Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 02

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Biểu thức \(\frac{{x + 1}}{{x - 1}}\) có nghĩa khi \[x - 1 \ne 0\] tức là \(x \ne 1\)

Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hàm số \[y =  - {x^2} + 4x + 1\] là hàm số bậc hai. Do đó D đúng.

Ta có \(a =  - 1 < 0\) nên đồ thị làm đường parabol có bề lõm hướng xuống dưới. Do đó C sai.

Trục đối xứng \[x =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{4}{{2.\left( { - 1} \right)}} = 2\]. Do đó A đúng.

Hàm số cắt trục tung nên hoành độ giao điểm \(x = 0\), khi đó \(y = 1\). Do đó B đúng

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì Parabol có bề lõm quay xuống dưới nên \(a < 0\). Do đó đáp án C và D sai.

Xét đáp án A: Gọi \(I\) là đỉnh của Parabol ta có:

 \({x_I} =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{2}{{2.\left( { - 1} \right)}} = 1;\,{y_I} =  - {1^2} + 2.1 - 3 =  - 2\). Suy ra đỉnh \(I\left( {1; - 2} \right)\). Do đó đáp án A sai.

Xét đáp án B: Gọi \(I\) là đỉnh của Parabol ta có:

 \({x_I} =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{4}{{2.\left( { - 1} \right)}} = 2;\,{y_I} =  - {2^2} + 4.2 - 3 = 1\). Suy ra đỉnh \(I\left( {2;1} \right)\).

Đồ thị hàm số này có trục đối xứng \(x = 2\). Giao điểm của đồ thị với trục tung là \(A\left( {0; - 3} \right)\). Parabol cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình \( - {x^2} + 4x - 3 = 0\) tức là \(x = 1\) và \(x = 3\).

Suy ra đáp án B đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Dễ thấy \(f\left( x \right) =  - {x^2} - 4x + 5\) có \(\Delta  = 36 > 0,\,a =  - 1 < 0\)và có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = 1;\,{x_2} =  - 5\). Do đó ta có bảng xét dấu \(f\left( x \right)\):

Suy ra \(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left( { - 5;1} \right)\) và \(f\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \left( { - \infty ; - 5} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).

Vậy đáp án đúng là D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta thức \(f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 4\) có \(\Delta  = 0,\,a = 1 > 0\) nên \(f\left( x \right)\) có nghiệm duy nhất \(x = 2\)Do đó ta có bảng xét dấu \(f\left( x \right)\):

Do đó tập nghiệm \(S\) của bất phương trình là: \(S = \mathbb{R}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Điều kiện xác định của phương trình đã cho là \(2 - x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 2\).

Bình phương hai vế của phương trình ta được

\({x^2} - 10x + m = {x^2} - 4x + 4\)

\( \Rightarrow 6x = m - 4\)

\( \Rightarrow x = \frac{{m - 4}}{6}\)

Để phương trình vô nghiệm thì \(\frac{{m - 4}}{6} > 2 \Leftrightarrow m - 4 > 12 \Leftrightarrow m > 16\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có phương trình đường thẳng \(x - 2y + 3 = 0\) nhận \(\overrightarrow n \left( {1; - 2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng \(d\) song song với đường thẳng \[\Delta :2x + 3y - 12 = 0\] nên phương trình đường thẳng \(d\) có dạng:

\[2x + 3y + c = 0\left( {c \ne  - 12} \right)\].

Vì \(M\left( {1;2} \right) \in d\) nên thay \(x = 1\) và \(y = 2\) vào đường thẳng \[2.1 + 3.2 + c = 0 \Leftrightarrow c =  - 8\] (thỏa mãn điều kiện).

Vậy \(d:2x + 3y - 8 = 0.\)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét đáp án A: đường thẳng \(d\) và đường thẳng \[x + 2y + 1 = 0\] có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {1; - 2} \right);\,\overrightarrow {{n_2}} \left( {1;2} \right)\) là hai vectơ không cùng phương nên đường thẳng \(d\) và đường thẳng \[x + 2y + 1 = 0\] không song song.

Xét đáp án B: đường thẳng \(d\) và đường thẳng \[2x - y = 0\] có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {1; - 2} \right);\,\overrightarrow {{n_2}} \left( {2; - 1} \right)\) là hai vectơ không cùng phương nên đường thẳng \(d\) và đường thẳng \[2x - y = 0\] không song song.

Xét đáp án C: đường thẳng \(d\) và đường thẳng \[ - x + 2y + 1 = 0\] có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {1; - 2} \right);\,\overrightarrow {{n_2}} \left( { - 1;2} \right)\) là hai vectơ cùng phương nên đường thẳng \(d\) và đường thẳng \[ - x + 2y + 1 = 0\] song song hoặc trùng nhau. Mặt khác điểm \(M(1;0)\) thuộc đường thẳng \[ - x + 2y + 1 = 0\] và cũng thuộc đường thẳng \(d\) nên đường thẳng \(d\) và đường thẳng \[ - x + 2y + 1 = 0\] trùng nhau.

Xét đáp án D: đường thẳng \(d\) và đường thẳng \[ - 2x + 4y - 1 = 0\] có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {1; - 2} \right);\,\overrightarrow {{n_2}} \left( { - 2;4} \right)\) là hai vectơ cùng phương nên đường thẳng \(d\) và đường thẳng \[ - 2x + 4y - 1 = 0\] song song hoặc trùng nhau. Mặt khác điểm \(M\left( {0;\frac{1}{4}} \right)\) thuộc đường thẳng \[ - 2x + 4y - 1 = 0\] nhưng không thuộc \(d\) nên đường thẳng \(d\) và đường thẳng \[ - 2x + 4y - 1 = 0\] song song.

Hường dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \(x - 3y - 6 = 0\) và \(3x + 4y - 1 = 0\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y - 6 = 0\\3x + 4y - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{27}}{{13}}\\y =  - \frac{{17}}{3}\end{array} \right.\).

Vậy giao điểm của hai đường thẳng là \(A\left( {\frac{{27}}{{13}}; - \frac{{17}}{3}} \right)\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì \(\Delta //d \Rightarrow \Delta :3x - 4y + c = 4\)

Lấy điểm \(M\left( {1;1} \right) \in d\) khi đó \({d_{\left( {d;\Delta } \right)}} = {d_{\left( {M;\Delta } \right)}} = \frac{{\left| {3.1 - 4.1 + c} \right|}}{5} = 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {c - 1} \right|}}{5} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c - 1 = 5\\c - 1 =  - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 6\\c =  - 4\end{array} \right.\) .

Phương trình đường thẳng \(\Delta :3x - 4y + 6 = 0\) hoặc \(\Delta :3x - 4y - 4 = 0\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có:

Đường thẳng \[{d_1}:2x - 3y - 10 = 0\] có vectơ pháp tuyến là \[{\vec n_1} = \left( {2; - 3} \right)\].

Đường thẳng \[{d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - 3t}\\{y = 1 - 4mt}\end{array}} \right.\] có vectơ chỉ phương là  \[\overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - 3; - 4m} \right)\] nên vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {4m; - 3} \right)\].

Để đường thẳng \({d_1} \bot {d_2}\) thì \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 0 \Leftrightarrow 2.4m + \left( { - 3} \right).\left( { - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow m =  - \frac{9}{8}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đường tròn \({x^2} + {y^2} - 10y - 24 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 5} \right)^2} = 49\) vậy đường tròn có bán kính là \(R = 7\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường tròn có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và bán kính \(R = 5\) nên có phương trình là

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {5^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Đường tròn tâm \(I\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\left( d \right)\) có bán kính \(R = {d_{\left( {I;d} \right)}} = \frac{{\left| {3.1 + 4.1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 1\).

Vậy đường tròn tâm \(I\left( {1;1} \right)\) bán kính \(R = 1\) có  phương trình là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đường tròn \((C):{(x - 2)^2} + {(y + 4)^2} = 25\) có tâm \(I(2; - 4)\), bán kính \(R = 5\).

Đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với đường thẳng \(d:3x - 4y + 5 = 0\) có phương trình dạng:\(4x + 3y + c = 0\)

\(\Delta \) là tiếp tuyến của đường tròn \((C)\) khi và chỉ khi:

\(d(I;\Delta ) = R\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {4.2 + 3.( - 4) + c} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 5\)\( \Leftrightarrow \left| {c - 4} \right| = 25 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c - 4 = 25\\c - 4 =  - 25\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 29\\c =  - 21\end{array} \right.\).

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: \(4x + 3y + 29 = 0\) và \(4x + 3y - 21 = 0\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: .

Điều kiện để \(\left( E \right)\) là elip khi \(a > 2\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có phương trình Parabol \(\left( P \right){y^2} = 4x\) vậy có \(2p = 4 \Leftrightarrow p = 2\)

Parabol \(\left( P \right)\) có tiêu điểm \(F\left( {1;0} \right)\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D 

Với \(x = 8\) ta có \(\frac{{{8^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y =  - 3\sqrt 3 \\y = 3\sqrt 3 \end{array} \right.\).

Suy ra có hai điểm \(M\) thoả mãn là \({M_1}\left( {8;\,\,3\sqrt 3 } \right)\) và \[{M_2}\left( {8;\,\, - 3\sqrt 3 } \right)\].

Ta có \(a = 4;\,b = 3 \Rightarrow c = 5\). Tiêu điểm của \(\left( H \right)\) là \({F_1}\left( { - 5;\,0} \right)\) và \({F_2}\left( {5;\,0} \right)\).

Khi đó:

\(\overrightarrow {{M_1}{F_1}}  = \left( { - 13;\, - 3\sqrt 3 } \right) & \)và \(\overrightarrow {{M_2}{F_1}}  = \left( { - 13;\,3\sqrt 3 } \right)\);

\(\overrightarrow {{M_1}{F_2}}  = \left( { - 3;\, - 3\sqrt 3 } \right)\) và \(\overrightarrow {{M_2}{F_2}}  = \left( { - 3;\,3\sqrt 3 } \right)\).

Ta có \({M_1}{F_1} = {M_2}{F_1} = 14\) và \({M_1}{F_2} = {M_2}{F_2} = 6\) .

Vậy khoảng cách từ \(M\) đến hai tiêu cự bằng \(6\) và \(14\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có độ dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là \(10m\)và \(8m\) nên \(a = 5,\,b = 4\).

Suy ra phương trình của Elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).

Ta có \(\widehat {{A_1}O{A_2}} = 45^\circ \) nên \({A_2}\) là giao điểm của đường thẳng \(y = x\) và Elip \(\left( E \right)\)

Suy ra \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{x^2}}}{{16}} = 1 \Rightarrow 41{x^2} = 400 \Rightarrow x = \frac{{20\sqrt {41} }}{{41}}\)

Do đó \({A_2}\left( {\frac{{20\sqrt {41} }}{{41}};\,\frac{{20\sqrt {41} }}{{41}}} \right)\).

Diện tích tam giác \({A_1}O{A_2}\) là: \({S_{{A_1}O{A_2}}} = \frac{1}{2}O{A_1}.d({A_2};O{A_1}) = \frac{1}{2}.5.\frac{{20\sqrt {41} }}{{41}} = \frac{{50\sqrt {41} }}{{41}}\,\,\left( {{m^2}} \right)\).

Diện tích tam giác \({A_2}O{A_3}\) là: \({S_{{A_2}O{A_3}}} = \frac{1}{2}O{A_3}.d({A_2};O{A_3}) = \frac{1}{2}.4.\frac{{20\sqrt {41} }}{{41}} = \frac{{40\sqrt {41} }}{{41}}\,\,\left( {{m^2}} \right)\).

\( \Rightarrow {S_{{A_1}O{A_3}{A_2}}} = {S_{{A_1}O{A_2}}} + {S_{{A_2}O{A_3}}} = \frac{{50\sqrt {41} }}{{41}}\,\, + \,\,\frac{{40\sqrt {41} }}{{41}} = \,\frac{{90\sqrt {41} }}{{41}}\,\left( {{m^2}} \right)\).

Gọi \(S\) là diện tích đa giác \({A_1}{A_2}...{A_8}\) ta có

\(S = 4{S_{{A_1}O{A_3}{A_2}}} = 4\frac{{90\sqrt {41} }}{{41}} = \frac{{360\sqrt {41} }}{{41}}\,\,\left( {{m^2}} \right)\).

Vậy số tiền Minh cần là \(\frac{{360\sqrt {41} }}{{41}}.100\,000 \approx 5\,\,622\,\,000\) (đồng).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Để chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây có hai công đoạn:

Công đoạn thứ nhất: Chọn mặt đồng hồ có \(3\) cách chọn.

Công đoạn thứ hai: Chọn dây có \(4\) cách chọn.

Vậy theo qui tắc nhân ta có \(3.4 = 12\) cách.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi số cần tìm có dạng \[\overline {abcd} \] với \[\left( {a,b,c,d} \right) \in A = \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\}\]

Vì \[\overline {abcd} \] là số chẵn \[ \Rightarrow \,\,d = \left\{ {0;2;4} \right\}\]

Trường hợp 1: Nếu \[d = 0\]có một cách chọn

\[a\] có \(5\) cách chọn (vì \(a\) được chọn từ một trong các số \(1;2;3;4;5\)).

\[b\] có \(4\) cách chọn (vì \(a \ne b\) nên \(b\) được chọn từ một trong các số \(1;2;3;4;5\) nhưng bỏ đi số mà \(a\) đã chọn).

\[c\] có \(3\) cách chọn (vì \(a \ne c;\,b \ne c\) nên \(c\) được chọn từ một trong các số \(1;2;3;4;5\) nhưng bỏ đi số mà \(a,b\) đã chọn).

Như vậy, ta có \[5.4.3.1 = 60\] số.

Truờng hợp 2: Nếu \[d \ne 0\] có \[2\] cách chọn là số \(2\) hoặc \(4\)

\[a\] có \(4\) cách chọn (vì \(a\) được chọn từ một trong các số \(1;2;3;4;5\) bỏ đi số mà \(d\) đã chọn).

\[b\] có \(4\) cách chọn (vì \(a \ne b;b \ne d\) nên \(b\) được chọn từ một trong các số \(0;1;2;3;4;5\) nhưng bỏ đi số mà \(a,d\) đã chọn).

\[c\] có \(3\) cách chọn (vì \(a \ne c;\,b \ne c;d \ne c\) nên \(c\) được chọn từ một trong các số \(0;1;2;3;4;5\) nhưng bỏ đi số mà \(a,b,d\) đã chọn).

Như vậy, ta có \[2.4.4.3 = 96\] số.

Vậy có tất cả \[60 + 96 = 156\] số cần tìm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xếp \(3\) bạn nữ trước có \(3!\) cách xếp.

Xếp \(4\) bạn nam vào \(4\) khoảng trống còn lại có \(4!\) cách xếp.

Vậy có \(3!.4! = 144\)cách xếp để các bạn nữ không ngồi cạnh nhau.             \[\]

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Mỗi cách chọn ra \[2\] học sinh từ một tổ có \[10\] học sinh và phân công giữ chức vụ tổ trưởng, tổ phó là một chỉnh hợp chập \[2\] của \(10\)  phần tử.

Do đó số cách chọn là \[A_{10}^2\] cách.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Cách tìm số giao điểm của \[5\] đường tròn phân biệt được chia làm \(2\) công đoạn:

- Công đoạn thứ 1: Chọn \(2\) đường tròn trong \[5\] đường tròn có \(C_5^2\) cách.

- Công đoạn thứ 2: Ứng với \(2\) đường tròn có tối đa \(2\) giao điểm.

Vậy số giao điểm tối đa của \[5\] đường tròn phân biệt là \[2.C_5^2 = 20\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Chọn ra \[3\] học sinh tham gia văn nghệ trong \[13\] học sinh tùy ý có \[C_{13}^3\] cách.

Chọn ra \[3\] học sinh tham gia văn nghệ trong \[7\] học sinh nữ có \[C_7^3\] cách.

Vậy chọn ra \[3\] học sinh tham gia văn nghệ sao cho luôn có ít nhất một học sinh nam có \[C_{13}^3 - C_7^3 = 251\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đa giác lồi \(n\) đỉnh thì có \(n\) cạnh.

Nếu vẽ tất cả các đoạn thẳng nối từng cặp trong \(n\) đỉnh này thì có một bộ gồm các cạnh và các đường chéo.

Do đó để tính số đường chéo thì lấy tổng số đoạn thẳng dựng được trừ đi số cạnh.

Bằng cách lấy ra \(2\) điểm bất kỳ trong \(n\) điểm ta được số đoạn thẳng chính là số tổ hợp chập \(2\) của \(n\) phần tử.

Như vậy, tổng số đoạn thẳng là \(C_n^2\).

Số cạnh của đa giác lồi là \(n\).

Suy ra số đường chéo của đa giác đều \(n\) đỉnh là

 \[C_n^2 - n = \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{2!.\left( {n - 2} \right)!}} - n = \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} - n = \frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2}\]

Theo bài ra, ta có \[\left\{ \begin{array}{l}n \ge 3\\\frac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} = 135\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n \ge 3\\{n^2} - 3n - 270 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow n = 18\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Trong khai triển nhị thức Newton \({\left( {a + b} \right)^n}\) có \(n + 1\) số hạng

Vậy trong khai triển của \({\left( {2x - 3} \right)^4}\) có \[4 + 1 = 5\] số hạng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có

\[{\left( {1 - 2x} \right)^5} = C_5^0 + C_5^1{\left( { - 2x} \right)^1} + C_5^2{\left( { - 2x} \right)^2} + C_5^3{\left( { - 2x} \right)^3} + C_5^4{\left( { - 2x} \right)^4} + C_5^5{\left( { - 2x} \right)^5}\]\[ = 1 - 10x + 40{x^2} - 80{x^3} + 80{x^4} - 32{x^5}\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có:

\[{\left( {\frac{x}{2} + \frac{4}{x}} \right)^4} = C_4^0.{\left( {\frac{x}{2}} \right)^4} + C_4^1.{\left( {\frac{x}{2}} \right)^3}.\left( {\frac{4}{x}} \right) + C_4^2.{\left( {\frac{x}{2}} \right)^2}.{\left( {\frac{4}{x}} \right)^2} + C_4^3.\left( {\frac{x}{2}} \right).{\left( {\frac{4}{x}} \right)^3} + C_4^4.{\left( {\frac{4}{x}} \right)^4}\]

\[ = \frac{{{x^4}}}{{16}} + 2{x^3} + 24 + \frac{{128}}{{{x^2}}} + \frac{{256}}{{{x^4}}}\].

Vậy hệ số của số hạng không chứa \[x\] trong khai triển là \[24\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có :  \(C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 = 11 \Leftrightarrow 1 + n + \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 11\,\,\left( {n \ge 2} \right)\)

\( \Leftrightarrow 1 + n + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 11\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 4\\n =  - 5\end{array} \right.\) .

Do đó có \(n = 4\) thỏa mãn điều kiện.

Khi đó:

\({\left( {{x^3} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^4} = {\left( {{x^3}} \right)^4} + 4.{\left( {{x^3}} \right)^3}.\frac{1}{{{x^2}}} + 6.{\left( {{x^3}} \right)^2}.{\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^2} + 4.{x^3}.{\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^3} + {\left( {\frac{1}{{{x^2}}}} \right)^4}\)

\( = {x^{12}} + 4{x^7} + 6{x^2} + \frac{4}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^8}}}\).

Vậy hệ số của \({x^2}\) trong khai triển là: \(6\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi \(A\) là biến cố mặt ngửa xuất hiện đúng một lần, ta có: \[A = \left\{ {NS;SN} \right\}\]

Số phần tử của biến cố \(A\) là \(n\left( A \right) = 2\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Số phần tử không gian mẫu:\[n\left( \Omega  \right) = 6.6 = 36\]

Biến cố tổng hai mặt là \[11\]: \[A = \left\{ {\left( {5;6} \right);\left( {6;5} \right)} \right\}\] nên \[n\left( A \right) = 2\].

Suy ra \[P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{2}{{36}} = \frac{1}{{18}}\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega  \right) = C_{15}^5\).

Gọi biến cố \(A\): “Chọn được đoàn đại biểu có đúng \(2\) người nữ” Số phần tử của biến cố \(A\) là \(n\left( A \right) = C_7^2.C_8^3\).

Vậy xác suất cần tìm là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{56}}{{143}}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi A là biến cố: “5 bạn được chọn có cả nam lẫn nữ mà nam nhiều hơn nữ”

Số phân tử của không gian mẫu \(n\left( \Omega  \right) = C_{15}^5\).

Gọi A là biến cố: “5 bạn được chọn có cả nam lẫn nữ mà nam nhiều hơn nữ”

Trường hợp 1: chọn 5 bạn trong đó có \(4\) nam, \(1\)  nữ có: \(C_8^4.C_7^1\) cách

Trường hợp 2: cách chọn \(5\) bạn trong đó có \(3\) nam, \(2\) nữ có: \(C_8^3.C_7^2\) cách

Số phần tử của biến cố \(A\) là: \(n\left( A \right) = C_8^4.C_7^1 + C_8^3.C_7^2 = 1666\).

Xác suất của biến cố \(A\) là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{1666}}{{C_{15}^5}} = \frac{{238}}{{429}}\).

Hướng dẫn giải

Gọi đường thẳng \(d\) cần tìm có dạng \(y = ax + b\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) hay \[ax - y + b = 0\].

Vì \(M\left( {1; - 3} \right)\) thuộc \(d\) nên thay \(x = 1\) và \(y =  - 3\) vào phương trình trên ta được:

\[a.1 - \left( { - 3} \right) + b = 0 \Leftrightarrow b =  - a - 3\].

Khi đó phương trình đường thẳng \[d:ax - y - a - 3 = 0\].

Xét đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {2; - 1} \right),\) bán kính \(R = 2\sqrt 5 \).

Kẻ \(IH \bot d\) tại \(H\)

Diện tích tam giác \(IAB\) bằng \(8\) nên ta có: \({S_{IAB}} = \frac{1}{2}IH.AB = 8 \Rightarrow IH.AB = 16\).

Xét tam giác \(IHB\) vuông tại \(H\) có: \({R^2} = I{H^2} + \frac{{A{B^2}}}{4} = 20\) (định lí Pythagore).

\( \Leftrightarrow I{H^2} + 2.IH.\frac{{AB}}{2} + \frac{{A{B^2}}}{4} = 20 + 16\)

\( \Leftrightarrow {\left( {IH + \frac{{AB}}{2}} \right)^2} = 36\)

\( \Leftrightarrow IH + \frac{{AB}}{2} = 6\)

\( \Leftrightarrow IH = 6 - \frac{{AB}}{2}\)

\( \Rightarrow \left( {6 - \frac{{AB}}{2}} \right).AB = 16 \Leftrightarrow  - \frac{1}{2}A{B^2} + 6AB - 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}AB = 4\\AB = 8\end{array} \right.\).

Với \(AB = 4\) thì \(IH = 4\), khi đó:

\(d\left( {I;d} \right) = IH \Leftrightarrow \frac{{\left| {2a - \left( { - 1} \right) - a - 3} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = 4\)

\( \Leftrightarrow \left| {a - 2} \right| = 4\sqrt {{a^2} + 1} \)

\( \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 4 = 16\left( {{a^2} + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow 15{a^2} + 4a + 12 = 0\) (phương trình vô nghiệm).

Với \(AB = 8\) thì \(IH = 2\), khi đó:

\(d\left( {I;d} \right) = IH \Leftrightarrow \frac{{\left| {2a - \left( { - 1} \right) - a - 3} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + 1} }} = 2\)

\( \Leftrightarrow \left| {a - 2} \right| = 2\sqrt {{a^2} + 1} \)

\( \Leftrightarrow {a^2} - 4a + 4 = 4\left( {{a^2} + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow 3{a^2} + 4a = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\a =  - \frac{4}{3}\end{array} \right.\)

Vì vậy chỉ có \(a =  - \frac{4}{3}\) thỏa mãn điều kiện nên phương trình đường thẳng cần tìm là

\[ - \frac{4}{3}x - y - \left( { - \frac{4}{3}} \right) - 3 = 0 \Leftrightarrow 4x + 3y + 5 = 0\].

Hướng dẫn giải

Gọi \({A_1};{A_2};...;{A_{2018}}\) là các đỉnh của đa giác đều \(2018\) đỉnh.

Gọi \(O\) là đường tròn ngoại tiếp đa giác đều \({A_1};{A_2};...;{A_{2018}}\)

Các đỉnh của đa giác đều chia \(O\) thành \(2018\) cung tròn bằng nhau, mỗi cung tròn có số đo bằng \(\frac{{360^\circ }}{{2018}}\).

Vì tam giác cần đếm có đỉnh là đỉnh của đa giác nên các góc của tam giác là các góc nội tiếp của \(O\).

Suy ra góc lớn hơn \(100^\circ \) sẽ chắn cung có số đo lớn hơn \(200^\circ \).

Cố định một đỉnh \({A_i}\), có \(2018\) cách chọn \({A_i}\).

Gọi\({A_i};{A_j};{A_k}\)là các đỉnh sắp thứ tự theo chiều kim đồng hồ sao cho \[\widehat {{A_i}{A_j}{A_k}} > 100^\circ \] và tam giác \({A_i}{A_j}{A_k}\) là tam giác cần đếm.

Khi đó cung \({A_i}{A_k}\)  là hợp liên tiếp của nhiều nhất \(\left( {\frac{{160}}{{\frac{{360}}{{2018}}}}} \right) = 896\)  cung tròn nói trên.

Ta có \(896\) cung tròn này có \(897\) đỉnh. Trừ đi đỉnh \({A_i}\) thì còn \(896\) đỉnh. Do đó có \(C_{896}^2\) cách chọn hai đỉnh \({A_j};{A_k}\).

Vậy có tất cả \(2018.C_{896}^2\) tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải.

Gọi số đoàn viên trong chi đoàn đó là \(n\left( {n \ge 7,\,n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).

Suy ra số đoàn viên nam trong chi đoàn là \(n - 3\).

Xác suất để lập đội thanh niên tình nguyện trong đó có \(3\) nữ là \(\frac{{C_3^3.C_{n - 3}^1}}{{C_n^4}}\).

Xác suất để lập đội thanh niên tình nguyện có toàn nam là \(\frac{{C_{n - 3}^4}}{{C_n^4}}\).

Theo giả thiết, ta có \(\frac{{C_3^3.C_{n - 3}^1}}{{C_n^4}} = \frac{2}{5}.\frac{{C_{n - 3}^4}}{{C_n^4}} \Leftrightarrow C_{n - 3}^1 = \frac{2}{5}C_{n - 3}^4\).

\[ \Leftrightarrow \left( {n - 3} \right) = \frac{2}{5}\frac{{\left( {n - 3} \right)\left( {n - 4} \right)\left( {n - 5} \right)\left( {n - 6} \right)\left( {n - 7} \right)!}}{{4!\left( {n - 7} \right)!}} \Leftrightarrow \left( {n - 4} \right)\left( {n - 5} \right)\left( {n - 6} \right) = 60\]

\( \Leftrightarrow {n^3} - 15{n^2} + 74n - 180 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {n - 9} \right)\left( {{n^2} - 6n + 20} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n - 9 = 0\\{n^2} - 6n + 20 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow n = 9\) (do \({n^2} - 6n + 20 = 0\) vô nghiệm).

Vậy cho đoàn có \(9\) đoàn viên.