Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 07
38 câu hỏi
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM
Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {a;\,\,b} \right)\) nếu
\(\forall {x_1},{x_2} \in \left( {a;\,\,b} \right),\,\,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\);
\(\forall {x_1},{x_2} \in \left( {a;\,\,b} \right),\,\,{x_1} = {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\);
\(\forall {x_1},{x_2} \in \left( {a;\,\,b} \right),\,\,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\);
\(f\left( a \right) < f\left( b \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {a;\,\,b} \right)\) nếu \(y = f\left( x \right)\)
\(\forall {x_1},{x_2} \in \left( {a;\,\,b} \right),\,\,{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\).
Hàm số bậc hai nào dưới đây có trục đối xứng \(x = 6\)?
\(y = - \frac{3}{2}{x^2} + 9x\);
\(y = - \frac{1}{2}{x^2} + 6x\);
\(y = {x^2} + 12x + 2\);
\(y = - {x^2} + 6x\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Hàm số \(y = - \frac{3}{2}{x^2} + 9x\) có trục đối xứng là: \(x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{9}{{2.\left( { - \frac{3}{2}} \right)}} = 3\).
Hàm số \(y = - \frac{1}{2}{x^2} + 6x\) có trục đối xứng là: \(x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{6}{{2.\left( { - \frac{1}{2}} \right)}} = 6\).
Hàm số \(y = {x^2} + 12x + 2\) có trục đối xứng là: \(x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{12}}{{2.1}} = - 6\).
Hàm số \(y = - {x^2} + 6x\) có trục đối xứng là: \(x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{6}{{2.\left( { - 1} \right)}} = 3\).
Cho tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = - {x^2} + 6x - 5\,\,\)có bảng xét dấu như sau
\(x\) | \( - \infty \) |
| \(1\) |
| \(5\) |
| \( + \infty \) |
\(f\left( x \right)\) |
| \( - \) | 0 | + | 0 | \( - \) |
|
Mệnh đề nào sau đây đúng ?
\(f\left( x \right) > 0,\,\,\forall \,x \in \left( { - \infty \,;\,1} \right) \cup \,\,\left( {5\,;\, + \infty } \right)\);
\(f\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( {1;\,\,5} \right)\);
\(f\left( x \right) < 0,\,\,\forall \,x \in \left( { - \infty \,;\,1} \right) \cup \,\,\left( {5\,;\, + \infty } \right)\);
\(f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Dựa vào bảng xét dấu, ta có:
\(f\left( x \right) < 0\) với \(x \in \left( { - \infty \,;\,1} \right) \cup \,\,\left( {5\,;\, + \infty } \right)\);
\(f\left( x \right) > 0\) với \(x \in \left( {1;\,\,5} \right)\).
Tổng các nghiệm của phương trình \(\sqrt {2{x^2} + 1} = \sqrt {x + 2} \) bằng
\(1\);
\( - \frac{1}{2}\);
\(2\);
\(\frac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Xét phương trình \(\sqrt {2{x^2} + 1} = \sqrt {x + 2} \) \(\left( 1 \right)\)
Bình phương hai vế của phương trình là: \(2{x^2} + 1 = x + 2\)
\( \Leftrightarrow 2{x^2} - x - 1 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\)
Thay lần lượt \(x = 1\) và \(x = - \frac{1}{2}\) vào phương trình \(\left( 1 \right)\) ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.
Vậy tổng các nghiệm của phương trình là \(\frac{1}{2}\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho phương trình đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = - 4 + 2t\\y = 5 + 3t\end{array} \right.\). Đường thẳng \(d\) đi qua điểm nào dưới đây?
\(H\left( {2;\,\,3} \right)\);
\(K\left( { - 4;\,\,5} \right)\);
\(I\left( { - 4;\,\,3} \right)\);
\(J\left( {2;\,\,5} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(K\left( { - 4;\,\,5} \right)\).
Trong hệ tọa độ \(Oxy\), đường thẳng \(d:2x - \frac{1}{2}y + 4 = 0\). Hệ số góc \(k\) của đường thẳng \(d\) là
\(k = - 1\);
\(k = 2\);
\(k = 4\);
\(k = - \frac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(2x - \frac{1}{2}y + 4 = 0 \Leftrightarrow 4x - y + 8 = 0 \Leftrightarrow y = 4x + 8\).
Vì vậy hệ số góc của đường thẳng \(d\) là \(k = 4\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), khoảng cách từ điểm \(M\left( {3;\,\, - 4} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :x - 3y - 12 = 0\) là
\(\frac{1}{{\sqrt {10} }}\);
\(\frac{{27\sqrt {10} }}{{10}}\);
\(\frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\);
\(\frac{3}{2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(\Delta \)là:
\(d\left( {M;\Delta } \right) = \frac{{\left| {3 - 3.\left( { - 4} \right) - 12} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}}\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {1;\,\, - 1} \right)\) và \(B\left( {2;\,\,3} \right)\). Đường thẳng \(AB\) có phương trình tham số là
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 1 + 4t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 1 + 2t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 3 - t\end{array} \right.\);
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 3 - 4t\end{array} \right.\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;\,\,4} \right)\)
Đường thẳng \(AB\) nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {1;\,\,4} \right)\) làm vectơ chỉ phương và đi qua điểm \(A\left( {1;\,\, - 1} \right)\) nên ta có phương trình đường thẳng \(AB\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 1 + 4t\end{array} \right.\).
Đường thẳng \({d_1}\) có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \), đường thẳng \({d_2}\)có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} \). Nếu đường thẳng \({d_1}\) vuông góc với đường thẳng \({d_2}\)thì
\(\overrightarrow {{u_1}} \) không cùng phương với \(\overrightarrow {{u_2}} \);
\(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = \overrightarrow 0 \);
\(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \)cùng phương;
\(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \)trùng nhau.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Nếu đường thẳng \({d_1}\) vuông góc với đường thẳng \({d_2}\)thì \(\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = \overrightarrow 0 \).
Cho hai đường thẳng \({d_1}:x - 4y + 1 = 0\) và \({d_2}:2x - y - 7 = 0\) cắt nhau tại điểm \(M\). Tọa độ điểm \(M\) là
\(\left( {\frac{{29}}{7};\,\frac{9}{7}} \right)\);
\(\left( { - \frac{{29}}{7}; - \,\frac{9}{7}} \right)\);
\(\left( {\frac{{27}}{7};\,\frac{5}{7}} \right)\);
\(\left( { - \frac{{27}}{7}; - \,\frac{5}{7}} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Tọa độ giao điểm của \({d_1}\) và \({d_2}\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 4y + 1 = 0\\2x - y - 7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{29}}{7}\\y = \frac{9}{7}\end{array} \right.\).
Vậy điểm \(M\) có tọa độ là \(\left( {\frac{{29}}{7};\,\frac{9}{7}} \right)\).
Góc giữa hai đường thẳng song song được quy ước bằng
\(0^\circ \);
\(180^\circ \);
\(90^\circ \);
\(1^\circ \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Góc giữa hai đường thẳng song song được quy ước bằng \(0^\circ \).
Khoảng cách từ điểm \(M\left( {2;\,\,3} \right)\) đến đường thẳng \(d:x - 2 = 0\) là
\(4\);
\(2\);
\(0\);
\(1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(M \in d\) nên khoảng cách từ điểm \(M\left( {2;\,\,3} \right)\) đến đường thẳng \(d:x - 2 = 0\) bằng \(0\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 3x + 2y - 7 = 0\). Tọa độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của \(\left( C \right)\) là
\(I\left( {\frac{3}{2}; - 1} \right)\) và \(R = \frac{{\sqrt {41} }}{2}\);
\(I\left( {3; - 1} \right)\) và \(R = \sqrt {17} \);
\(I\left( {\frac{3}{2}; - 1} \right)\) và \(R = \frac{{\sqrt {38} }}{2}\);
\(I\left( {3; - 1} \right)\) và \(R = \sqrt {13} \).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \({x^2} + {y^2} - 3x + 2y - 7 = 0\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2.\frac{3}{2}.x - 2.\left( { - 1} \right).y - 7 = 0\)
Khi đó \(a = \frac{3}{2},b = - 1,c = - 7\)
Suy ra \(I\left( {\frac{3}{2}; - 1} \right)\) và \(R = \sqrt {{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} - \left( { - 7} \right)} = \frac{{\sqrt {41} }}{2}\).
Cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 9\). Điểm nào dưới đây thuộc đường tròn \(\left( C \right)\)?
\(I\left( {4;\,\, - 1} \right)\);
\(M\left( {1;\,\, - 1} \right)\);
\(N\left( {4;\,\, - 2} \right)\);
\(O\left( {0;\,\,0} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
+) Thay \(x = 4\) và \(y = - 1\) vào phương trình \(\left( C \right)\), ta được:
\({\left( {4 - 4} \right)^2} + {\left( { - 1 + 1} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow 0 = 9\) là mệnh đề sai. Do đó \(I \notin \left( C \right)\).
+) Thay \(x = 1\) và \(y = - 1\) vào phương trình \(\left( C \right)\), ta được:
\({\left( {1 - 4} \right)^2} + {\left( { - 1 + 1} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow 9 = 9\) là mệnh đề đúng. Do đó \(M \in \left( C \right)\).
+) Thay \(x = 4\) và \(y = - 2\) vào phương trình \(\left( C \right)\), ta được:
\({\left( {4 - 4} \right)^2} + {\left( { - 2 + 1} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow 1 = 9\) là mệnh đề sai. Do đó \(N \notin \left( C \right)\).
+) Thay \(x = 0\) và \(y = 0\) vào phương trình \(\left( C \right)\), ta được:
\({\left( {0 - 4} \right)^2} + {\left( {0 + 1} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow 17 = 9\) là mệnh đề sai. Do đó \(O \notin \left( C \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho hai điểm \(A\left( {2;\,\, - 1} \right)\) và \(B\left( {0;\,\, - 3} \right)\). Phương trình đường tròn đường kính \(AB\) là
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 2\);
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 2\sqrt 2 \);
\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 2\);
\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 8\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\), khi đó \(I\) là tâm đường tròn đường kính \(AB\) và có tọa độ là \(I\left( {1;\,\, - 2} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( { - 2;\,\, - 2} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 2\sqrt 2 \).
Suy ra bán kính đường tròn cần tìm là \(R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{2\sqrt 2 }}{2} = \sqrt 2 \).
Vậy phương trình đường tròn là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 2\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 10\). Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\left( {4;\,\,4} \right)\) là
\(x - 3y + 5 = 0\);
\(x + 3y - 16 = 0\);
\(x - 3y + 16 = 0\);
\(x + 3y - 4 = 0\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {3;\,\,1} \right)\)
Khi đó \(\overrightarrow {IA} \left( {1;\,\,3} \right)\)
Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm \(A\left( {4;\,\,4} \right)\) nhận \(\overrightarrow {IA} \left( {1;\,\,3} \right)\) làm vectơ pháp tuyến là: \(x - 4 + 3\left( {y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 16 = 0\).
Cho ba điểm \(A\left( {1;\,4} \right),\,\,B\left( {3;\,\,2} \right),\,\,C\left( {5;\,\,4} \right)\). Đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) có tâm \(I\left( {a;\,\,b} \right)\). Giá trị \(a + b\) bằng
\(1\);
\(7\);
\( - 7\);
\(\frac{{19}}{3}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Gọi \(R\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
Ta có phương trình: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}\)
Vì ba điểm \(A\left( {1;\,4} \right),\,\,B\left( {3;\,\,2} \right),\,\,C\left( {5;\,\,4} \right)\) thuộc đường tròn trên nên ta có hệ phương trình:
\[\left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {4 - b} \right)^2} = {\left( {3 - a} \right)^2} + {\left( {2 - b} \right)^2}\\{\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( {4 - b} \right)^2} = {\left( {5 - a} \right)^2} + {\left( {4 - b} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a - 4b = - 4\\8a = 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 4\\a = 3\end{array} \right.\]
\( \Rightarrow a + b = 4 + 3 = 7\).
Cho Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{144}} + \frac{{{y^2}}}{{81}} = 1\). Độ dài trục lớn là
\(12\);
\(9\);
\(24\);
\(15\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\frac{{{x^2}}}{{144}} + \frac{{{y^2}}}{{81}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{{{12}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{9^2}}} = 1 \Rightarrow a = 12,\,\,b = 9\)
Vậy độ dài trục lớn là \(2a = 2.12 = 24\).
Cho Parabol \(\left( P \right)\)có phương trình đường chuẩn \(x = - 1\). Phương trình Parabol \(\left( P \right)\) là
\(y = 4{x^2}\);
\({y^2} = 2x\);
\({y^2} = x\);
\({y^2} = 4x\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Đường chuẩn là \(x = - 1\) nên \( - \frac{p}{2} = - 1 \Leftrightarrow p = 2\).
Vậy Phương trình Parabol \(\left( P \right)\) là \({y^2} = 2px = 2.2.x = 4x\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho Elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\), tiêu điểm \({F_1},{F_2}\). Gọi \(A\) và \(B\) là hai điểm thuộc Elip sao cho \[A{F_1} + B{F_2} = 6\]. Tính \[A{F_2} + B{F_1}\].
\[A{F_2} + B{F_1} = 2\];
\[A{F_2} + B{F_1} = 4\];
\[A{F_2} + B{F_1} = 8\];
\[A{F_2} + B{F_1} = 10\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Xét \(\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{{4^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1\)
\( \Rightarrow a = 4\) và \(b = 3\)
Vì \(A\) và \(B\) là hai điểm thuộc Elip nên ta có:
\[A{F_1} + A{F_2} = 2a = 2.4 = 8\] và \[B{F_1} + B{F_2} = 2a = 2.4 = 8\]
Do đó: \[A{F_1} + A{F_2} + B{F_1} + B{F_2} = 16\]
Mà \[A{F_1} + B{F_2} = 6\] nên \[A{F_2} + B{F_1} = 10\].
Bạn An có \(6\) áo sơ mi và \(7\) quần âu đôi một khác nhau. Trong ngày tổng kết năm học, An muốn chọn trang phục gồm \(1\) quần Âu và \(1\) áo sơ mi để dự lễ. Hỏi An có bao nhiêu cách chọn một trang phục?
\(13\);
\(49\);
\(25\);
\(42\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Cách chọn một trang phụ đi dự tổng kết của bạn An gồm \(2\) giai đoạn:
Giai đoạn 1: Chọn \(1\) áo sơ mi, có \(6\) cách chọn;
Giai đoạn 2: Chọn \(1\) quần âu, có \(7\) cách chọn;
Áp dụng quy tắc cộng, ta được: \(6 + 7 = 13\) cách.
Có bao nhiêu cách xếp \(2\)nam và \(3\) nữ thành một hàng dọc?
\(2!.3!\);
\(2!\,\, + 3!\);
\(5!\);
\(5C5\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Cách xếp \(5\) bạn gồm \(2\)nam và \(3\) nữ thành một hàng dọc là một hoán vị của \(5\) nên ta có: \(5!\) cách.
Một tập hợp có \(n\) phần tử, cách sắp xếp có thứ tự \(n\) phần tử đó được gọi là
một hoán vị;
một chỉnh hợp;
một tổ hợp;
một biến cố.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Một hoán vị của một tập hợp có \(n\) phần tử là cách sắp xếp có thứ tự \(n\) phần tử đó (với \(n\) là số tự nhiên, \(n \ge 1\)).
Cho tập \(K\) có \(20\) phần tử. Số tập con gồm \(3\) phần tử của tập \(K\) là
\(A_{20}^3\);
\(60\);
\({20^3}\);
\(C_{20}^3\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Số tập con gồm \(3\) phần tử của tập \(K\) là \(C_{20}^3\).
Một lớp học có \(20\) học sinh nữ và \(15\) học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra \(5\) học sinh sao cho có đủ nam, nữ và số nam ít hơn số nữ?
\(113\,\,750\);
\(192\,\,357\);
\(129\,\,254\);
\(84\,\,075\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Cách chọn ra \(5\) học sinh sao cho có đủ nam, nữ và số nam ít hơn số nữ gồm các phương án sau:
Phương án 1: Chọn \(1\) nam và \(4\) nữ có \(C_{15}^1.C_{20}^4\).
Phương án 2: Chọn \(2\) nam và \(3\) nữ có \(C_{15}^2.C_{20}^3\).
Áp dụng quy tắc cộng, có tất cả \(C_{15}^1.C_{20}^4 + C_{15}^2.C_{20}^3 = 192\,\,375\) cách.
Khai triển của nhị thức \({\left( {x - 4} \right)^4}\) bằng
\({x^4} - {x^3} + {x^2} - x + {4^4}\);
\({x^4} + 16{x^3} + 96{x^2} + 256x + 256\);
\({x^4} - 4{x^3} + 24{x^2} - 64x + 256\);
\({x^4} - 16{x^3} + 96{x^2} - 256x + 256\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: \({\left( {x - 4} \right)^4} = {x^4} - 4.{x^3}.4 + 6.{x^2}{.4^2} - 4x{.4^3} + {4^4} = {x^4} - 16{x^3} + 96{x^2} - 256x + 256\).
Giá trị của \(k\) để hệ số của \(x\) trong khai triển \({\left( {3x + k} \right)^4}\) bằng \(12\) là
\(1\);
\( - 1\);
\(\frac{{\sqrt 2 }}{3}\);
\(\frac{1}{3}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \({\left( {3x + k} \right)^4} = C_4^0.{\left( {3x} \right)^4} + C_4^1.{\left( {3x} \right)^3}.k + C_4^2.{\left( {3x} \right)^2}.{k^2} + C_4^3.\left( {3x} \right).{k^3} + C_4^4.{k^4}\)
\( = 81{x^4} + 108.{x^3}.k + 54.{x^2}.{k^2} + 12.x.{k^3} + {k^4}\)
Suy ra hệ số của \(x\) trong khai triển là \(12{k^3}\) nên \(12{k^3} = 12 \Leftrightarrow {k^3} = 1 \Leftrightarrow k = 1\).
Gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất ba lần. Gọi A là biến cố trong ba lần gieo có đúng một lần ra mặt sấp. Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là
\(0\);
\(1\);
\(3\);
\(4\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Các kết quả thuận lợi cho biến cố A là: \(NNS;\,\,NSN;\,\,SNN\).
Mô tả không gian mẫu của phép thử gieo một con xúc xắc sáu mặt.
\(\Omega = \left\{ {1;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6} \right\}\);
\(\Omega = \left\{ {S;\,\,N} \right\}\);
\(\Omega = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6} \right\}\);
\(\Omega = \left\{ {SN;\,\,SS;\,\,NN} \right\}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Không gian mẫu của phép thử gieo một con xúc xắc sáu mặt là \(\Omega = \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6} \right\}\).
Từ các chữ số \(1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5\) có thể lập được bao nhiêu số có bốn chữ số mà các chữ số đôi một khác nhau?
\(120\);
156;
625;
144.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Số cách lập số có bốn chữ số khác nhau là chỉnh hợp chập \(5\) của \(4\)nên có tất cả các số là: \(A_5^4 = 120\) số.
Gọi \(A\) là tập hợp các số tự nhiên có \(5\) chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số \(1;\,\,2;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7;\,\,8;\,\,9\). Lấy ngẫu nhiên một số thuộc tập \(A\). Tính xác suất để lấy được luôn có mặt hai chữ số \(1;\,\,2\) và chúng không đứng cạnh nhau.
\(\frac{3}{{14}}\);
\(\frac{5}{{14}}\);
\(\frac{9}{{14}}\);
\(\frac{1}{7}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Số phần tử của tập hợp \(A\) là chỉnh hợp chập \(5\) của \(8\) và bằng \(A_8^5\).
Đặt \(M\) là biến cố lấy được số từ tập \(A\) luôn có mặt hai chữ số \(1;\,\,2\).
\( \Rightarrow n\left( M \right) = C_6^3.5!\)
Gọi \(N\) là biến cố lấy được số từ tập \(A\) luôn có mặt hai chữ số \(1;\,\,2\) và chúng không đứng cạnh nhau.
Khi đó \(\overline N \) là biến cố lấy được số từ tập \(A\) luôn có mặt hai chữ số \(1;\,\,2\) và chúng đứng cạnh nhau.
\( \Rightarrow n\left( {\overline N } \right) = 2!.C_6^3.4!\)
Ta có: \(n\left( N \right) + n\left( {\overline N } \right) = n\left( M \right)\)
\( \Rightarrow n\left( N \right) = n\left( M \right) - n\left( {\overline N } \right) = C_6^3.5!\,\, - 2!.C_6^3.4! = 1\,\,440\).
Vậy xác suất để lấy được luôn có mặt hai chữ số \(1;\,\,2\) và chúng không đứng cạnh nhau là: \(p\left( N \right) = \frac{{n\left( N \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{1\,\,440}}{{A_8^5}} = \frac{3}{{14}}\).
Xác suất bắn trúng bia của một xạ thủ là \(0,75\). Xác suất để xạ thủ bắn trượt bia là
\(0,1\);
\(0,25\);
\(0,5\);
\(0,15\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Gọi \(A\) là biến cố xạ thủ thứ nhất bắn trúng, \(\overline A \) là biến cố xạ thủ thứ nhất không bắn trúng.
Ta có \(P\left( A \right) = 0,75 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = 1 - 0,75 = 0,25\).
Cho hai đường thẳng song song \({d_1}\) và \({d_2}\). Trên đường thẳng \({d_1}\) có \(7\) điểm, trên \({d_2}\)có \(10\) điểm. Có tất cả bao nhiêu tam giác được tạo thành nếu các đỉnh lấy từ các điểm đã cho?
\(680\);
\(155\);
\(525\);
\(560\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Việc lấy 3 điểm từ các điểm đã cho để tạo thành một tam giác được chia thành hai phương án:
- Phương án 1: Lấy \(2\) điểm trong \(7\)điểm trên đường thẳng \({d_1}\) và \(1\) điểm trong \(10\) điểm trên đường thẳng \({d_2}\) có \(C_7^2.C_{10}^1\) cách.
- Phương án 2: Lấy \(1\) điểm trong \(7\)điểm trên đường thẳng \({d_1}\) và \(2\) điểm trong \(10\) điểm trên đường thẳng \({d_2}\) có \(C_7^1.C_{10}^2\) cách.
Vậy có tất cả \(C_7^2.C_{10}^1 + C_7^1.C_{10}^2 = 525\) tam giác.
Nhận xét nào dưới đây sai?
\(P\left( \emptyset \right) = 0\);
\(P\left( A \right) = 1 - \overline A \);
\(P\left( \Omega \right) = 1\);
\(P\left( {\overline A } \right) = P\left( \Omega \right) - P\left( A \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(P\left( {\overline A } \right) = P\left( \Omega \right) - P\left( A \right)\). Do đó B sai.
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:2x - y + 2 = 0\) và \(A\left( {6;\,\,0} \right),\,B\left( {5;\,\,2} \right)\). Tọa độ điểm \(M\)thuộc đường thẳng \(d\) sao cho tam giác \(MAB\) cân tại \(M\)là
\(\left( {\frac{{11}}{2};1} \right)\);
\(\left( { - \frac{5}{2}; - 3} \right)\);
\(\left( {1;0} \right)\);
\(\left( {1; - 2} \right)\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có: \(\overrightarrow {AB} \left( { - 1;\,\,2} \right)\)
Gọi \(d'\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AB\), \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\).
\( \Rightarrow I\left( {\frac{{11}}{2};1} \right)\).
Khi đó phương trình trung trực \(d'\) của đoạn thẳng \(AB\) là:
\( - \left( {x - \frac{{11}}{2}} \right) + 2\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y - \frac{7}{2} = 0 \Leftrightarrow 2x - 4y - 7 = 0\).
Điểm \(M\) là giao điểm của \(d\) và \(d'\) nên toạ độ điểm \(M\)là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}2x - y + 2 = 0\\2x - 4y - 7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{5}{2}\\y = - 3\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - \frac{5}{2}; - 3} \right)\).
II. PHẦN TỰ LUẬN
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \[Oxy\], cho tam giác \(ABC\) với \(A\left( {1;\,\,1} \right)\), \(B\left( {0;\,2} \right),\,\,C\left( {3;\,1} \right)\).
a) Tìm tọa độ điểm \(M\) sao cho \(B\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AM\).
b) Viết phương trình đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) sao cho khoảng cách từ điểm \(A\) tới \(\left( \Delta \right)\) bằng \(\sqrt 8 \), khoảng cách từ điểm \(B\) tới đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) bằng \(\sqrt 2 \).
Hướng dẫn giải
a) Đặt tọa độ điểm \(M\left( {x;y} \right)\)
Để \(B\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AM\) thì tọa độ điểm \(B\) thỏa mãn:
\(\left\{ \begin{array}{l}0 = \frac{{1 + x}}{2}\\2 = \frac{{1 + y}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 3\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - 1;3} \right)\).
Vậy \(M\left( { - 1;3} \right)\).
b) Gọi phương trình đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) cần tìm là: \(\left( \Delta \right):y = ax + b\) hay \(ax - y + b = 0\).
Ta có:
Khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) là: \(d\left( {A;\Delta } \right) = \frac{{\left| {a.1 - 1 + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = \sqrt 8 \).
Khoảng cách từ điểm \(B\) đến đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) là: \(d\left( {B;\Delta } \right) = \frac{{\left| {a.0 - 2 + b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = \sqrt 2 \).
\( \Rightarrow \frac{{\left| {a.1 - 1 + b} \right|}}{{\left| { - 2 + b} \right|}} = 2 \Leftrightarrow \left| {a.1 - 1 + b} \right| = 2\left| { - 2 + b} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a.1 - 1 + b = 2\left( { - 2 + b} \right)\\a.1 - 1 + b = - 2\left( { - 2 + b} \right)\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a - 1 + b = - 4 + 2b\\a - 1 + b = 4 - 2b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b - 3\\a = 3 - 3b\end{array} \right.\)
Với \(a = b - 3\), ta có: \(\frac{{\left| {b - 3 - 1 + b} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {b - 3} \right)}^2} + 1} }} = \sqrt 8 \Leftrightarrow \left| {2b - 4} \right| = \sqrt 8 .\sqrt {{{\left( {b - 3} \right)}^2} + 1} \)
\( \Leftrightarrow 4{b^2} - 16b + 16 = 8\left( {{b^2} - 6b + 10} \right)\)
\( \Leftrightarrow {b^2} - 4b + 4 = 2{b^2} - 12b + 20\)
\( \Leftrightarrow {b^2} - 8b + 16 = 0\)
\( \Leftrightarrow b = 4\)
\( \Rightarrow a = 1\)
Do đó phương trình đường thẳng \(\left( \Delta \right):x - y + 4 = 0\).
Với \(a = 3 - 3b\), ta có: \(\frac{{\left| {3 - 3b - 1 + b} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {3 - 3b} \right)}^2} + 1} }} = \sqrt 8 \Leftrightarrow \left| { - 2b - 2} \right| = \sqrt 8 .\sqrt {{{\left( {3 - 3b} \right)}^2} + 1} \)
\( \Leftrightarrow 4{b^2} - 8b + 4 = 8\left( {9{b^2} - 18b + 10} \right)\)
\( \Leftrightarrow {b^2} - 2b + 1 = 18{b^2} - 36b + 20\)
\( \Leftrightarrow 17{b^2} - 34b + 19 = 0\) (phương trình vô nghiệm).
Vậy phương trình đường thẳng \(\left( \Delta \right):x - y + 4 = 0\).
a) Có \(12\) tấm thẻ đánh thứ tự từ \(1\) đến \(12\), chọn ngẫu nhiên \(3\) tấm. Tính xác suất chọn được ba tấm thẻ có tổng các số ghi trên thẻ là một số lẻ.
b) Tìm hệ số của \(x\) và \({x^2}\) trong khai triển của nhị thức \({\left( {1 - k.x} \right)^5}\), biết tổng hệ số của \(x\) và \({x^3}\) bằng \(15\).
Hướng dẫn giải
a) Ta có: \(n\left( \Omega \right) = C_{12}^3 = 220\)
Gọi \(A\) là biến cố để ba tấm thẻ có tổng các số ghi trên thẻ là một số lẻ.
Ta có hai phương án để chọn được ba tấm thẻ có tổng các số ghi trên thẻ là một số lẻ là:
Phương án 1: Ba tấm thẻ được chọn có \(2\) tấm lẻ và \(1\)tấm chẵn có \(C_6^2.C_6^1\) cách;
Phương án 2: Ba tấm thẻ được chọn có \(3\) tấm lẻ có \(C_6^3\) cách.
Khi đó \(n\left( A \right) = C_6^3 + C_6^2.C_6^1 = 110\).
Vậy xác suất chọn được ba tấm thẻ có tổng các số ghi trên thẻ là một số lẻ là \(P\left( A \right) = \frac{{110}}{{220}} = \frac{1}{2}\).
b) Ta có: \({\left( {1 - k.x} \right)^5} = 1 - 5kx + 10{k^2}{x^2} - 10{k^3}{x^3} + 5{k^4}{x^4} - {k^5}{x^5}\)
Khi hệ số của \(x\) và \({x^3}\) trong khai triển lần lượt là: \( - 5k\) và \( - 10{k^3}\).
Do đó ta có: \( - 5k - 10{k^3} = 15 \Leftrightarrow 2{k^3} + k + 3 = 0 \Leftrightarrow \left( {k + 1} \right)\left( {2{k^2} - 2k + 3} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow k + 1 = 0 \Leftrightarrow k = - 1\).
Vậy hệ số của \(x\) và \({x^3}\) trong khai triển lần lượt là: \(5\) và \(10\).
Một hội nghị có \(10\) đại biểu trong đó có \(A,B,C\) tham dự đại hội được xếp vào ngồi một ghế dài \(10\) chỗ trống. Có bao nhiêu cách xếp để \(A\) và \(B\) luôn ngồi cạnh nhau nhưng \(A\) và \(C\) không được ngồi cạnh nhau.
Hướng dẫn giải
- Xếp để \(A\) và \(B\) luôn ngồi cạnh nhau, ta có:
Coi \(AB\) như \(1\) phần tử, trường hợp này có \(2\) cách thỏa mãn là \(AB\) và \(BA\).
Ứng với \(1\) phần tử \(AB\) và \(8\) đại biểu còn lại có \(9!\) cách xếp.
Do đó có \(9!.2!\) cách xếp.
- Xếp để \(A\) luôn ngồi cạnh cả \(B\) và \(C\) là:
Coi \(ABC\) như \(1\) phần tử, do đó có thể có \(2\) cách thỏa mãn là \(CAB\) và \(BAC\).
Ứng với \(1\) phần tử \(ABC\) và \(7\) đại biểu còn lại có \(8!\) cách xếp.
Do đó có \(8!.2!\) cách xếp.
Vậy có \(9!.2!\,\, - \,\,8!.2! = 645\,\,120\) cách xếp.
