarrow C\left( { - 1;\,\,3} \right)\).
\(AC\) là đường thẳng qua \(C\) và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {IJ} \left( { - 4;\,\,0} \right)\) nên có phương trình: \( - 4\left( {x + 1} \right) + 0\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 1 = 0\).
Do đó tọa độ điểm \(A\) có dạng \(A\left( { - 1;\,\,a} \right)\). Ta có
\(I{A^2} = I{C^2} \Leftrightarrow 9 + {\left( {a - 2} \right)^2} = 9 + 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = 3\end{array} \right.\).
Vì \(A \ne C\) nên \(A\left( { - 1;\,\,1} \right)\).
Tọa độ điểm \(M\) có dạng \(M\left( {m;\,\,2 - m} \right)\). Ta có
\(I{M^2} = I{C^2} \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} + {m^2} = 10 \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = 3\end{array} \right.\).
Vì \(M \ne C\) nên \(M\left( {3;\,\, - 1} \right)\).
\(BC\) là đường thẳng qua \(C\) và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {MI} \left( { - 1;\,\,3} \right)\) nên có phương trình:
\( - \left( {x + 1} \right) + 3\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 3y + 10 = 0\).
Tọa độ điểm \(B\) có dạng \(B\left( {3b - 10;\,\,b} \right)\). Ta có
\(I{B^2} = I{C^2} \Leftrightarrow {\left( {3b - 12} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} = 10 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 3\\b = \frac{{23}}{5}\end{array} \right.\).
Vì \(B \ne C\) nên \(B\left( {\frac{{19}}{5};\,\,\frac{{23}}{5}} \right)\).
Vậy tổng hoành độ của các đỉnh \(A,\,\,B,\,\,C\) là \( - 1 - 1 + \frac{{19}}{5} = \frac{9}{5}\).
Phương trình chính tắc của elip là :
\[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)\];
\[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,(a > b > 0)\];
\[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = - 1\left( {a > b > 0} \right)\];
\[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = - 1\left( {a > b > 0} \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Phương trình chính tắc của Elip có dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 & ,\left( {a > b > 0} \right)\).
Trong các phương trình sau phương trình nào biểu diễn một Hypebol?
\(\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\);
\(\frac{{{x^2}}}{{ - 9}} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\);
\(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{{\left( { - y} \right)}^2}}}{9} = 1\);
\(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Phương trình chính tắc của Hypebol có dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 & ;\,\left( {a,b > 0} \right)\).
Vậy đáp án đúng là A
Parabol \(\left( P \right):{y^2} = 9x\). Đường chuẩn của Parabol \(\left( P \right)\) là
\(x = 9\);
\(x + \frac{9}{2} = 0\);
\(y + 9 = 0\);
\(x = - \frac{9}{4}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Từ phương trình \(\left( P \right):{y^2} = 9x\) \( \Rightarrow p = \frac{9}{2}\).
Do đó \(\left( P \right)\) có đường chuẩn là \(x + \frac{{\frac{9}{2}}}{2} = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{9}{4}\).
Trên bàn có \(8\) cây bút chì khác nhau, \(6\) cây bút bi khác nhau và \(10\) cuốn tập khác nhau. Số cách khác nhau để chọn được đồng thời một cây bút chì, một cây bút bi và một cuốn tập.
\[24\];
\[48\];
\[480\];
\[60\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Để chọn \(''\)một cây bút chì - một cây bút bi - một cuốn tập\(''\), ta có ba giai đoạn sau:
- Giai đoạn 1: Có \(8\) cách chọn bút chì.
- Giai đoạn 2: Có \(6\) cách chọn bút bi.
- Giai đoạn 3: Có \(10\) cách chọn cuốn tập.
Vậy theo qui tắc nhân ta có \[8.6.10 = 480\] cách.
Có bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số đều chẵn?
\[99\];
\[50\];
\[20\];
\[10\].
Đáp án đúng là: C
Gọi số cần tìm có dạng \[\overline {ab} \]
Vì \(a,b\) đều là số chẵn nên
\[a\] có \(4\) cách chọn (vì \(a\) được chọn từ một trong bốn số \(2;4;6;8\))
\[b\] có \(5\) cách chọn (vì \(b\) được chọn từ một trong năm số \(0;2;4;6;8\))
Như vậy, ta có \[4.5 = 20\] số cần tìm.
Có bao nhiêu cách sắp xếp \(5\) học sinh thành một hàng dọc?
\({5^5}\);
\(5!\);
\(4!\);
\(5\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Mỗi cách sắp xếp \(5\) học sinh thành một hàng dọc là một hoán vị của \(5\) phần tử. Vậy có \(5!\) cách xếp.
Một tổ có \(6\) học sinh nam và \(9\) học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn \(6\) học sinh đi lao động, trong đó có đúng \(2\) học sinh nam?
\(C_6^2 + C_9^4\);
\(C_6^2C_{13}^4\);
\(A_6^2A_9^4\);
\(C_6^2C_9^4\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Chọn \(2\) học sinh nam, có \(C_6^2\) cách.
Chọn \(4\) học sinh nữ, có \(C_9^4\) cách.
Vậy có \(C_6^2C_9^4\) cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Có bao nhiêu cách chọn \(5\) cầu thủ từ \(11\) trong một đội bóng để thực hiện đá \(5\) quả luân lưu \(11{\rm{ m}}\), theo thứ tự quả thứ nhất đến quả thứ năm.
\(A_{11}^5\);
\(C_{11}^5\);
\(A_{11}^2.5!\);
\(C_{10}^5\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Số cách chọn \(5\) cầu thủ từ \(11\) trong một đội bóng để thực hiện đá \(5\) quả luân lưu \(11{\rm{ m}}\), theo thứ tự quả thứ nhất đến quả thứ năm là số chỉnh hợp chập \(5\) của \(11\) phần tử nên số cách chọn là \(A_{11}^5\).
Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton \[{\left( {x - y} \right)^5}\].
\[{x^5} - 5{x^4}y + 10{x^3}{y^2} - 10{x^2}{y^3} + 5x{y^4} - {y^5}\];
\[{x^5} + 5{x^4}y + 10{x^3}{y^2} + 10{x^2}{y^3} + 5x{y^4} + {y^5}\];
\[{x^5} - 5{x^4}y - 10{x^3}{y^2} - 10{x^2}{y^3} - 5x{y^4} + {y^5}\];
\[{x^5} + 5{x^4}y - 10{x^3}{y^2} + 10{x^2}{y^3} - 5x{y^4} + {y^5}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
\[{\left( {x - y} \right)^5} = C_5^0{x^5} + C_5^1{x^4}\left( { - y} \right) + C_5^2{x^3}{\left( { - y} \right)^2} + C_5^3{x^2}{\left( { - y} \right)^3} + C_5^4x{\left( { - y} \right)^4} + C_5^5{\left( { - y} \right)^5}\]
\[ = {x^5} - 5{x^4}y + 10{x^3}{y^2} - 10{x^2}{y^3} + 5x{y^4} - {y^5}\].
Hệ số của đơn thức \({a^3}{b^2}\) trong khai triển nhị thức \({\left( {a + 2b} \right)^5}\).
\[160\];
\[80\];
\[20\];
\[40\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có
\[{\left( {a + 2b} \right)^5}\, = \,C_5^0{a^5}{\left( {2b} \right)^0} + C_5^1{a^4}\left( {2b} \right) + C_5^2{a^3}{\left( {2b} \right)^2} + C_5^3{a^2}{\left( {2b} \right)^3} + C_5^4a{\left( {2b} \right)^4} + C_5^5{\left( {2b} \right)^5}\]
\( = {a^5} + 10{a^4}b + 40{a^3}{b^2} + 80{a^2}{b^3} + 80a{b^4} + 32{b^5}\)
Suy ra hệ số của \({a^3}{b^2}\) trong khai triển trên là: \(40\).
Gieo ngẫu nhiên \[2\] đồng tiền thì không gian mẫu của phép thử có bao nhiêu phần tử?
\[4\];
\[8\];
\[12\];
\[16\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Gieo mỗi đồng xu có \(2\) trường hợp có thể sảy ra
Vậy số phần tử của không gian mẫu \(n\left( \Omega \right) = 2.2 = 4\)
Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần. Cho biến cố \(A = \left\{ {\left( {2;6} \right);\left( {6;2} \right);\left( {3;5} \right);\left( {5;3} \right);\left( {4;4} \right)} \right\}\). Phát biểu của biến cố \(A\) là
“ Tổng số chấm trong hai lần gieo là tám”.
“ Lần gieo đầu tiên được mặt hai chấm”.
“ Số chấm trong hai lần gieo là như nhau”.
“ Hai lần gieo đều xuất hiện mặt chấm chẵn”.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Xét đáp án A: Từ biến cố \(A\) ta thấy số chấm trên con xúc xắc khi giao lần thứ nhất và lần thứ hai có tổng bằng \(8\). Vậy đáp án A đúng
Xét đáp án B: Từ biến cố \(A\) ta thấy ở trường hợp thứ hai \(\left( {6;2} \right)\) thì lần đầu tiên xất hiện mặt \(6\) chấm. Vậy đáp án B sai.
Xét đáp án C: Từ biến cố \(A\) ta thấy ở trường hợp thứ nhất \(\left( {2;6} \right)\) thì lần đầu tiên xất hiện mặt \(2\) và lần thứ hai xuất hiện mặt \(6\) chấm nên kết quả hai lần gieo không như nhau. Vậy đáp án C sai.
Xét đáp án D: Từ biến cố \(A\) ta thấy ở trường hợp thứ ba \(\left( {3;5} \right)\) thì lần đầu tiên xất hiện mặt \(3\) và lần thứ hai xuất hiện mặt \(5\) đều là số lẻ. Vậy đáp án D sai.
Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần. Gọi \(A\) là biến cố: “Tổng số chấm trong hai lần gieo bằng 10”. Xác định biến cố \(A\).
\(A = \left\{ {\left( {4,6} \right),\left( {6,4} \right),\left( {3,5} \right),\left( {5,3} \right),\left( {5,5} \right)} \right\}\);
\(A = \left\{ {\left( {4,6} \right),\left( {6,4} \right),\left( {5,5} \right)} \right\}\);
\(A = \left\{ {\left( {4,6} \right),\left( {5,5} \right)} \right\}\);
\(A = \left\{ {\left( {4,6} \right),\left( {5,3} \right),\left( {5,5} \right)} \right\}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Xét đáp án A: Ở lần gieo thứ ba \(\left( {3;5} \right)\) thì lần đầu tiên xất hiện mặt \(3\) và lần thứ hai xuất hiện mặt \(5\) có tổng bằng \(8\) . Vậy đáp án A sai.
Xét đáp án B: Các trường hợp đều có tổng số chấm hai lần gieo bằng \(10\). Vậy đáp án B đúng.
Xét đáp án C: Các trường hợp đều có tổng số chấm hai lần gieo bằng \(10\) nhưng thiếu trường hợp \(\left( {6;4} \right)\). Vậy đáp án C sai.
Xét đáp án D: Ở lần giao thứ hai \(\left( {3;5} \right)\) thì lần đầu tiên xất hiện mặt \(3\) và lần thứ hai xuất hiện mặt \(5\) có tổng bằng \(8\) . Vậy đáp án D sai.
Gọi \(P\left( A \right)\) là xác suất của biến cố \(A\). Khẳng định nào sau đây sai?
\(P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right)\);
\(P\left( {\overline A } \right) > 1\);
\(0 \le P\left( {\overline A } \right) \le 1\);
\(P\left( A \right) + P\left( {\overline A } \right) = 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Với mỗi biến cố \(A\) thì \(0 \le P\left( A \right) \le 1\)
\(\overline A \) là biến cố đối của biến cố \(A\), khi đó:
\(P\left( A \right) + P\left( {\overline A } \right) = 1\) hay \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right)\).
\( \Rightarrow 0 \le P\left( {\overline A } \right) \le 1\).
Vậy đáp án B đúng.
Cho biến cố \(A\): “Trong \(3\) quả bóng lấy ra có ít nhất một quả bóng đỏ”. Khi đó biến cố \(\overline A \) là
\(\overline A \): “Trong \(3\) quả bóng lấy ra có tối đa một quả bóng đỏ”;
\(\overline A \): “Trong \(3\) quả bóng lấy ra có nhiều nhất một quả bóng đỏ”;
\(\overline A \): “Trong \(3\) quả bóng lấy ra không có bóng đỏ”;
\(\overline A \): “Trong \(3\) quả bóng lấy ra có cả ba quả bóng đỏ”;
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(\overline A \): “Trong \(3\) quả bóng lấy ra không có bóng đỏ”.
Trên giá sách có \(4\) quyển sách Toán, \(3\) quyển sách Vật lý, \(2\) quyển sách Hoá học. Lấy ngẫu nhiên \(3\) quyển sách trên kệ sách ấy. Tính xác suất để \(3\) quyển được lấy ra đều là sách Toán.
\(\frac{2}{7}\);
\(\frac{1}{{21}}\);
\(\frac{{37}}{{42}}\);
\(\frac{5}{{42}}\);
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Số phần tử của không gian mẫu là: \(n\left( \Omega \right) = C_9^3 = 84\).
Goi \(A\) là biến cố “lấy được \(3\) quyển sách Toán”
Số phần tử của biến cố \(A\) là: \(n\left( A \right) = C_4^3 = 4\)
Xác suất biến cố \(A\) là: \(P\left( A \right) = \frac{4}{{84}} = \frac{1}{{21}}\).
Gieo hai con súc sắc. Xác suất để tổng số chấm trên hai mặt bằng \[7\] là
\[\frac{1}{2}\];
\[\frac{7}{{12}}\];
\[\frac{1}{6}\];
\[\frac{1}{3}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Số phần tử không gian mẫu:\[n\left( \Omega \right) = 6.6 = 36\]
Biến cố tổng hai mặt bằng \[7\] là: \[A = \left\{ {\left( {1;6} \right);\left( {2;5} \right);\left( {3;4} \right);\left( {4;3} \right);\left( {5;2} \right);\left( {6;1} \right)} \right\}\]
nên \[n\left( A \right) = 6\].
Suy ra \[P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}\].
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có phương trình cạnh \(AB\) là \(x - y - 2 = 0,\) phương trình cạnh \(AC\) là \(x + 2y - 5 = 0\). Biết trọng tâm của tam giác là điểm \(G\left( {3;2} \right)\) và phương trình đường thẳng \(BC\) có dạng \(x + my + n = 0.\) Tìm \(m + n.\)
\(3\);
\(2\);
\(5\);
\(4\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y - 2 = 0}\\{x + 2y - 5 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.\) suy ra \(A\left( {3;1} \right)\)
Gọi \(B\left( {b;\,b - 2} \right)\) và \(C\left( {5 - 2c;\;c} \right)\), \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(b,\;c\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5 - 2c + b + 3 = 9}\\{c + b - 2 + 1 = 6}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = 5}\\{c = 2}\end{array}} \right.\).
Vậy \[B(5;3);\,C(1;2)\]\[ \Rightarrow \overrightarrow {BC} = \left( { - 4; - 1} \right)\]
Phương trình đường thẳng \(BC\) đi qua \(B\left( {1;2} \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {1; - 4} \right)\) có dạng \(BC:1\left( {x - 1} \right) - 4\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow BC:x - 4y + 7 = 0\).
Vậy ta có \(m = - 4;n = 7 \Rightarrow m + n = 3\).
II. PHẦN TỰ LUẬN
Cho hai đường thẳng \[d:2x - y + 3 = 0\] và \[\Delta :x + 3y - 2 = 0\]. Đường thẳng \(d\) cắt \(\Delta \) tại \(A\). Điểm \(M\left( {0;{\rm{ }}3} \right)\) thuộc đường thẳng \(d\). Lấy điểm \(M'\) đối xứng với điểm \(M\) qua \(\Delta \). Viết phương trình đường thẳng \(d'\) đi qua điểm \(A\) và điểm \(M'\).
Hướng dẫn giải
Giao điểm \(A\) của \(d\) và \(\Delta \) là nghiệm của hệ
\[\left\{ \begin{array}{l}2x - y + 3 = 0\\x + 3y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - y = - 3\\x + 3y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 1;{\rm{ }}1} \right)\].
Viết phương trình đường thẳng \(\Delta '\) đi qua \(M\) và vuông góc với \(\Delta \): \(\Delta ':3x - y + c = 0\)
Vì \(M \in \Delta ' \Rightarrow 3.0 - 3 + c = 0 \Rightarrow c = 3\)
Vậy phương trình đường thẳng \(\Delta ':3x - y + 3 = 0\)
Gọi \[H\] là giao điểm của \(\Delta '\) và đường thẳng \(\Delta \). Tọa độ \[H\] là nghiệm của hệ
\[\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 2 = 0\\3x - y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 2\\3x - y = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{7}{{10}}\\y = \frac{9}{{10}}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( { - \frac{7}{{10}};{\rm{ }}\frac{9}{{10}}} \right)\].
Ta có \[H\] là trung điểm của \(MM'\). Từ đó suy ra tọa độ \(M'\left( { - \frac{7}{5};{\rm{ }} - \frac{6}{5}} \right)\)
Viết phương trình đường thẳng \(d'\) chính là phương trình đường thẳng \(AM'\):
Ta có phương trình đường thẳng \(AM'\) đi qua \[A( - 1;1)\], có vectơ chỉ phương là vectơ \(\overrightarrow {AM'} = \left( {\frac{2}{5};{\rm{ }}\frac{{11}}{5}} \right)\) suy ra vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {\frac{{11}}{5};{\rm{ }} - \frac{2}{5}} \right)\)
\(d' = AM':\frac{{11}}{5}\left( {x + 1} \right) - \frac{2}{5}\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 11x - 2y + 13 = 0\)
a) Từ các số \(1,2,3,4,5,6,7,8,9\) có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có \(6\) chữ số khác nhau và tổng các chữ số ở hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng \(8\).
b) Cho \[n\] là số nguyên dương thỏa mãn \[C_n^1 + C_n^2 = 15\]. Tìm số hạng không chứa \[x\] trong khai triển \[{\left( {x + \frac{2}{{{x^4}}}} \right)^n}.\]
Hướng dẫn giải
Gọi số cần tìm có dạng \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}} \) là số thỏa yêu cầu bài toán thì \({a_3} + {a_4} + {a_5} = 8\).
Có hai bộ \(3\) số có tổng bằng \(8\) trong các số \(1;2;3;...;9\) là: \(\left\{ {1;2;5} \right\}\)và \(\left\{ {1;3;4} \right\}\)
Nếu \({a_3};{a_4};{a_5} \in \left\{ {1;2;5} \right\}\) thì \({a_3},{a_4},{a_5}\) có \(3!\) cách chọn và \({a_1},{a_2},{a_6}\) có \(A_6^3\) cách chọn suy ra có \(3!A_6^3 = 720\) số thỏa mãn yêu cầu.
Nếu \({a_3};{a_4};{a_5} \in \left\{ {1;2;5} \right\}\) tương tự ta cũng có \(720\) số thỏa yêu cầu.
Vậy có \(720 + 720 = 1400\) số thỏa yêu cầu.
b) Điều kiện: \[n \ge 2,n \in {\mathbb{N}^*}\]
\[C_n^1 + C_n^2 = 15 \Leftrightarrow n + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 15 \Leftrightarrow {n^2} + n - 30 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{n = 5}\\{n = - 6}\end{array}} \right. \Rightarrow n = 5\]
Khi đó,
\[{\left( {x + \frac{2}{{{x^4}}}} \right)^5} = C_5^0{x^5}{\left( {\frac{2}{{{x^4}}}} \right)^0} + C_5^1{x^4}\left( {\frac{2}{{{x^4}}}} \right) + C_5^2{x^3}{\left( {\frac{2}{{{x^4}}}} \right)^2} + C_5^3{x^2}{\left( {\frac{2}{{{x^4}}}} \right)^3} + C_5^4x{\left( {\frac{2}{{{x^4}}}} \right)^4} + C_5^5{x^0}{\left( {\frac{2}{{{x^4}}}} \right)^5}\]\( = {x^5} + 10 + \frac{{40}}{{{x^5}}} + \frac{{80}}{{{x^{10}}}} + \frac{{80}}{{{x^{15}}}} + \frac{{32}}{{{x^{20}}}}\)
Suy hệ số của số hạng không chứa \[x\] trong khai triển \({\left( {x + \frac{2}{{{x^4}}}} \right)^5}\) là \(10\).
Cho một đa giác đều \(n\) đỉnh (với \(n\) là số lẻ). Chọn ngẫu nhiên \(3\) đỉnh của đa giác đều đó. Gọi \(P\) là xác suất sao cho \(3\) đỉnh đó tạo thành một tam giác tù. Biết \(P = \frac{{45}}{{62}}\). Tìm \(n\).
Hướng dẫn giải
Do \(n\) là số lẻ nên ta đặt \(n = 2k + 1\left( {k \in \mathbb{N},k \ge 1} \right)\).
Số phần tử không gian mẫu là:\(n\left( \Omega \right) = C_{2k + 1}^3\).
Gọi \(A\) là biến cố: “\(3\) đỉnh được chọn tạo thành tam giác tù”
Giả sử tam giác \(ABC\) có góc \(\widehat A,\widehat B\) là góc nhọn và góc \(\widehat C\) tù
Chọn một đỉnh bất kì làm đỉnh \(A\) có \(2k + 1\) cách
Khi đó còn lại \(2k\) đỉnh, từ điểm được chọn ta chia làm \(2\), mỗi bên là \(k\) đỉnh
Để tạo thành tam giác tù thì \(2\) đỉnh còn lại phải được chọn từ \(k\) đỉnh cùng thuộc một phía so với điểm đã chọn do đó có \(C_k^2 + C_k^2\) cách chọn
Nhưng với cách tính như vậy số tam giác được lặp lại \(2\) lần nên
\(n\left( A \right) = \frac{{\left( {2k + 1} \right)\left( {C_k^2 + C_k^2} \right)}}{{2!}} = \left( {2k + 1} \right)C_k^2\)
Vậy \(P\left( A \right) = \frac{{\left( {2k + 1} \right)C_k^2}}{{C_{2k + 1}^3}} = \frac{{45}}{{62}}\).
\( \Leftrightarrow 62\frac{{k!}}{{2!\left( {k - 2} \right)!}}.\left( {2k + 1} \right) = 45\frac{{\left( {2k + 1} \right)!}}{{3!\left( {2k - 2} \right)!}}\)
\( \Leftrightarrow 62\frac{{k\left( {k - 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}{2} = 45\frac{{2k\left( {2k + 1} \right)\left( {2k - 1} \right)}}{6}\)
\( \Leftrightarrow 62{k^3} - 31{k^2} - 31k = 60{k^3} - 15k\)
\( \Leftrightarrow 2{k^3} - 31{k^2} - 16k = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 16\\k = - \frac{1}{2}\\k = 0\end{array} \right.\).
Kết hợp với điều kiện \(k = 16\) thoả mãn bài toán.
Vậy \(n = 33\).
