Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 04
38 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM
Tìm tập xác định \[D\] của hàm số \[y = \sqrt {6 - x} + \frac{{2x + 1}}{{1 + \sqrt {x - 1} }}\]?
\[D = \left( {1;\, + \infty } \right)\];
\[D = \left( {1;\,6} \right)\];
\[D = \left[ {1;\,6} \right]\];
\[D = \mathbb{R}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hàm số xác định khi \[\left\{ \begin{array}{l}6 - x \ge 0\\x - 1 \ge 0\\1 + \sqrt {x - 1} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 6\\x \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 \le x \le 6\]
Vậy tập xác định của hàm số là \[D = \left[ {1;\,6} \right]\].
Hàm số nào dưới đây là hàm số bậc hai?
\(y = x\);
\(y = \frac{1}{{{x^2}}} - x\);
\(y = 2{x^2} - 9\);
\(y = {x^2}.y\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hàm số \(y = 2{x^2} - 9\) là hàm số bậc hai.
Tìm giá trị nhỏ nhất \[{y_{\min }}\] của hàm số \[y = {x^2} - 4x + 5\]?
\[{y_{\min }} = 0\];
\[{y_{\min }} = 1\];
\[{y_{\min }} = 2\];
\[{y_{\min }} = 3\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Tọa độ đỉnh \(I\): \({x_I} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 4}}{{2.1}} = 2,{y_I} = {2^2} - 4.2 + 5 = 1\).
Vì hệ số \[a > 0\] nên hàm số có bề lõm quay lên trên, hàm số có giá trị nhỏ nhất tại đỉnh \[I\left( {2;\,1} \right)\]. Vậy nên \[{y_{\min }} = 1\].
Biểu thức \[f\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + x + 6}}{{ - {x^2} + 3x + 4}}\] đạt giá trị dương khi nào?
\[x \in \left( { - 2;\, - 1} \right) \cup \left( {3;4} \right)\];
\[x \in \left( { - \infty ;\, - 2} \right) \cup \left( {4;\, + \infty } \right)\];
\[x \in \left( { - \infty ;\, - 1} \right) \cup \left( {3;\, + \infty } \right)\];
\[x \in \left( { - 1;\,3} \right) \cup \left( {4;\, + \infty } \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Tam thức \( - {x^2} + x + 6\) có hai nghiệm là \(x = - 2\) và \(x = 3\);
Tam thức \[ - {x^2} + 3x + 4\] có hai nghiệm \(x = - 1\) và \(x = 4\).
Áp dụng định lí xét dấu, ta có bảng xét dấu sau:
Vậy \[f\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + x + 6}}{{ - {x^2} + 3x + 4}}\] dương khi và chỉ khi \[x \in \left( { - 2;\, - 1} \right) \cup \left( {3;4} \right)\].
Giá trị của \[m\] để biểu thức \[f\left( x \right) = m{x^2} - x - 1\] luôn âm là
\[0 < m < \frac{1}{4}\];
\[\frac{{ - 1}}{4} < m < 0\];
\[\frac{{ - 1}}{4} < m \le 0\];
\[m < - \frac{1}{4}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
+) Với \[m = 0\;\] thì \[f\left( x \right) = - x - 1\] lấy cả giá trị âm và dương (ví dụ \[f\left( { - 2} \right) = 1\]) nên \[m = 0\;\] không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+) Với \[m \ne 0\] thì \[f\left( x \right) = m{x^2} - x - 1\] là tam thức bậc hai, do đó:
\[f\left( x \right) < 0,\,\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = m < 0\\\Delta = 1 + 4m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\m < \frac{{ - 1}}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow m < - \frac{1}{4}\].
Vậy với \[m < - \frac{1}{4}\] thì biểu thức \[f\left( x \right)\] luôn nhận giá trị âm.
Cho phương trình \(\sqrt {4x - 1} = 2x\). Tích các nghiệm của phương trình đã cho là
\(\frac{1}{2}\);
\(\frac{1}{4}\);
\( - \frac{1}{4}\);
\( - 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Xét phương trình \(\sqrt {4x - 1} = 2x\)
Bình phương hai vế của phương trình ta được: \(4x - 1 = 4{x^2}\)
\( \Rightarrow 4{x^2} - 4x + 1 = 0\)
\( \Rightarrow {\left( {2x - 1} \right)^2} = 0\)
\( \Rightarrow x = \frac{1}{2}\).
Thay \(x = \frac{1}{2}\) vào phương trình đã cho ta thấy thỏa mãn.
Vì vậy tích các nghiệm của phương trình là \(\frac{1}{2}\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:\frac{1}{2}y = 7x + 3\). Hệ số góc \(k\) của đường thẳng \(d\) là
\(k = 7\);
\(k = 14\);
\(k = \frac{7}{2}\);
\(k = \frac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \(d:\frac{1}{2}y = 7x + 3 \Leftrightarrow y = 14x + 6\).
Vì vậy hệ số góc của đường thẳng \(d\) là \(k = 14\).
Vectơ nào dưới đây là vectơ chỉ phương của đường thẳng song song với trục \[Ox\]?
\[{\vec u_1} = \left( {1;\,0} \right)\];
\[{\vec u_1} = \left( {0;\, - 1} \right)\];
\[{\vec u_1} = \left( {1;\,1} \right)\];
\[{\vec u_1} = \left( { - 1;\,1} \right)\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Trục \[Ox:\,y = 0\] có vectơ chỉ phương là \[\overrightarrow i = \left( {1;\,0} \right)\] nên một đường thẳng song song với \[Ox\] cũng có vectơ chỉ phương là \[{\vec u_1} = \left( {1;\,0} \right)\].
Khoảng cách từ điểm \(A\left( {1;1} \right)\) đến đường thẳng \(d:x - y + 3 = 0\) bằng
\(\frac{3}{{\sqrt 2 }}\);
\(\frac{3}{2}\);
\(3\);
\(\frac{5}{{\sqrt 2 }}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Khoảng cách từ điểm \(A\left( {1;1} \right)\) đến đường thẳng \(d:x - y + 3 = 0\) là:
\(d\left( {A;d} \right) = \frac{{\left| {1 - 1 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt 2 }}\).
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \[{d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t\\y = - 8 + 4t\end{array} \right.\] và \[\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t'\\y = - 2 - 2t'\end{array} \right.\].
Trùng nhau;
Vuông góc với nhau;
Song song;
Cắt nhau nhưng không vuông góc.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng \[{d_1}\] có vectơ chỉ phương \[{\vec u_1} = \left( { - 2;\,4} \right)\], lấy \[A\left( {2;\,8} \right) \in {d_1}\]
Đường thẳng \[{d_2}\] có vectơ chỉ phương \[{\vec u_2} = \left( {1;\, - 2} \right)\]
Ta có: \[\frac{1}{{ - 2}} = \frac{{ - 2}}{4}\] nên \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương
Ta lại có: \[A \in {d_2}\]
Do đó đường thẳng \[{d_1}\] trùng đường thẳng \[{d_2}\].
Với giá trị nào của \[m\] thì hai đường thẳng \[{d_1}:3x + 4y - 7 = 0\] và \[{d_2}:\left( {2m - 1} \right)x + {m^2}y - 2 = 0\] cắt nhau tại điểm \(\left( {1;1} \right)\)?
\(m = 1\) và \(m = - 3\);
\[m = 2\] và \(m = \frac{2}{3}\);
\[m = - 2\];
\[m = 2\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Để \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau thì \(\frac{{2m - 1}}{3} \ne \frac{{{m^2}}}{4} \Leftrightarrow 3{m^2} - 8m + 4 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m \ne \frac{2}{3}\end{array} \right.\)
Với điểm \(\left( {1;1} \right)\), có \[3.1 + 4.1 - 7 = 0\] nên điểm này thuộc đường thẳng \({d_1}\).
Do đó để \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau tại \(\left( {1;1} \right)\) thì điểm này cũng thuộc \({d_2}\) nên ta có \[\left( {2m - 1} \right).1 + {m^2}.1 - 2 = 0 \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 3\end{array} \right.\].
Vậy với \(m = 1\) và \(m = - 3\) thì hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau tại \(\left( {1;1} \right)\).
Đường thẳng nào sau đây không có điểm chung với đường thẳng \[d:x - 3y + 4 = 0\]?
\[d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 3t\end{array} \right.\];
\[d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = 2 + t\end{array} \right.\];
\[d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 2 + 3t\end{array} \right.\];
\[d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = 2 - t\end{array} \right.\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Để hai đường thẳng không có điểm chung thì \[d\,//\,d'\].
Ta có \[d:x - 3y + 4 = 0\] có VTPT \[{\vec n_d} = \left( {1;\, - 3} \right)\]
+) Xét \[d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 3t\end{array} \right.\] có vectơ pháp tuyến \[{\vec n_{d'}} = \left( {3;\, - 1} \right)\] \[ \Rightarrow {\vec n_d},\,{\vec n_{d'}}\] không cùng phương.
+) Xét \[d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = 2 + t\end{array} \right.\] có vectơ pháp tuyến \[{\vec n_{d'}} = \left( {1;\,3} \right)\] \[ \Rightarrow {\vec n_d},\,{\vec n_{d'}}\] không cùng phương.
+) Xét \[d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 2 + 3t\end{array} \right.\] có vectơ pháp tuyến \[{\vec n_{d'}} = \left( {3;\,1} \right)\] \[ \Rightarrow {\vec n_d},\,{\vec n_{d'}}\] không cùng phương.
+) Xét \[d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = 2 - t\end{array} \right.\] có vectơ pháp tuyến \[{\vec n_{d'}} = \left( {1;\, - 3} \right)\] \[ \Rightarrow {\vec n_d},\,{\vec n_{d'}}\] cùng phương. Lấy điểm \[A\left( {1;\,2} \right) \in d'\] nhưng \(A \notin d\). Do đó \(d\) và \(d'\) song song.
Phương trình nào dưới đây là phương trình đường tròn?
\({x^2} + {y^2} - 2x + 7y + 15 = 0\);
\({x^2} + 2{y^2} - 2x + 2y - 5 = 0\);
\(2{x^2} + 2{y^2} + 4x - 12y - 1 = 0\);
\({x^2} - {y^2} = 1\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có:
+) \({x^2} + {y^2} - 2x + 7y + 15 = 0\) có \(a = 1,b = - \frac{7}{2},c = 15\)
Khi đó \({a^2} + {b^2} - c = {1^2} + {\left( { - \frac{7}{2}} \right)^2} - 15 = - \frac{7}{4} < 0\). Do đó đây không phải là phương trình đường tròn.
+) \({x^2} + 2{y^2} - 2x + 2y - 5 = 0\) có hệ số của \({x^2}\) và \({y^2}\) không bằng nhau do đó đây không phải là phương trình đường tròn.
+) \(2{x^2} + 2{y^2} + 4x - 12y - 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2x - 6y - \frac{1}{2} = 0\) có \(a = - 1,b = 3,c = - \frac{1}{2}\). Khi đó \({a^2} + {b^2} - c = {\left( { - 1} \right)^2} + {3^2} - \left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{{21}}{2} > 0\). Do đó đây là phương trình đường tròn.
+) \({x^2} - {y^2} = 1\) có hệ số của \({x^2}\) và \({y^2}\) không bằng nhau do đó đây không phải là phương trình đường tròn.
Tọa độ tâm \[I\] và bán kính \[R\] của đường tròn \[\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 16\] là
\[I\left( { - 1;\,3} \right),\,R = 16\];
\[I\left( { - 1;\,3} \right),\,R = 4\];
\[I\left( {1;\, - 3} \right),\,R = 4\];
\[I\left( {1;\, - 3} \right),\,R = 16\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 16\] nên đường tròn \[\left( C \right)\] có tâm \[I\left( {1;\, - 3} \right)\] và \[R = \sqrt {16} = 4\]. Vậy nên chọn đáp án C.
Đường tròn \[\left( C \right)\] có tâm \[I\left( { - 2;\,1} \right)\] và tiếp xúc với đường thẳng \[d:3x - 4y + 5 = 0\] có phương trình là
\[{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\];
\[{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 4\];
\[{\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 1\];
\[{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = \frac{1}{{25}}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có đường tròn \[\left( C \right)\] có tâm \[I\left( { - 2;\,1} \right)\] và bán kính \[R = d\left( {I,\,d} \right) = \frac{{\left| { - 6 - 4 + 5} \right|}}{{\sqrt {9 + 16} }} = 1\].
\[ \Rightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\].
Cho phương trình \[{x^2} + {y^2} + 2mx + 2\left( {m - 1} \right)y + 2{m^2} = 0\left( * \right)\]. Tìm điều kiện của \[m\] để \[\left( * \right)\] là phương trình đường tròn?
\[m > 1\];
\[m > \frac{1}{2}\];
\[m < \frac{1}{2}\];
\[m = 1\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \[{x^2} + {y^2} + 2mx + 2\left( {m - 1} \right)y + 2{m^2} = 0\] có \[\left\{ \begin{array}{l}a = - m\\b = 1 - m\\c = 2{m^2}\end{array} \right.\]
Để \[\left( * \right)\] là phương trình đường tròn thì:
\[{a^2} + {b^2} - c > 0 \Rightarrow {m^2} + {\left( {1 - m} \right)^2} - 2{m^2} > 0 \Leftrightarrow - 2m + 1 > 0 \Leftrightarrow m < \frac{1}{2}\].
Dạng chính tắc của hypebol là?
\[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\];
\[y = p{x^2}\];
\[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\];
\[{y^2} = 2px\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Hypebol có dạng chính tắc là \[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\] với \[a,\,b > 0\].
Một Parabol \(\left( P \right):{y^2} = 2px\left( {p > 0} \right)\) có phương trình đường chuẩn là \(x + 1 = 0\). Giá trị của \(p\) bằng
\(1\);
\(2\);
\(4\);
\(\frac{1}{2}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Đường chuẩn của Parabol là: \(x + 1 = 0\) \( \Rightarrow \frac{p}{2} = 1 \Leftrightarrow p = 2\).
Cho điểm \[M\left( {5;\,8} \right)\] nằm trên parabol \[\left( P \right):{y^2} = \frac{{64}}{5}x\]. Tính độ dài \[FM\] biết \[F\] là tiêu điểm của parabol đó?
\[\frac{{41}}{{10}}\];
\[\frac{{41}}{5}\];
\[\frac{{51}}{5}\];
\[\frac{{57}}{5}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \[2p = \frac{{64}}{5} \Leftrightarrow p = \frac{{32}}{5} \Rightarrow \frac{p}{2} = \frac{{16}}{5}\]
Khi đó ta có tiêu điểm \[F\left( {\frac{{16}}{5};\,0} \right)\].
Với \[F\left( {\frac{{16}}{5};\,0} \right)\] và \[M\left( {5;\,8} \right)\], ta có \[\overrightarrow {FM} = \left( {\frac{9}{5};\,8} \right) \Rightarrow FM = \sqrt {{{\left( {\frac{9}{5}} \right)}^2} + {8^2}} = \frac{{41}}{5}\].
Cho Elip \[\left( E \right):9{x^2} + 16{y^2} = 144\;\], với \[M\] là điểm thuộc elip biết \[\widehat {{F_1}M{F_2}} = 60^\circ \]. Tính \[M{F_1}.M{F_2}\]?
\[12\];
\[9\];
\[15\];
\[1\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Ta có: \[9{x^2} + 16{y^2} = 144 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\].
Khi đó \[a = 4;\,b = 3;\,c = \sqrt 7 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{F_1}\left( { - \sqrt 7 ;\,0} \right)\\{F_2} = \left( {\sqrt 7 ;\,0} \right)\\{F_1}{F_2} = 2c = 2\sqrt 7 \\M{F_1} + M{F_2} = 8\end{array} \right.\]
Áp dụng định lí cosin trong tam giác \[M{F_1}{F_2}\] ta có:
\[{F_1}{F_2}^2 = M{F_1}^2 + M{F_2}^2 - 2M{F_1}.{\rm{ }}M{F_2}.cos\widehat {{F_1}M{F_2}}\]
\[ \Leftrightarrow 28 = M{F_1}^2 + M{F_2}^2 - 2M{F_1}.M{F_2}.cos60^\circ \]
\[ \Leftrightarrow \;28 = M{F_1}^2 + M{F_2}^2 - M{F_1}.M{F_2}\]
\[ \Leftrightarrow M{F_1}^2 + M{F_2}^2 + 2M{F_1}.M{F_{2\;}} - 3M{F_1}.M{F_2} = 28\]
\[ \Leftrightarrow {\left( {M{F_1} + M{F_2}} \right)^{2\;}} - 3M{F_1}.M{F_2} = 28\]
\[ \Leftrightarrow 64 - 3M{F_1}.M{F_2} = 28\]
\[ \Leftrightarrow M{F_1}.M{F_2} = 12\].
Một lớp có \[23\] học sinh nữ và \[17\] học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một học sinh tham gia cuộc thi tìm hiểu môi trường?
\[17\];
\[23\];
\[391\];
\[40\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Chọn một học sinh nữ có \[23\] cách;
Chọn một học sinh nam có \[17\] cách.
Theo quy tắc cộng có: \[23 + 17 = 40\] cách chọn một học sinh tham gia cuộc thi môi trường.
Một túi có \[20\] viên bi khác nhau trong đó có \[7\] bi đỏ, \[8\] bi xanh và \[5\] bi vàng. Số cách lấy hai viên bi khác màu là
\[40\];
\[131\];
\[2345\];
\[78400\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Muốn lấy được hai viên bi khác màu từ trong túi đã cho xảy ra các trường hợp sau:
+) Lấy một bi đỏ và một bi xanh: có \[7\] cách để lấy một bi đỏ và \[8\] cách để lấy một bi xanh. Do đó có \[7.8 = 56\] cách lấy.
+) Lấy một bi đỏ và một bi vàng: có \[7\] cách lấy một bi đỏ và \[5\] cách lấy một bi vàng. Do đó co \[7.5 = 35\] cách lấy.
+) Lấy một bi xanh và một bi vàng: có \[8\] cách để lấy một bi xanh và \[5\] cách để lấy một bi vàng. Do đó có \[8.5 = 40\] cách để lấy.
Áp dụng quy tắc cộng cho 3 trường hợp trên, ta có \[56 + 35 + 40 = 131\] cách.
Sắp xếp \[5\] học sinh lớp A và \[5\] học sinh lớp B vào hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy \[5\] ghế sao cho hai học sinh ngồi đối diện nhau thì khác lớp. Khi đó số cách xếp là
\[14\,\,400\];
\[3\,\,628\,\,800\];
\[460\,\,800\];
\[480\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Vì hai học sinh ngồi đối diện nhau thì khác lớp nên mỗi cặp ghế đối diện nhau sẽ được xếp bởi một học sinh lớp A và một học sinh lớp B.
Số cách xếp \[5\] học sinh lớp A vào \[5\] cặp ghế là \[5!\] cách. Số cách xếp \[5\] học sinh lớp B vào \[5\] cặp ghế là \[5!\] cách. Số cách xếp chỗ ở mỗi cặp ghế là 2 cách.
Theo quy tắc nhân thì có \[{\left( {5!} \right)^2}{.2^5} = 460\,\,800\] cách.
Cho tập hợp \[A\] có \[n\] phần tử\[\left( {n \in \mathbb{N},\,n \ge 2} \right)\], \[k\] là số nguyên thỏa mãn \[0 \le k \le n\]. Số các chỉnh hợp chập \[k\] của \[n\] phần tử trên là?
\[\frac{{n!}}{{k!}}\];
\[\frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\];
\[\frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\];
\[k!\left( {n - k} \right)!\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Một chỉnh hợp chập \[k\] của \[n\] là một cách sắp xếp có thứ tự \[k\] phần tử từ một tập hợp \[n\] phần tử (với \[k,\,n\] là các số tự nhiên, \[1 \le k \le n\]).
Số các chỉnh hợp chập \[k\] của \[n\], kí hiệu là \[A_n^k\], được tính bằng công thức: \[A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}\].
Cho tập \[A\] có \[2\] phần tử. Số tập con của \[A\] có \[2\] phần tử là:
\[C_{20}^2\];
\[A_{20}^2\];
\[{2^{20}}\];
\[{20^2}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Lấy \[2\] phần tử trong \[20\] phần tử có \[C_{20}^2\] cách.
Vậy tập hợp \[A\] có \[C_{20}^2\] tập con có \[2\] phần tử.
Sắp xếp năm bạn học sinh An, Bình, Chi, Dũng, Lệ vào một chiếc ghế dài có \[5\] chỗ ngồi. Số cách sắp xếp sao cho bạn Chi luôn ngồi chính giữa là?
\[16\];
\[24\];
\[60\];
\[120\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Xếp bạn Chi ngồi giữa có \[1\] cách.
Số cách xếp bốn bạn An, Bình, Dũng, Lệ vào \[4\] chỗ còn lại là một hoán vị của \[4\] phần tử nên có: \[4! = 24\] cách.
Vậy có: \[1.24 = 24\] cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Có \[3\] viên bi đen khác nhau, \[4\] viên bi đỏ khác nhau, \[5\] viên bi xanh khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các viên bi trên thành một dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau?
\[345\,\,600\];
\[12!\];
\[103\,\,680\];
\[17\,\,280\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Số các hoán vị về màu bi khi xếp thành dãy là: \[3!\];
Số cách xếp \[3\] viên bi đen khác nhau thành dãy là: \[3!\];
Số cách xếp \[4\] viên bi đỏ khác nhau thành dãy là \[4!\];
Số cách xếp \[5\] viên bi xanh khác nhau thành dãy là \[5!\];
Vậy nên số cách xếp các viên bi trên thành một dãy sao cho các viên bi cùng màu ở cạnh nhau là \[3!.3!.4!.5! = 103\,\,680\] cách.
Tổng số mũ của \[a\] và \[b\] trong mỗi hạng tử khi khai triển biểu thức \[{\left( {a + b} \right)^5}\] bằng?
\[2\];
\[3\];
\[5\];
\[10\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Tổng số mũ của \[a\] và \[b\] trong mỗi hạng tử khi khai triển \[{\left( {a + b} \right)^5}\] bằng \[5\].
Hệ số của \[{x^2}\] trong khai triển \[{\left( {x + 1} \right)^5}\] là?
\[1\];
\[5\];
\[10\];
\[2\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Khai triển nhị thức ta được: \[{\left( {x + 1} \right)^5} = {x^5} + 5{x^4} + 10{x^3} + 10{x^2} + 5x + 1\].
Hệ số của \[{x^2}\] là \[10\].
Số hạng chứa \[{x^2}\] trong khai triển \[{\left( {\frac{1}{x} + {x^3}} \right)^{n + 1}}\] với \[x \ne 0\], biết \[n\] là số nguyên dương thỏa mãn \[3C_{n + 1}^2 + n{P_2} = 4A_n^2\].
\[4{x^2}\];
\[4\];
\[6{x^2}\];
\[4.\frac{1}{{{x^2}}}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Từ phương trình:
\[3C_{n + 1}^2 + n{P_2} = 4A_n^2\]
\[ \Leftrightarrow 3.\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{2\left( {n - 1} \right)!}} + 2n = 4.\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}}\]
\[ \Leftrightarrow 3.\frac{{\left( {n + 1} \right).n.\left( {n - 1} \right)!}}{{\left( {n - 1} \right)!}} + 4n = 8.\frac{{n.\left( {n - 1} \right).\left( {n - 2} \right)!}}{{\left( {n - 2} \right)!}}\]
\[ \Leftrightarrow 3n.\left( {n + 1} \right) + 4n = 8n.\left( {n - 1} \right)\]
\[ \Leftrightarrow 5{n^2} - 15n = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 0\\n = 3\left( {tmdk} \right)\end{array} \right.\]
Với \[n = 3\], ta có:
\[{\left( {\frac{1}{x} + {x^3}} \right)^{n + 1}} = {\left( {\frac{1}{x} + {x^3}} \right)^4}\]
\[ = {\left( {\frac{1}{x}} \right)^4} + 4x{\left( {\frac{1}{x}} \right)^3} + 6{x^2}{\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + 4{x^3}\left( {\frac{1}{x}} \right) + {x^4}\]
\[ = \frac{1}{{{x^4}}} + 4.\frac{1}{{{x^2}}} + 6 + 4{x^2} + {x^4}\].
Vậy số hạng chứa \[{x^2}\] là: \[4{x^2}\].
Tính giá trị của biểu thức \[T = C_4^0 + \frac{1}{2}C_4^1 + \frac{1}{4}C_4^2 + \frac{1}{8}C_4^3 + \frac{1}{{16}}C_4^4\]?
\[\frac{3}{2}\];
\[\frac{9}{{16}}\];
\[\frac{{27}}{{16}}\];
\[\frac{{81}}{{16}}\].
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
\[T = C_4^0 + \frac{1}{2}C_4^1 + \frac{1}{4}C_4^2 + \frac{1}{8}C_4^3 + \frac{1}{{16}}C_4^4\]
\[ = C_4^0{.1^4}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^0} + C_4^1{.1^3}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^1} + C_4^2{.1^2}.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + C_4^3.1.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} + C_4^4{\left( {\frac{1}{2}} \right)^4}\]
\[ = {\left( {1 + \frac{1}{2}} \right)^4} = \frac{{81}}{{16}}\].
Chọn ngẫu nhiên một gia đình có hai người con và quan sát giới tính của ba người con. Sơ đồ cây nào dưới đây mô tả các phần không gian mẫu?
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: A
Sơ đồ cây mô tả các phần tử của không gian mẫu là:
Gieo hai con xúc xắc cân đối. Xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc không lớn hơn 4 là
\(\frac{1}{7}\);
\(\frac{1}{6}\);
\(\frac{1}{8}\);
\(\frac{2}{9}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: B
Không gian mẫu của biến cố là: \(n\left( \Omega \right) = 6.6 = 36\).
Gọi \(A\): “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc không lớn hơn 4”.
Các kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) là: \(A = \left\{ {\left( {1;1} \right);\,\,\left( {1;2} \right);\,\left( {2;1} \right);\,\,\,\left( {1;3} \right);\,\,\left( {3;1} \right);\,\,\left( {2;2} \right)} \right\}\).
\( \Rightarrow n\left( A \right) = 6\)
\( \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}\).
Một tổ trong lớp 10T có \(4\) bạn nữ và \(3\) bạn nam. Giáo viên chọn ngẫu nhiên hai bạn trong tổ đó tham gia đội làm báo của lớp. Xác suất để hai bạn được chọn có một bạn là nam và một bạn là nữ là
\(\frac{2}{7}\);
\(\frac{1}{6}\);
\(\frac{2}{{21}}\);
\(\frac{4}{7}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: D
Ta có: \(n\left( \Omega \right) = C_7^2 = 21\).
Gọi \(A\) là biến cố “hai bạn được chọn có một bạn là nam và một bạn là nữ”.
Khi đó \(n\left( A \right) = C_4^1.C_3^1 = 12\).
\( \Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{12}}{{21}} = \frac{4}{7}\).
Cho các số \(2;\,\,3;\,\,5;\,\,7;\,\,8;\,\,9\). Tập \(M\) là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số khác nhau được lấy từ các số đã cho. Chọn ngẫu nhiên một số trong tập \(M\). Gọi \(A\) là biến cố: “Số được chọn nhỏ hơn \(432\)”. Biến cố đối của biến cố \[A\] là
\(\overline A :\)”Số được chọn lớn hơn \(432\)”;
\(\overline A :\)”Số được chọn khác \(432\)”;
\(\overline A :\)”Số được chọn lớn hơn hoặc bằng \(432\)”;
\(\overline A :\)”Số được chọn lớn hơn hoặc bằng \(432\)”;
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: C
Biến cố đối của biến cố \[A\] là \(\overline A :\)”Số được chọn lớn hơn hoặc bằng \(432\)”.
II. PHẦN TỰ LUẬN
a) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \[\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 9\]. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn \[\left( C \right)\] biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \[y = 2x - 1\].
b) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {4; - 1} \right)\), phương trình đường cao kẻ từ \(B\) là \(\Delta :2x - 3y = 0\), phương trình trung tuyến đi qua đỉnh \(C\) là \(\Delta ':2x + 3y = 0\). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.
Hướng dẫn giải
Gọi phương trình tiếp tuyến \[\left( \Delta \right)\] song song với đường thẳng \[y = 2x - 1\] là \[y - 2x + c = 0\].
Đường tròn \[\left( C \right)\] có tâm \[I\left( {1;\,0} \right)\] và bán kính \[R = 3\].
Theo giả thiết, ta có: \[d\left( {I;\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {n - 2} \right|}}{{\sqrt 5 }} = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 2 - 3\sqrt 5 \\c = 2 + 3\sqrt 5 \end{array} \right.\]
Vậy phương trình tiếp tuyến \[\left( \Delta \right)\] là \[y - 2x + 2 - 3\sqrt 5 = 0\] hoặc \[y - 2x + 2 + 3\sqrt 5 = 0\].
b) Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) nên \(M \in \Delta '\).
Đặt: \(M\left( {3t; - 2t} \right)\).
\( \Rightarrow B\left( {6t - 4; - 4t + 1} \right)\)
Mặt khác \(B \in \Delta \) nên ta có: \(2\left( {6t - 1} \right) - 3\left( { - 4t + 4} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow 24t - 11 = 0\)
\( \Leftrightarrow t = \frac{{11}}{{24}}\)
\( \Rightarrow B\left( { - \frac{5}{4}; - \frac{5}{6}} \right)\).
Đường thẳng \(\Delta :2x - 3y = 0\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {2; - 3} \right)\) nên có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u \left( {3;2} \right)\).
Vì \(\Delta \bot AC\) nên đường thẳng \(AC\) nhận \(\overrightarrow u \left( {3;2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến và có phương trình là: \(3\left( {x - 4} \right) + 2\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y - 10 = 0\).
Tọa độ điểm \(C\) là giao điểm của \(AC\) và \(\Delta '\) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 0\\3x + 2y - 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = - 4\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {6; - 4} \right)\).
Lập được bao nhiêu số tự nhiên có \[3\] chữ số khác nhau từ tập \[A = \left\{ {1;\,2;\,3;\,4;\,5} \right\}\] sao cho mỗi số lập được luôn có mặt chữ số \[3\]?
Hướng dẫn giải
Gọi số tạo thành có dạng \[x = \overline {abc} \] với \[a,\,b,\,c\] đôi một khác nhau và lấy từ \[A\].
Chọn một vị trí \[a,\,b\] hoặc \[c\] cho số \[3\] có \[3\] cách chọn.
Chọn hai chữ số khác \[3\] từ \[A\] và sắp xếp vào hai vị trí còn lại của \[x\] có \[A_4^2\] cách chọn.
Theo quy tắc nhân có: \[3.A_4^2 = 36\] cách chọn.
Mỗi cách sắp xếp như trên cho ta một số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy có \[36\] số cần tìm.
Có \[30\] tấm thẻ đánh số từ \[1\] đến \[30\]. Chọn ngẫu nhiên ra \[10\] tấm thẻ. Tìm xác suất để có \[\;5\] tấm thẻ mang số lẻ và \[\;5\] tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng một tấm thẻ chia hết cho \[10\]?
Hướng dẫn giải
Vì chọn \[10\] tấm thẻ trong \[30\] tấm thẻ nên số phần tử của không gian mẫu là: \[n\left( \Omega \right) = \;C_{30}^{10} = 30045015\].
Gọi \[A\] là biến cố lấy được \[5\] tấm thẻ mang số lẻ và \[5\] tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng một tấm thẻ chia hết cho \[10\].
Công đoạn 1, vì có \[15\] tấm thẻ đánh số lẻ và chỉ lấy ra \[5\] tấm thẻ nên có: \[C_{15}^5\; = 3\,\,003\] (cách).
Công đoạn 2, lấy \[5\] tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng một tấm thẻ chia hết cho \[10\], trong đó có \[3\] tấm thẻ đánh số chia hết cho \[10\] và lấy ra một tấm thẻ, có \[12\] tấm thẻ còn lại đánh số chẵn và lấy ra \[4\] tấm thẻ nên ta có: \[C_3^1.C\;_{12}^4 = 1485\] (cách).
Số phần tử của biến cố \[A\] là: \[3\,\,003.1\,\,485 = 4\,\,459\,\,455\] (cách).
Vậy xác suất của biến cố \[A\] là: \[P\left( A \right) = \;\frac{{4459455}}{{30045015}} = \frac{{99}}{{667}}\].
