Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 03
38 câu hỏi
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên:
Nhận xét nào dưới đây là đúng?
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\);
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là âm vô cực;
Hàm số đạt giá trị lớn nhất là \( - 1\);
Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Dựa vào bảng biến thiên ta có các kết luận sau:
- Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) nên cũng đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\). Do đó A đúng.
- Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) nhưng không nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\). Do đó D sai.
- Hàm số không có giá trị nhỏ nhất. Do đó B sai.
- Hàm số đạt giá trị lớn nhất là \(5\) tại \(x = - 1\). Do đó C sai.
Toạ độ đỉnh của hàm số \(y = {x^2} + 2x - 1\) là \(I\left( {m;n} \right)\). Giá trị của \(m + n\) bằng:
\( - 1\);
\(1\);
\(3\);
\( - 3\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Hàm số \(y = {x^2} + 2x - 1\) là hàm số bậc hai có \(a = 1,\,\,b = 2,\,\,c = - 1\). Khi đó ta có:
Toạ độ đỉnh \(I\left( {m;n} \right)\) với \(m = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{2}{{2.1}} = - 1;n = {\left( { - 1} \right)^2} + 2.\left( { - 1} \right) - 1 = - 2\).
Suy ra \(m + n = - 3\).
Cho hàm số bậc hai \(y = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\) có đồ thị như hình vẽ:
Kết luận nào dưới đây là đúng?
\(a > 0,\,\,b < 0,\,\,c > 0\);
\(a < 0,\,\,b > 0,\,\,c > 0\);
\(a < 0,\,\,b < 0,\,\,c > 0\);
\(a < 0,\,\,b > 0,\,\,c < 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Vì Parabol có bề lõm quay xuống dưới nên \(a < 0\).
Ta gọi I là đỉnh của Parabol có \({x_I} = - \frac{b}{{2a}} = - 1 < 0\) mà \(a < 0\) nên \(b < 0\).
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên \(c > 0\).
Vậy \(a < 0,\,\,b < 0,\,\,c > 0\).
Cho tam thức \(f\left( x \right) = {x^2} - 8{\rm{x}} + 16\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
phương trình \(f\left( x \right) = 0\) vô nghiệm;
\(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\);
\(f\left( x \right) \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\);
\(f\left( x \right) < 0\) khi \(x < 4\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có \(f\left( x \right) = {x^2} - 8{\rm{x}} + 16\) có \(a = 1 > 0\) và \(\Delta = {\left( { - 8} \right)^2} - 4.1.16 = 0\) nên \(f\left( x \right)\) có nghiệm kép \(x = 4\) và \(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \ne 4\).
Suy ra \(f\left( x \right) \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( x \right) = {x^2} - mx + 4m\) luôn dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\) là
\(0 < m < 16\);
\( - 4 < m < 4\);
\(0 < m < 4\);
\(0 \le m \le 16\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(f\left( x \right) = {x^2} - mx + 4m\) có \(a = 1 > 0\) nên để \(f\left( x \right)\) luôn dương với mọi \(x \in \mathbb{R}\) thì\(\Delta < 0 \Leftrightarrow {m^2} - 16m < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 16\).
Cho phương trình\(\sqrt {x - 1} = 5 - m\). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để phương trình có nghiệm?
\(3\);
\(4\);
\(5\);
\(6\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Điều kiện \(x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\)
Để phương trình có nghiệm thì \(5 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 5\)
Khi đó \(\sqrt {x - 1} = 5 - m \Leftrightarrow x - 1 = {\left( {5 - m} \right)^2}\)suy ra phương trình có nghiệm là \(x = {(5 - m)^2} + 1 \ge 1\) với mọi \(m\).
Vậy các giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để phương trình có nghiệm là: \(m \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\).
Vậy có \(5\) giá trị của \(m\).
Cho đường thẳng \[\Delta :\,\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - t\\y = - 3 + 3t\end{array} \right.\]. Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \[\Delta \] có tọa độ
\[\left( {5; - 3} \right)\];
\[\left( {6;2} \right)\];
\[\left( { - 1;3} \right)\];
\[\left( { - 5;3} \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng \[\Delta :\,\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - t\\y = - 3 + 3t\end{array} \right.\] có một vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow u = \left( { - 1;3} \right)\] suy ra có một vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow n = \left( {3;1} \right)\]. Do đó đường thẳng \[\Delta \] cũng có một vectơ pháp tuyến có tọa độ \[\left( {6;2} \right) = 2\left( {3;1} \right)\].
Cho đường thẳng \(d\) có phương trình tham số \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y = - 9 - 2t\end{array} \right.\). Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) là
\(2x + y - 1 = 0\);
\( - 2x + y - 1 = 0\);
\(x + 2y + 1 = 0\);
\(2x + 3y - 1 = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {5; - 9} \right)\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u \left( {1; - 2} \right)\) suy ra đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {2;1} \right)\). Do đó phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) là: \(d:\,2\left( {x - 5} \right) + 1\left( {y + 9} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 1 = 0\).
Khoảng cách từ điểm \(A\left( {1;1} \right)\) đến đường thẳng \(5x - 12y - 6 = 0\) là
\(13\);
\( - 13\);
\( - 1\);
\(1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Khoảng cách từ điểm \(A\left( {1;1} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :5x - 12y - 6 = 0\) là
\(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {5.1 - 12.1 - 6} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} }} = 1\).
Góc giữa hai đường thẳng \[{\Delta _1}:\,x - 2y + 15 = 0\] và \[{\Delta _2}:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 4 + 2t\end{array} \right.\,\,\left( {\,t \in \mathbb{R}\,} \right)\] bằng
\(5^\circ \);
\(60^\circ \);
\(0^\circ \);
\(90^\circ \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Đường thẳng \[{\Delta _1}\]có một vectơ pháp tuyến là là \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {{\mkern 1mu} 1; - 2{\mkern 1mu} } \right)\).
Đường thẳng \[{\Delta _2}\]có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u \left( { - 1;2} \right)\) suy ra \({\Delta _2}\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} \left( {2;1} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 1.2 + \left( { - 2} \right).1 = 0\) suy ra \({\Delta _1} \bot {\Delta _2}\).
Vậy góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) bằng \(90^\circ \).
Với giá trị nào của \[m\] thì hai đường thẳng\[{d_1}:\left( {2m - 1} \right)x + {m^2}y + 10 = 0\] và \[{d_2}:3x + 4y + 10 = 0\] trùng nhau?
\(m \pm 2\);
\[m = \pm 1\];
\[m = 2\];
\(m = - 2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có đường thẳng \({d_1}\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {2m - 1;{m^2}} \right)\).
Đườn thẳng \({d_2}\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {3;4} \right)\).
Để hai đường thẳng trùng nhau thì \(\frac{{2m - 1}}{3} = \frac{{{m^2}}}{4} = \frac{{10}}{{10}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m - 1 = 3\\{m^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2\).
Tất cả các giá trị của tham số \(m\) để khoảng cách từ điểm \(A\left( { - 1;2} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :mx + y - m + 4 = 0\) bằng \(2\sqrt 5 \) là
\(\left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\);
\(\left[ \begin{array}{l}m = - 2\\m = \frac{1}{2}\end{array} \right.\);
\(m = - \frac{1}{2}\);
\(m = \frac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có khoảng cách từ \(A\) đến đường thẳng \(\Delta \) là\[{d_{\left( {A,\Delta } \right)}} = \frac{{\left| { - m + 2 - m + 4} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = 2\sqrt 5 \Leftrightarrow \left| {m - 3} \right| = \sqrt 5 .\sqrt {{m^2} + 1} \Leftrightarrow 4{m^2} + 6m - 4 = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 2\\m = \frac{1}{2}\end{array} \right.\].
Cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\). Tọa độ tâm \(I\) và bán kính của đường tròn là
Tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\) bán kính \(R = 3\);
Tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\) bán kính \(R = 9\);
Tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\) bán kính \(R = 3\);
Tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\) bán kính \(R = 9\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có phương trình đường tròn tâm \(I\left( {a;b} \right)\) có bán kính \(R\) có dạng:
\({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\).
Vậy phương trình đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9\) có tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\) bán kính \(R = 3\).
Phương trình đường tròn có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và bán kính \(R = 5\) là
\({x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0\);
\({x^2} + {y^2} + 2x + 4y + 20 = 0\);
\({x^2} + {y^2} + 2x + 4y - 20 = 0\);
\({x^2} + {y^2} - 2x - 4y + 20 = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Phương trình đường tròn có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và bán kính \(R = 5\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {5^2}\)
\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + {y^2} - 4y + 4 = 25 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0\).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), tọa độ tâm \(I\) của đường tròn đi qua ba điểm \(A\left( {0;4} \right)\), \(B\left( {2;4} \right)\), \(C\left( {2;0} \right)\) là
\(I\left( {1;1} \right)\);
\(I\left( {0;0} \right)\);
\(I\left( {1;2} \right)\);
\(I\left( {1;0} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Giả sử phương trình đường tròn đi qua ba điểm \(A,B,C\) có dạng \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0\)
Vì ba điểm \(A\left( {0;4} \right)\), \(B\left( {2;4} \right)\), \(C\left( {2;0} \right)\) thuộc đường tròn nên ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}8b + c = - 16\\4a + 8b + c = - 20\\4a + c = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = - 2\\c = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x - 4y = 0\).
Vậy \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;2} \right)\).
Cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4 = 0\) và điểm \(A\left( { - 1;2} \right)\). Đường thẳng nào trong các đường thẳng dưới đây đi qua \(A\) và là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\)?
\(4x - 3y + 10 = 0\);
\(6x + y + 4 = 0\);
\(3x + 4y + 10 = 0\);
\(3x - 4y + 11 = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm là gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) và có bán kính \(R = 2\).
Họ đường thẳng \(\Delta \) qua\(A\left( { - 1;2} \right)\) là \(a\left( {x + 1} \right) + b\left( {y - 2} \right) = 0\), với \({a^2} + {b^2} \ne 0\).
Vì \(\Delta \) là tiếp tuyến của đường tròn nên: \({d_{\left( {O;\Delta } \right)}} = R\) hay \(\frac{{\left| {a - 2b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 2\)\( \Leftrightarrow {\left( {a - 2b} \right)^2} = 4\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\)\( \Leftrightarrow 3{a^2} + 4ab = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\3a = - 4b\end{array} \right.\).
Với \(a = 0\), chọn \(b = 1\) ta có \({\Delta _1}:y - 2 = 0\).
Với \(3a = - 4b\), chọn \(a = 4\) và \(b = - 3\) ta có :
\({\Delta _2}:4\left( {x + 1} \right) - 3\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - 3y + 10 = 0\).
Trong mặt phẳng \[Oxy\], tìm tiêu cự của elip \[\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\].
\[3\];
\[6\];
\[4\];
\[5\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 25\\{b^2} = 16\end{array} \right. \Rightarrow {c^2} = 25 - 16 = 9 \Rightarrow c = 3\].
Vậy tiêu cự \[2c = 6\].
Cho Elip có phương trình \[\left( E \right):9{x^2} + 25{y^2} = 225\]. Hỏi diện tích hình chữ nhật cơ sở ngoại tiếp \[\left( E \right)\] (như hình vẽ) là
\(15\);
\(30\);
\(40\);
\[60\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Phương trình chính tắc của \[\left( E \right)\]: \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
Ta có \[\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 25\\{b^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 3\end{array} \right.\]
Độ dài trục lớn \(2a = 10\); độ dài trục bé \(2b = 6\)
Diện tích hình chữ nhật cơ sở ngoại tiếp \[\left( E \right)\] là \[S = 2a.2b = 10.6 = 60\] (đvdt).
Phương trình chính tắc của Parabol \(\left( P \right)\) biết khoảng cách từ tiêu điểm \(F\) của Parabol \(\left( P \right)\) đến đường thẳng \(d:x + y - 12 = 0\) là \(2\sqrt 2 \).
\({y^2} = 32x\) và \({y^2} = 16x\);
\({y^2} = 8x\);
\({y^2} = 16x\);
\({y^2} = 32x\) và \({y^2} = 64x\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Gọi phương trình chính tắc của \(\left( P \right):{y^2} = 2px\,\,\left( {p > 0} \right)\).
Toạ độ tiêu điểm \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right)\) .
Ta có khoảng cách từ \(F\) đến đường thẳng \(d\) bằng \(2\sqrt 2 \) nên
\({d_{\left( {F;d} \right)}} = \frac{{\left| {\frac{p}{2} - 12} \right|}}{{\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow \left| {\frac{p}{2} - 12} \right| = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{p}{2} - 12 = 4\\\frac{p}{2} - 12 = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}p = 32\\p = 16\end{array} \right.\)
Vậy phương trình chính tắc của \(\left( P \right):{y^2} = 32x\) hoặc \({y^2} = 64x\).
Một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng \(12m\), độ dài trục bé bằng \(8m\). Người ta dự định trồng hoa trong một hình chữ nhật nội tiếp của elip như hình vẽ. Hỏi diện tích trồng hoa lớn nhất có thể là?
\(\frac{{576}}{{13}}{m^2}\);
\(48\,{m^2}\);
\(62\,{m^2}\);
\(46\,{m^2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Đặt phương trình chính tắc của \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).
Ta có \(2a = 12 \Rightarrow a = 6\), \(2b = 8 \Rightarrow b = 4\). Suy ra \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).
Chọn \(C\left( {{x_C};\,{y_C}} \right)\) là đỉnh hình chữ nhật và \({x_C} > 0,{y_C} > 0\).
\( \Rightarrow \frac{{x_C^2}}{{36}} + \frac{{y_C^2}}{{16}} = 1\);
Diện tích hình chữ nhật là \(S = 4{x_C}{y_C} = 48.2.\frac{{{x_C}}}{6}.\frac{{{y_C}}}{4} \le 48\left( {\frac{{x_C^2}}{{36}} + \frac{{y_C^2}}{{16}}} \right) = 48\).
Vậy diện tích trồng hoa lớn nhất có thể là \(48{m^2}\).
Một tổ có \(5\) học sinh nữ và \(6\) học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên một học sinh của tổ đó đi trực nhật.
\[20\];
\[11\];
\[30\];
\[10\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Chọn học sinh nữ có \(5\) cách chọn.
Chọn học sinh nam có \(6\) cách chọn.
Áp dụng quy tắc cộng ta có: chọn một học sinh đi trực nhật có \(5 + 6 = 11\) cách.
Cho \[6\] chữ số \[2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7\]. Số các số tự nhiên chẵn có \[3\] chữ số lập thành từ \[6\] chữ số đó là
\[36\];
\[18\];
\[256\];
\[108\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Gọi số tự nhiên có \[3\] chữ số cần tìm là: \[\overline {abc} ,{\rm{ }}a \ne 0\], khi đó:
Chọn \[c\] có \[3\] cách (vì là số lẻ nên \(c\) có thể chọn một trong các số \(2;4;6\))
\[a\] có \[6\] cách (vì \(a\) có thể chọn một trong các số \[2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7\])
\[b\] có \[6\] cách (vì \(b\) có thể chọn một trong các số \[2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7\])
Vậy có: \[3.6.6 = 108\] số
Từ các chữ số \[0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,8\] lập được bao nhiêu số có ba chữ số đôi một khác nhau, chia hết cho \[2\] và \[3\]?
\[35\];
\[52\];
\[32\];
\[48\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Số chia hết cho \[2\] và \[3\] là số chẵn và có tổng các chữ số của nó chia hết cho \[3\].
Gọi \[\overline {{a_1}{a_2}{a_3}} \]là số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau, chia hết cho \[2\] và \[3\] được lập từ các chữ số \(0;1;2;3;4;5;8\).
Trường hợp 1: \[{a_3} = 0\]
Khi đó các chữ số \[{a_1},\,{a_2}\] được lập từ các tập \[\left\{ {1;\,2} \right\}\], \[\left\{ {1;\,5} \right\}\], \[\left\{ {1;\,8} \right\}\], \[\left\{ {2;4} \right\}\], \[\left\{ {4;5} \right\}\], \[\left\{ {4;\,8} \right\}\].
Trường hợp này có \[6.2! = 12\] số.
Trường hợp 2: \[{a_3} = 2\]
Khi đó các chữ số \[{a_1},\,{a_2}\] được lập từ các tập \[\left\{ {1;\,0} \right\}\], \[\left\{ {4;\,0} \right\}\], \[\left\{ {1;\,3} \right\}\], \[\left\{ {3;4} \right\}\], \[\left\{ {5;8} \right\}\].
Trường hợp này có \[2 + 3.2! = 8\] số.
Trường hợp 3: \[{a_3} = 4\]
Khi đó các chữ số \[{a_1},\,{a_2}\] được lập từ các tập \[\left\{ {2;\,0} \right\}\], \[\left\{ {2;\,3} \right\}\], \[\left\{ {3;\,5} \right\}\], \[\left\{ {3;8} \right\}\].
Trường hợp này có \[1 + 3.2! = 7\] số.
Trường hợp 4: \[{a_3} = 8\]
Khi đó các chữ số \[{a_1},\,{a_2}\] được lập từ các tập \[\left\{ {0;\,1} \right\}\], \[\left\{ {0;\,4} \right\}\], \[\left\{ {1;\,3} \right\}\], \[\left\{ {2;5} \right\}\], \[\left\{ {3;4} \right\}\].
Trường hợp này có \[2 + 3.2! = 8\] số.
Vậy có tất cả \[12 + 8 + 7 + 8 = 35\] số cần tìm.
Một tổ công nhân có \(12\) người. Cần chọn \(3\) người, một người làm tổ trưởng, một tổ phó và một thành viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
\(220\);
\(12!\);
\(1320\);
\(1230\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Mỗi cách chọn \(3\) người, một người làm tổ trưởng, một tổ phó và một thành viên là một chỉnh hợp chập \(3\) của \(12\) phần tử \(A_{12}^3 = 1320\).
Có bao nhiêu cách sắp xếp \(5\) học sinh thành một hàng dọc?
\({5^5}\);
\(5!\);
\(20\);
\(5\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Số cách sắp xếp \(5\) học sinh thành một hàng dọc là \(5!\).
Có \(5\) nhà toán học nam, \(3\) nhà toán học nữ và \(4\) nhà vật lý nam. Lập một đoàn công tác gồm \(3\) người cần có cả nam và nữ, có cả nhà toán học và vật lý thì có bao nhiêu cách.
\(220\);
\(90\);
\(96\);
\(60\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Chọn ra \(3\) người có cả nam và nữ, có cả nhà toán học và vật lý ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Chọn được \(1\) nhà vật lý nam, \(2\) nhà toán học nữ có \(C_4^1C_3^2 = 18\) cách chọn.
Trường hợp 2: Chọn được \(1\) nhà vật lý nam, \(1\) nhà toán học nữ và \(1\) nhà toán học nam có \(C_4^1C_3^1C_5^1 = 60\) cách chọn.
Trường hợp 3: Chọn được \(2\) nhà vật lý nam, \(1\) nhà toán học nữ có \(C_4^2C_3^1 = 18\) cách chọn.
Vậy, có \(18 + 60 + 18 = 96\) cách chọn thỏa yêu cầu bài toán.
Cho tập \(A\) gồm \(n\) điểm phân biệt trên mặt phẳng sao cho không có \(3\) điểm nào thẳng hàng. Giá trị của \(n\) sao cho số tam giác có \(3\) đỉnh lấy từ \(3\) điểm thuộc \(A\) gấp đôi số đoạn thẳng được nối từ \(2\) điểm thuộc \(A\).
\(n = 6\);
\(n = 12\);
\(n = 8\);
\(n = 15\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Số tam giác có thể tạo ra từ \(n\) điểm không có ba điểm nào thẳng hàng là: \(C_n^3\left( {n \ge 3} \right)\).
Số đoạn thẳng có thể tạo ra từ \(n\) điểm không có ba điểm nào thẳng hàng là: \(C_n^2\).
Vì số tam giác gấp đôi số đoạn thẳng được tạo ra nên ta có:
\(C_n^3 = 2C_n^2\left( {n \in \mathbb{N},n \ge 3} \right)\)
\[ \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} = 2\frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}}\]
\[ \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n - 3} \right)!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} = 2\frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}}\]
\( \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6} = 2\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\)
\( \Leftrightarrow n - 2 = 6\)
\( \Leftrightarrow n = 8\) (thỏa mãn điều kiện).
Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của \({\left( {a + b} \right)^{n - 3}}\) có \(6\) số hạng. Giá trị của \(n\) là?
\[6\];
\[7\];
\[8\];
\[9\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của \[{\left( {a + b} \right)^{n - 3}}\] có \[6\] số hạng nên ta có:
\(n - 3 = 5 \Leftrightarrow n = 8\)
Khai triển của nhị thức \[{\left( { - 1 - 3x} \right)^5}\] là
\[1 + 15x + 90{x^2} + 270{x^3} + 405{x^4} + 243{x^5}\];
\[1 - 15x + 90{x^2} - 270{x^3} + 405{x^4} - 243{x^5}\];
\[243{x^5} - 405{x^4} + 270{x^3} - 90{x^2} + 15x - 1\];
\[243{x^5} + 405{x^4} + 270{x^3} + 90{x^2} + 15x + 1\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
\[{\left( {1 - 3x} \right)^5} = C_5^0 + C_5^1{\left( { - 3x} \right)^1} + C_5^2{\left( { - 3x} \right)^2} + C_5^3{\left( { - 3x} \right)^3} + C_5^4{\left( { - 3x} \right)^4} + C_5^5{\left( { - 3x} \right)^5}\]\[ = 1 - 15x + 90{x^2} - 270{x^3} + 405{x^4} - 243{x^5}\].
Số hạng không chứa \[x\] trong khai triển nhị thức Newton của \({\left( {\frac{1}{x} + {x^3}} \right)^4}\) là
\(1\);
\(4\);
\(6\);
\(12\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có
\({\left( {\frac{1}{x} + {x^3}} \right)^4} = C_4^0{\left( {\frac{1}{x}} \right)^4}{\left( {{x^3}} \right)^0} + C_4^1{\left( {\frac{1}{x}} \right)^3}{\left( {{x^3}} \right)^1} + C_4^2{\left( {\frac{1}{x}} \right)^2}{\left( {{x^3}} \right)^2} + C_4^3{\left( {\frac{1}{x}} \right)^1}{\left( {{x^3}} \right)^3} + C_4^4{\left( {\frac{1}{x}} \right)^0}{\left( {{x^3}} \right)^4}\)\( = \frac{1}{{{x^4}}} + 4 + 6{x^4} + 4{x^8} + {x^{12}}\)
Vậy số hạng không chứa \[x\] trong khai triển \({\left( {\frac{1}{x} + {x^3}} \right)^4}\) là \[4\].
Gọi \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn \(A_n^3 + 2A_n^2 = 48\). Hệ số của \({x^3}\) trong khai triển nhị thức Niu-tơn của \({\left( {1 - 3x} \right)^n}\) thuộc khoảng nào dưới đây?
\[\left( { - \infty ; - 108} \right)\];
\[\left( { - \infty ;50} \right)\];
\[\left( {50;108} \right)\];
\[\left( {0;2} \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Điều kiện: \(n \in \mathbb{N},n \ge 3\)
\(A_n^3 + 2A_n^2 = 48 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!}} + 2\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 48\)
\( \Leftrightarrow \)\(n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) + 2.n\left( {n - 1} \right) = 48\)
\( \Leftrightarrow \)\({n^3} - {n^2} - 48 = 0 \Leftrightarrow n = 4\)
Ta có \({\left( {1 - 3x} \right)^4} = C_4^0{1^4}{\left( { - 3x} \right)^0} + C_4^1{1^3}{\left( { - 3x} \right)^1} + C_4^2{1^2}{\left( { - 3x} \right)^2} + C_4^3{1^1}{\left( { - 3x} \right)^3} + C_4^4{1^0}{\left( { - 3x} \right)^4}\)
\( = 1 - 12x + 54{x^2} - 108{x^3} + 81{x^4}\)
Vậy hệ số của \({x^3}\) trong khai triển \({\left( {1 - 3x} \right)^4}\) là \[ - 108\]
Gieo một con xúc xắc \(2\) lần. Số phần tử của không gian mẫu là?
\(6\);
\(12\);
\(18\);
\(36\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Mỗi lần gieo con xúc xắc có sáu trường hợp có thể xảy ra.
Vậy \(n\left( \Omega \right) = 6.6 = 36\).
Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất hai lần. Xác suất để được mặt số hai xuất hiện cả hai lần là
\[\frac{1}{{12}}\];
\[\frac{1}{{18}}\];
\[\frac{1}{{20}}\];
\[\frac{1}{{36}}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Số phần tử của không gian mẫu là: \(n\left( \Omega \right) = 6.6 = 36\).
Gọi \(A\) là biến cố mặt hai chấm xuất hiện cả hai lần.
Số phần tử của biến cố \(A\) là: \(n\left( A \right) = 1\)
Xác suất biến cố \(A\) là: \(P\left( A \right) = \frac{1}{{36}}\).
Rút ra một lá bài từ bộ bài \[52\] lá. Xác suất để được lá \(K\) là:
\[\frac{1}{{52}}\];
\[\frac{1}{{169}}\];
\[\frac{1}{{13}}\];
\(\frac{3}{4}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = C_{52}^1 = 52\)
Gọi \(A\) là biến cố: “Rút được lá \(K\) ”
Suy ra: số phần tử của biến cố \(A\) là: \(n\left( A \right) = C_4^1 = 4\)
Vậy \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{4}{{52}} = \frac{1}{{13}}\).
Trong một hộp có \(10\) viên bi đánh số từ \(1\) đến \(10\), lấy ngẫu nhiên ra hai bi. Tính xác suất để hai bi lấy ra có tích hai số trên chúng là một số lẻ.
\(\frac{1}{2}\);
\(\frac{4}{9}\);
\(\frac{1}{9}\);
\(\frac{2}{9}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = C_{10}^2\).
Gọi biến cố \(A\): “Hai bi lấy ra có tích hai số trên chúng là một số lẻ”.
Vì tích hai số là số lẻ nên hai số được chọn phải được đánh số lẻ nên ta chọn \(2\) trong \(5\) viên bi đánh số lẻ.
Số phần tử của biến cố \(A\) là: \(n\left( A \right) = C_5^2\).
Vậy \(P\left( A \right) = \frac{{C_5^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{2}{9}\).
PHẦN TỰ LUẬN
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \[Oxy\], cho đường thẳng \(d:3x - 4y - 1 = 0\) và điểm \(I\left( {1;\, - 2} \right)\). Gọi \(\left( C \right)\) là đường tròn có tâm \(I\) và cắt đường thẳng \(d\) tại hai điểm \(A\) và \(B\) sao cho tam giác \(IAB\) có diện tích bằng \(4\). Viết phương trình đường tròn \(\left( C \right)\).
Hướng dẫn giải
Xét tam giác \(AIB\) có \(IH\) là đường cao.
Mà \(IH = {d_{\left( {I,d} \right)}} = \frac{{\left| {3.1 - 4.\left( { - 2} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 2\).
Ta có \[{S_{\Delta IAB}} = \frac{1}{2}IH.AB \Rightarrow AB = \frac{{2{S_{\Delta IAB}}}}{{IH}} = \frac{{2.4}}{2} = 4 \Rightarrow AH = 2\].
Xét tam giác \(AIH\) vuông tại \(H\) ta có:
\(IA = \sqrt {A{H^2} + I{H^2}} = \sqrt {{2^2} + {2^2}} = 2\sqrt 2 \).
Mà \(AI = R = 2\sqrt 2 \)
Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) là: \(\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 8\).
Có bao nhiêu số tự nhiên có \(4\) chữ số mà tổng các chữ số bằng \(7\)?
Hướng dẫn giải
Gọi số tự nhiên có bốn chữ số là \(\overline {abcd} \left( {a \ne 0} \right)\). Do số cần lập có tổng bằng \(7\) nên ta có các trường hợp.
+ Trường hợp 1: \(a = 7,b = c = d = 0\) có \(1\) số
+ Trường hợp 2: Trong \(4\) chữ số có \(2\) chữ số bằng \(0\)
Chọn vị trí cho hai số \(0\) có \(C_3^2 = 3\) cách
Tổng hai chữ số còn lại bằng \(7\) ta có:
\(7 = 6 + 1 = 5 + 2 = 4 + 3\) có \(3.2 = 6\) cách chọn hai số còn lại
Trường hợp này có \(3.6 = 18\) số.
+ Trường hợp 3: Trong \(4\) chữ số có \(1\) chữ số bằng \(0\)
Chọn vị trí cho số \(0\) có \(C_3^1 = 3\) cách
Tổng ba chữ số còn lại bằng \(7\) ta có:
\(7 = 1 + 1 + 5 = 1 + 2 + 4 = 1 + 3 + 3 = 2 + 2 + 3\)
Với bộ số \(1;2;4\) có \(3! = 6\) cách chọn ba chữ số còn lại
Với ba bộ số còn lại có \(\frac{{3!}}{{2!}} = 3\) cách chọn ba chữ số còn lại
Trường hợp này có \(3.\left( {6 + 3.3} \right) = 45\) số
+ Trường hợp 4: Không có chữ số nào bằng \(0\)
Ta có \(7 = 1 + 1 + 1 + 4 = 1 + 1 + 2 + 3 = 1 + 2 + 2 + 2\)
Với bộ số \(1;1;1;4\) có \(\frac{{4!}}{{3!}} = 4\) số
Với bộ số \(1;1;2;3\) có \(\frac{{4!}}{{2!}} = 12\) số
Với bộ số \(1;2;2;2\) có \(\frac{{4!}}{{3!}} = 4\) số
Trường hợp này có \(4 + 12 + 4 = 20\) số.
Vây có \(1 + 18 + 45 + 20 = 84\) số.
Ba bạn \(A,B,C\) mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn \(\left[ {1;17} \right]\). Tính xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho \(3\)?
Hướng dẫn giải
Số phần tử của không gian mẫu \(n\left( \Omega \right) = {17^3} = 4913\).
Trong các số tự nhiên thuộc đoạn \(\left[ {1;17} \right]\) có \(5\) số chia hết cho \(3\) là \(3;6;9;12;15\), có \(6\) số chia cho \(3\) dư \(1\) là \(1;4;7;10;13;16\), có \(6\) số chia cho \(3\) dư \(2\) là \(3;5;8;11;14;17\).
Gọi \(A\) là biến cố “ba số được viết ra có tổng chia hết cho \(3\)” có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Cả ba số viết ra đều chia hết cho \(3\). Trường hợp này có: \({5^3}\) cách viết.
Trường hợp 2: Cả ba số viết ra đều chia cho \(3\) dư \(1\). Trường hợp này có: \({6^3}\) cách viết.
Trường hợp 3: Cả ba số viết ra đều chia cho \(3\) dư \(2\). Trường hợp này có: \({6^3}\) cách viết.
Trường hợp 4: Trong ba số được viết ra có \(1\) số chia hết cho \(3\) , có \(1\) số chia cho \(3\) dư \(1\), có \(1\) số chia cho \(3\) dư \(2\). Trong trường hợp này có: \(5.6.6.3!\) cách viết.
Vậy xác suất cần tìm là:
Số phần tử của biến cố \(A\) là: \({5^3} + {6^3} + {6^3} + 5.6.6.3! = 1637\).
Xác suất của biến cố \(A\) là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{1637}}{{4913}}\).
