Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 09
38 câu hỏi
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM
Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ.
Khẳng định nào sau đây sai?
Hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( { - \infty ; - 1} \right)\];
Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( {1; + \infty } \right)\];
Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( { - 1;1} \right)\];
Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( { - 1;0} \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Từ đồ thị hàm số ta thấy:
Trên khoảng \[\left( { - \infty ; - 1} \right)\] và \[\left( {0;1} \right)\] đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải nên hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( { - \infty ; - 1} \right)\] và \[\left( {0;1} \right)\]
Trên các khoảng \[\left( { - 1;0} \right)\] và \[\left( {1; + \infty } \right)\] đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải nên hàm số đồng biến trên các khoảng \[\left( { - 1;0} \right)\] và \[\left( {1; + \infty } \right)\]
Khẳng định C sai
Parabol \(y = - {x^2} + 2x + 3\) có phương trình trục đối xứng là
\(x =- 1\);
\(x = 2\);
\(x = 1\);
\(x =- 2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Parabol \(y = - {x^2} + 2x + 3\) có trục đối xứng là đường thẳng \(x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{2}{{2.\left( { - 1} \right)}} = 1\).
Tập nghiệm \(S\) của bất phương trình \({x^2} - 4 > 0\) là
\(S = \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\);
\(S = \left( { - 2;2} \right)\);
\(S = \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\);
\(S = \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Tam thức \(f\left( x \right) = {x^2} - 4\) có \(a = 1 > 0\) và có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = 2;{x_2} = - 2\)
Ta có bảng xét dấu:
\(x\) | \( - \infty \) | \( - 2\) |
| \(2\) | \( + \infty \) |
\({x^2} - 4\) | + | \(0\) | – | \(0\) | + |
Tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( { - \infty ; - 2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).
Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 4x + 3} = \sqrt {1 - x} \)
\(1\);
\(2\);
\(3\);
\(4\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Xét phương trình \(\sqrt {{x^2} - 4x + 3} = \sqrt {1 - x} \)
Bình phương hai vế của phương trình ta được:
\({x^2} - 4x + 3 = 1 - x\)
\( \Rightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0\)
\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\)
Thay lần lượt hai giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có \(x = 1\) thoả mãn
Vậy phương trình đã cho có \(1\) nghiệm.
Vectơ chỉ phương của đường thẳng \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 4t\\y = - 2 + 3t\end{array} \right.\] là:
\(\overrightarrow u = \left( { - 4;3} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( {4;3} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( {3;4} \right)\);
\(\overrightarrow u = \left( {1; - 2} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 4t\\y = - 2 + 3t\end{array} \right.\]có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - 4;3} \right)\).
Phương trình đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {1; - 3} \right)\) nhận vectơ \(\overrightarrow u \left( {2;5} \right)\) là vectơ chỉ phương là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 3 + 5t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y = - 3 + 5t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 5 - 3t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = - 3 + 5t\end{array} \right.\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua \(A\left( {1; - 3} \right)\) nhận vectơ \(\overrightarrow u \left( {2;5} \right)\) là vectơ chỉ phương có dạng: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 3 + 5t\end{array} \right.\).
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {2; - 1} \right)\) và \(B\left( {2;5} \right)\) là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = - 6t\end{array} \right.\) ;
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 5 + 6t\end{array} \right.\) ;
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 + 6t\end{array} \right.\) ;
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 1 + 6t\end{array} \right.\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Phương trình đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\left( {2; - 1} \right)\) và có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = \left( {0;6} \right)\) có dạng \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 1 + 6t\end{array} \right.\).
Cho đường thẳng \(d\) có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y =- 9 - 2t\end{array} \right.\).Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) là
\(2x + y - 1 = 0\);
\( - 2x + y - 1 = 0\);
\(x + 2y + 1 = 0\);
\(2x + 3y - 1 = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\left( {5; - 9} \right)\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u \left( {1; - 2} \right)\) vậy đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {2;1} \right)\). Phương trình tổng quát của đường thẳng \(d\) có dạng: \(2\left( {x - 5} \right) + 1\left( {y + 9} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 1 = 0\).
Kết luận nào đúng về hai đường thẳng \({d_1}:7x - 3y + 6 = 0\) và \({d_2}:2x - 5y - 4 = 0\)?
\({d_1}\) và \({d_2}\) song song với nhau;
\({d_1}\) và \({d_2}\) trùng nhau;
\({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau;
\({d_1}\) và \({d_2}\) vuông góc với nhau;
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {7; - 3} \right);\overrightarrow {{n_2}} \left( {2; - 5} \right)\) không cùng phương nên \({d_1}\) và \({d_2}\) không song song.
Xét \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 7.2 + \left( { - 3} \right).\left( { - 5} \right) = 29 \ne 0\) nên \({d_1}\) và \({d_2}\) không vuông góc với nhau. Vậy kết luận C đúng.
Cho hai đường thẳng \({d_1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) và \({d_2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\). Khi đó góc \(\alpha \) giữa hai đường thẳng được xác định thông qua công thức
\(\cos \left( \alpha \right) = \,\frac{{{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}}}{{\sqrt {a_1^2 + a_2^2} .\sqrt {b_1^2 + b_2^2} }}\);
\(\cos \left( \alpha \right)\, = \frac{{\left| {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} .\sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}\);
\(\cos \left( \alpha \right) = \,\frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}\);
\(\cos \left( \alpha \right) = \,\frac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hai đường thẳng \({d_1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) và \({d_2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {{a_1};{b_1}} \right)\) và \[\overrightarrow {{n_2}} \left( {{a_2};{b_2}} \right)\] Khi đó góc \(\alpha \) giữa hai đường thẳng được xác định thông qua công thức \(\cos \left( \alpha \right) = \,\frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}\).
Phương trình đường thẳng nào sau đây tạo với đường thẳng \(d:2x - \,y\, - 1\, = 0\) một góc \(45^\circ \)?
\(2x - y + 5 = 0\);
\(x - y - 5 = 0\);
\(x + 3y = 0\);
\(x - 3y - 2 = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
+) Đường thẳng \(d\) và đường thẳng \({d_1}:2x - y + 5 = 0\) có hai vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {2; - 1} \right);\overrightarrow {{n_1}} \left( {2; - 1} \right)\) cùng phương nên đường thẳng \(d\) và đường thẳng \(2x - y + 5 = 0\) song song hoặc trùng nhau. Suy ra góc giữa hai đường thẳng bằng \(0^\circ \). Do đó A sai.
+) Đường thẳng \(d\) và đường thẳng \({d_2}:x - y - 5 = 0\) có hai vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {2; - 1} \right);\overrightarrow {{n_2}} \left( {1; - 1} \right)\).
Ta có: \[{\rm{cos}}\left( {d;{d_2}} \right) = \left| {{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow n ;\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}\].
Suy ra góc giữa hai đường thẳng này bằng \(18,4^\circ \). Do đó B sai.
+) Đường thẳng \(d\) và đường thẳng \({d_3}:x + 3y = 0\) có hai vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {2; - 1} \right);\overrightarrow {{n_3}} \left( {1;3} \right)\)
Ta có: \[{\rm{cos}}\left( {d;{d_3}} \right) = \left| {{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow n ;\overrightarrow {{n_3}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = \frac{1}{{5\sqrt 2 }}\].
Suy ra góc giữa hai đường thẳng này bằng \(81,9^\circ \). Do đó C sai.
+ Đường thẳng \(d\) và đường thẳng \({d_4}:x - 3y - 2 = 0\) có hai vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {2; - 1} \right);\overrightarrow {{n_4}} \left( {1; - 3} \right)\).
Ta có: \[{\rm{cos}}\left( {d;{d_4}} \right) = \left| {{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow n ;\overrightarrow {{n_4}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\].
Suy ra góc giữa hai đường thẳng này bằng \(45^\circ \). Do đó D đúng.
Với giá trị nào của \(m\) thì hai đường thẳng \({d_1}:2x + y + 4 - m = 0\) và \({d_2}:\left( {m + 3} \right)x + y + 2m - 1 = 0\) song song?
\(m = 1\);
\(m = - 1\);
\(m = 2\);
\(m = 3\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
+) Với \(m = 4 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{d_1}:2x + y = 0\\{d_2}:7x + y + 7 = 0\end{array} \right.\)
Đường thẳng \({d_1}\) và đường thẳng \({d_2}\) có hai vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {2;1} \right);\overrightarrow {{n_2}} \left( {7;1} \right)\) không cùng phương nên đường thẳng \({d_1}\) và đường thẳng \({d_2}\) không song song.
Vậy \(m = 4\) không thoả mãn.
+) Với \(m\not = 4\) thì đường thẳng \({d_1}\) và đường thẳng \({d_2}\) có hai vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {2;1} \right);\overrightarrow {{n_2}} \left( {m + 3;1} \right)\)
Để đường thẳng thẳng \({d_1}\) và đường thẳng \({d_2}\) song song thì\(\frac{{m + 3}}{2} = \frac{1}{1}\not = \frac{{ - 2m - 1}}{{4 - m}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 1\\m\not = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 1\).
Trong mặt phẳng \[Oxy\], cho đường tròn \[\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9\]. Đường tròn có tâm và bán kính là
\[I\left( {2;3} \right),\,\,R = 9\];
\[I\left( {2; - 3} \right),\,\,R = 3\];
\[I\left( { - 3;2} \right),\,\,R = 3\];
\[I\left( { - 2;3} \right),\,\,R = 3\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {a;b} \right)\) có bán kính \(R\) có dạng :
\({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\)
Vậy đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {2; - 3} \right)\) và bán kính \(R = 3\).
Từ một điểm nằm ngoài đường tròn có thể vẽ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đường tròn đó?
\(0\);
\(1\);
\(2\);
vô số.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Từ một điểm nằm ngoài đường tròn có thể vẽ được \(2\) tiếp tuyến đến đường tròn đó.
Đường tròn \((C)\) có tâm \(I( - 1;3)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d:\;3x - 4y + 5 = 0\). Bán kính cửa đường tròn \((C)\) là
\(2\);
\(\sqrt 2 \);
\(4\);
\(15\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Đường tròn tâm \(I\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\left( d \right)\) có bán kính
\(R = d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {3.\left( { - 1} \right) - 4.3 + 5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 2\)
Vậy đường tròn có phương trình là: \(R = 2\).
Cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2{\rm{x}} - 4y - 4 = 0\) và điểm \(A\left( {1;5} \right)\). Đường thẳng nào trong các đường thẳng dưới đây là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\).
\(y - 5 = 0\);
\(y + 5 = 0\);
\(x + y - 5 = 0\);
\(x - y - 5 = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;2} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {IA} = \left( {0;3} \right)\).
Gọi \(d\) là tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\), khi đó \(d\) đi qua \(A\) và nhận vectơ \(\overrightarrow {IA} \) là một vectơ pháp tuyến
Vậy phương trình đường thẳng \(d\) là \(0\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow y - 5 = 0\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho điểm \(M\) nằm trên đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 8x - 6y + 16 = 0\). Độ dài nhỏ nhất của \(OM\) là
\(3\);
\(1\);
\(5\);
\(2\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 4;3} \right)\), bán kính \(R = 3\).
Ta có \(\overrightarrow {OI} = \left( { - 4;3} \right)\) suy ra phương trình đường thẳng \(OI\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 4t\\y = 3t\end{array} \right.\).
Gọi \(OI \cap \left( C \right) = \left\{ M \right\}\). Khi đó \(M\left( { - 4t;3t} \right)\).
Vì \(M \in \left( C \right)\) nên ta có: \({\left( { - 4t} \right)^2} + {\left( {3t} \right)^2} + 8.\left( { - 4t} \right) - 6.\left( {3t} \right) + 16 = 0\)
\[ \Leftrightarrow 25{t^2} - 50t + 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{8}{5}\\t = \frac{2}{5}\end{array} \right.\]
Với \(t = \frac{8}{5} \Rightarrow {M_1}\left( { - \frac{{32}}{5};\frac{{24}}{5}} \right)\).
Với \(t = \frac{2}{5} \Rightarrow {M_2}\left( { - \frac{8}{5};\frac{6}{5}} \right)\).
Ta có \(O{M_1} = \sqrt {{{\left( { - \frac{{32}}{5}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{24}}{5}} \right)}^2}} = 8,O{M_2} = \sqrt {{{\left( { - \frac{8}{5}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{6}{5}} \right)}^2}} = 2\).
Vì vậy độ dài nhỏ nhất của \(OM\) là \(O{M_{\min }} = O{M_2} = 2\).
Phương trình chính tắc của elip là
\[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)\];
\[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)\] ;
\[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = - 1\left( {a > b > 0} \right)\];
\[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = - 1\left( {a > b > 0} \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Phương trình chính tắc của Elip có dạng: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1 & ;\,\left( {a > b > 0} \right)\).
Tiêu cự của Hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) là
\(6\);
\(4\);
\(2\sqrt {13} \);
\(13\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Xét Hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) có \(a = 2,b = 3 \Rightarrow c = \sqrt {{2^2} + {3^2}} = \sqrt {13} \).
Vì vậy tiêu cự của \(\left( H \right)\) là \(2c = 2\sqrt {13} \).
Phương trình chính tắc của parabol biết rằng Parabol đi qua điểm \(A\left( {2;4} \right)\) là
\({y^2} = 4x\);
\({y^2} = 2x\);
\({y^2} = 8x\);
\({y^2} = 16x\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Phương trình chính tắc của Parabol có dạng: \({y^2} = 2px\left( {p > 0} \right)\).
Vì Parabol đi qua điểm \(A\left( {2;4} \right)\) ta có: \({4^2} = 2p.2 \Leftrightarrow p = 4\)
Vậy phương trình chính tắc là: \({y^2} = 8x\).
Một tổ có \(5\) học sinh nữ và \(6\) học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên một học sinh của tổ đó đi trực nhật?
\[20\];
\[11\];
\[30\];
\[10\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Chọn một học sinh của tổ đó đi trực nhật được chia thành hai phương án:
- Phương án 1: Chọn học sinh nữ có \(5\) cách chọn;
- Phương án 2: Chọn học sinh nam có \(6\) cách chọn;
Áp dụng quy tắc cộng ta có \(5 + 6 = 11\) cách.
Từ các chữ số \[1;{\rm{ }}5;{\rm{ }}6;{\rm{ }}7\] có thể lập được bao nhiêu chữ số tự nhiên có \[4\] chữ số?
\[324\];
\[256\];
\[248\];
\[124\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Gọi số cần tìm có dạng \[\overline {abcd} \] với \[a,b,c,d \in \left\{ {1;{\rm{ }}5;{\rm{ }}6;{\rm{ }}7} \right\}\].
Vì số cần tìm có \[4\] chữ số không nhất thiết khác nhau nên:
Chọn \[a\] có \(4\) cách chọn (vì \(a\) có thể chọn một trong các số \(1;5;6;7\))
Chọn \[b\] có \(4\) cách chọn (vì \(b\) có thể chọn một trong các số \(1;5;6;7\))
Chọn \[c\] có \(4\) cách chọn (vì \(c\) có thể chọn một trong các số \(1;5;6;7\))
Chọn \[d\] có \(4\) cách chọn (vì \(d\) có thể chọn một trong các số \(1;5;6;7\))
Như vậy, ta có \[4.4.4.4 = 256\] số cần tìm.
Cần chọn \(3\) người đi công tác từ một tổ có \(30\) người, khi đó số cách chọn là
\(A_{30}^3\);
\({3^{30}}\);
\(10\);
\(C_{30}^3\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Mỗi cách chọn \(3\) người bất kì trong \(30\) người là một tổ hợp chập \(3\) của \(30\) phần tử
Vậy có \(C_{30}^3\) cách chọn.
Một lớp có \[15\] học sinh nam và \(20\) học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn \(5\) bạn học sinh sao cho trong đó có đúng \(3\) học sinh nữ?
\(324\,\,632\);
\(119\,\,700\);
\(1\,\,245\);
\(15\,\,504\).
Hướng dẫn giải.
Đáp án đúng là: B
Số cách chọn \(3\) học sinh nữ là: \(C_{20}^3 = 1\,\,140\) cách.
Số cách chọn \(2\) bạn học sinh nam là: \(C_{15}^2 = 105\) cách.
Số cách chọn \(5\) bạn thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \(1\,\,140.105 = 119\,\,700\).
Đội văn nghệ của nhà trường gồm \(4\) học sinh lớp \(12A\), \(3\) học sinh lớp \(12B\) và \(2\) học sinh lớp \(12C\). Chọn ngẫu nhiên \(4\) học sinh từ đội văn nghệ để biễu diễn trong lễ bế giảng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn?
\(120\);
\(72\);
\(150\);
\(360\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Vì cần chọn ra \(4\) học sinh có đủ cả \(3\) lớp nên ta có các trường hợp
Trường hợp 1: Chọn \(1\) học sinh lớp \(12A\), \(1\) học sinh lớp \(12B\), \(2\) học sinh lớp \(12C\) có: \(C_4^1.C_3^1.C_2^2 = 12\).
Trường hợp 2: Chọn \(1\) học sinh lớp \(12A\), \(2\) học sinh lớp \(12B\), \(1\) học sinh lớp \(12C\) có: \(C_4^1.C_3^2.C_2^1 = 24\).
Trường hợp 3: Chọn \(2\) học sinh lớp \(12A\), \(1\) học sinh lớp \(12B\), \(1\) học sinh lớp \(12C\) có: \(C_4^2.C_3^1.C_2^1 = 36\).
Áp dụng quy tắc cộng có: \(12 + 24 + 36 = 72\) cách chọn.
Trong khai triển của nhị thức \[{\left( {a - b} \right)^5}\] có bao nhiêu số hạng âm ?
\(0\);
Tất cả các số hạng;
\[3\];
Không xác định được.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[{\left( {a - b} \right)^5} = {a^5} - 5{a^4}b + 10{a^3}{b^2} - 10{a^2}.{b^3} + 5a{b^4} - {b^5}\].
Dấu của các số hạng còn phụ thuộc vào dấu của \(a\) và \(b\) nên không xác định được.
Bình phương hệ số của số hạng không chứa \[x\] trong khai triển của nhị thức \({\left( {{x^3} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^5}\) là
\( - 10\);
\(25\);
\(100\);
\(1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có:
\({\left( {{x^3} - \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^5} = {\left( {{x^3}} \right)^5} - 5{\left( {{x^3}} \right)^4}\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right) + 10{\left( {{x^3}} \right)^3}{\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^2} - 10{\left( {{x^3}} \right)^2}{\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^3} + 5\left( {{x^3}} \right){\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^4} - {\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^5}\)\( = {x^{15}} - 5{x^{10}} + 10{x^5} - 10 + \frac{5}{{{x^5}}} - \frac{1}{{{x^{10}}}}\)
Số hạng không chứa \[x\] trong khai triển là: \(\left( { - 10} \right)\).
Bình phương hệ số của số hạng này là \(100\).
Gieo một con xúc xắc \(2\) lần. Biến cố \(A\): “Tổng số chấm trên hai mặt bằng \(2\)”. Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) là
\(\left\{ {\left( {1;\,1} \right)} \right\}\);
\(\emptyset \);
\(\left\{ {\left( {1;1} \right);\,\,\left( {2;2} \right);\,\,\left( {3;3} \right);\,\,\left( {4;4} \right);\,\,\left( {5;5} \right);\,\,\left( {6;6} \right)} \right\}\);
\(\left\{ {\left( {1;3} \right);\,\,\left( {2;4} \right);\,\,\left( {3;5} \right);\,\,\left( {4;6} \right)} \right\}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(1 + 1 = 2\).
Do đó tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) là \(\left\{ {\left( {1;\,1} \right)} \right\}\).
Gieo một đồng tiền cân đối và đồng chất hai lần. Số phần tử biến cố đối của biến cố “Mặt ngửa xuất hiện đúng một lần” là
\(2\).
\(4\).
\(5\).
\(6\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\Omega = \left\{ {SS;SN;NS;NN} \right\} \Rightarrow n\left( \Omega \right) = 4\).
Gọi \(A\) là biến cố “mặt ngửa xuất hiện đúng một lần”
Suy ra \(A = \left\{ {NS;SN} \right\} \Rightarrow n\left( A \right) = 2\)
Vậy số phần tử của biến cố \(\overline A \) là \(n\left( {\overline A } \right) = n\left( \Omega \right) - n\left( A \right) = 4 - 2 = 2\).
Gieo một đồng xu cân đối và đồng chất ba lần liên tiếp. Gọi \(A\) là biến cố “ Lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp”. Xác định biến cố \(A\).
\(A = \left\{ {SSS;SNN} \right\}\);
\(A = \left\{ {SNS;SSN;SSS} \right\}\);
\(A = \left\{ {SNN} \right\}\);
\(A = \left\{ {SNN;SNS;SSN;SSS} \right\}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Biến cố lần đầu tiên xuất hiện mặt sấp: \(A = \left\{ {SNN;SNS;SSN;SSS} \right\}\).
Gọi \(\overline A \) là biến cố đối của biến cố \(A\) và \(P\left( A \right) = \frac{4}{5}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
\(P\left( {\overline A } \right) = 0\);
\(P\left( {\overline A } \right) = 1\);
\(P\left( {\overline A } \right) = \frac{1}{5}\);
\(P\left( {\overline A } \right) = \frac{3}{5}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}\).
Trong một cuộc tổng điều tra dân số, điều tra viên chọn ngẫu nhiên một gia đình có ba người con và quan tâm tới giới tính của ba người con này. Sơ đồ cây dưới đây mô tả các phần tử của không gian mẫu:
Số phần tử của không gian mẫu là
\(2\);
\(4\);
\(8\);
\(14\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Dựa vào sơ đồ cây ta thấy số phần tử của không gian mẫu là \(8\).
Một lớp có \[20\] học sinh nam và \[18\] học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Xác suất chọn được một học sinh nữ bằng
\(\frac{1}{{38}}\);
\(\frac{{10}}{{19}}\);
\(\frac{9}{{19}}\);
\(\frac{{19}}{9}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Gọi A là biến cố: “chọn được một học sinh nữ.”
Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = C_{38}^1 = 38\).
Gọi A là biến cố: “chọn được một học sinh nữ.”
Số phần tử của biến cố \(A\) là: \(n\left( A \right) = C_{18}^1 = 18\)
Xác suất của biến cố \(A\) là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{18}}{{38}} = \frac{9}{{19}}\)
Gieo ngẫu nhiên hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Xác suất để sau hai lần gieo kết quả như nhau là:
\[\frac{5}{{36}}\];
\[\frac{1}{6}\];
\[\frac{1}{2}\];
\(1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Số phần tử của không gian mẫu:\[n\left( \Omega \right) = 6.6 = 36\]
Biến cố xuất hiện hai lần như nhau: \[A = \left\{ {\left( {1;1} \right);\left( {2;2} \right);\left( {3;3} \right);\left( {4;4} \right);\left( {5;5} \right);\left( {6;6} \right)} \right\}\]
Số phần tử của biến cố \(A\) là: \(n\left( A \right) = 6\)
Suy ra \[P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}\].
Cho hai đường thẳng\[{d_1}:x + y - 1 = 0\],\[{d_2}:x - 3y + 3 = 0\]. Phương trình đường thẳng \(d\) đối xứng với \({d_1}\) qua đường thẳng \({d_2}\) là
\(x - 7y + 1 = 0\);
\(x + 7y + 1 = 0\);
\(7x + y + 1 = 0\);
\(7x - y + 1 = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Giao điểm \(A\) của \({d_1}\) và \({d_2}\) là nghiệm của hệ
\[\left\{ \begin{array}{l}x + y - 1 = 0\\x - 3y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\\x - 3y = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {0;{\rm{ }}1} \right)\]
Lấy \(M\left( {1;{\rm{ }}0} \right) \in {d_1}\). Tìm \(M'\) đối xứng \(M\) qua \({d_2}\)
Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\) và vuông góc với \({d_2}\): \(\Delta :3x + y - 3 = 0\)
Gọi \(H\) là giao điểm của \(\Delta \) và đường thẳng \({d_2}\). Tọa độ \(H\) là nghiệm của hệ
\[\left\{ \begin{array}{l}3x + y - 3 = 0\\x - 3y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + y = 3\\x - 3y = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{5}\\y = \frac{6}{5}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{3}{5};{\rm{ }}\frac{6}{5}} \right)\]
Ta có \(H\) là trung điểm của \(MM'\). Từ đó suy ra tọa độ \(M'\left( {\frac{1}{5};{\rm{ }}\frac{{12}}{5}} \right)\)
Viết phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(2\) điểm \(A\) và \(M'\): điểm đi qua \[A(0;{\rm{ }}1)\], vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AM'} = \left( {\frac{1}{5};{\rm{ }}\frac{7}{5}} \right)\) vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {\frac{7}{5};{\rm{ }} - \frac{1}{5}} \right)\)
\(d:\frac{7}{5}\left( {x - 0} \right) - \frac{1}{5}\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 7x - y + 1 = 0\).
II. PHẦN TỰ LUẬN
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \[Oxy\], cho tam giác \[ABC\] có \[M\left( {2;0} \right)\] là trung điểm của cạnh \[AB\]. Đường trung tuyến và đường cao qua đỉnh \(A\) lần lượt có phương trình là \[7x - 2y - 3 = 0\] và \[6x - y - 4 = 0\]. Viết phương trình đường thẳng \[AC\].
Hướng dẫn giải
+) Gọi \[AH\] và \[AD\] lần lượt là các đường cao và trung tuyến kẻ từ \[A\] của tam giác \[ABC\].
+) Tọa độ \[A\] là nghiệm của hệ \[\left\{ \begin{array}{l}7x - 2y - 3 = 0\\6x - y - 4 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {1;2} \right)\].
+) \[M\] là trung điểm của \[AB\] nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 2{x_M} - {x_A} = 3\\{y_B} = 2{y_M} - {y_A} = - 2\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {3; - 2} \right)\).
+) Đường thẳng \[BC\] đi qua \(B\left( {3; - 2} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \[AH\]:\[6x - y - 4 = 0\] nên có phương trình \[1\left( {x--3} \right) + 6\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 6y + 9 = 0\].
+) \[D\] là giao điểm của \[BC\] và \[AD\] nên tọa độ \[D\] là nghiệm của hệ
\[\left\{ \begin{array}{l}7x - 2y - 3 = 0\\x + 6y + 9 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - \frac{3}{2}\end{array} \right.\,\, \Rightarrow D\left( {0;\,\, - \frac{3}{2}} \right)\]
Mà \(D\) là trung điểm của \(BC\) suy ra \[C\left( { - 3; - 1} \right)\].
+) Đường thẳng \[AC\] đi qua \[A\left( {1;2} \right)\] và có một vectơ chỉ phương là vectơ \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 4; - 3} \right)\) vậy đường thẳng \(AC\)có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AC} \left( { - 4; - 3} \right)\) suy ra đường thẳng \(AC\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {3; - 4} \right)\) phương trình đường thẳng \(AC\) là \[3\left( {x - 1} \right) - 4\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 4y + 5 = 0\].
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số tự nhiên \(k\) sao cho \[C_{14}^k + C_{14}^{k + 2} = 2C_{14}^{k + 1}\]. Tính tổng tất cả các phần tử của \(S\).
Hướng dẫn giải
a) \[C_{14}^k + C_{14}^{k + 2} = 2C_{14}^{k + 1} \Leftrightarrow \frac{{14!}}{{k!\left( {14 - k} \right)!}} + \frac{{14!}}{{\left( {k + 2} \right)!\left( {12 - k} \right)!}} = 2\frac{{14!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {13 - k} \right)!}}\]
\( \Leftrightarrow \frac{1}{{\left( {14 - k} \right)\left( {13 - k} \right)}} + \frac{1}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \frac{2}{{\left( {k + 1} \right)\left( {13 - k} \right)}}\)
\( \Leftrightarrow \left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) + \left( {14 - k} \right)\left( {13 - k} \right) = 2\left( {k + 2} \right)\left( {14 - k} \right)\)
\( \Leftrightarrow {k^2} + 3k + 2 + 182 - 27k + {k^2} = - 2{k^2} + 24k + 56\)
\( \Leftrightarrow 4{k^2} - 48k + 128 = 0\)
\( \Leftrightarrow {k^2} - 12k + 32 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 8\\k = 4\end{array} \right.\).
Tổng các phần tử của \(S\) là: \(8 + 4 = 12\).
b) Xét \(C_n^2 + \frac{{A_n^3}}{n} = 12\,\,\,\,\left( 1 \right)\)(Điều kiện : \(n \in \mathbb{N},\,\,\,n \ge 3\)).
\(C_n^2 + \frac{{A_n^3}}{n} = 12 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} + \frac{{n!}}{{n.\left( {n - 3} \right)!}} = 12\)
\( \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} + \left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) = 12\)
\( \Leftrightarrow 3{n^2} - 7n - 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 4\\n = - \frac{5}{3}\end{array} \right.\)
Do đó \(n = 4\) thoả mãn điều kiện
Với \(n = 4\) ta có
\({\left( {x - {x^2}} \right)^4} = C_4^0{x^4}{\left( { - {x^2}} \right)^0} + C_4^1{x^3}\left( { - {x^2}} \right) + C_4^2{x^2}{\left( { - {x^2}} \right)^2} + C_4^3x{\left( { - {x^2}} \right)^3} + C_4^4{x^0}{\left( { - {x^2}} \right)^4}\)
\( = {x^4} - 4{x^5} + 6{x^6} - 4{x^7} + {x^8}\).
Vậy hệ số của \({x^7}\) trong khai triển bằng \( - 4\).
Một nhóm có \(10\) học sinh gồm \(6\) nam trong đó có Quang, và \(4\) nữ trong đó có Huyền được xếp ngẫu nhiên vào \(10\) ghế trên một hàng ngang để dự lễ sơ kết năm học. Xác suất để xếp được giữa \(2\) bạn nữ gần nhau có đúng \(2\) bạn nam, đồng thời Quang không ngồi cạnh Huyền.
Hướng dẫn giải
Số phần tử của không gian mẫu \(n\left( \Omega \right) = 10!\).
Giả sử các ghế được đánh số từ \(1\) đến \(10\).
Để có cách xếp sao cho giữa \(2\) bạn nữ gần nhau có đúng \(2\) bạn nam thì các bạn nữ phải ngồi ở các ghế đánh số \(1;4;7;10\). Số cách xếp chỗ ngồi loại này là: \(6!.4!\) cách.
Ta tính số cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho Huyền và Quang ngồi cạnh nhau
Nếu Huyền ngồi ở ghế \(1\) hoặc \(10\) thì có \(1\) cách xếp chỗ ngồi cho Quang. Nếu Huyền ngồi ở ghế \(4\) hoặc \(7\) thì có \(2\) cách xếp chỗ ngồi cho Quang.
Do đó, số cách xếp chỗ ngồi cho Quang và Huyền ngồi liền nhau là \(2 + 2.2 = 6\)
Suy ra, số cách xếp chỗ ngồi cho \(10\) người sao cho Quang và Huyền ngồi liền nhau là\(6.3!.5!\) cách
Gọi \(A\) là biến cố: “ Giữa \(2\) bạn nữ gần nhau có đúng \(2\) bạn nam, đồng thời Quang không ngồi cạnh Huyền”.
Số phần tử của biến cố \(A\) là: \(n\left( A \right) = 4!.6! - 6.5!.3! = 12\,960\).
Xác suất của biến cố \(A\) là: \(P\left( A \right) = \frac{{12960}}{{10!}} = \frac{1}{{280}}\).
