Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 01

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Biểu thức \(\sqrt {x - 3} \) có nghĩa khi \(x - 3 \ge 0\), tức là khi \(x \ge 3\).

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là \(D = \left[ {3; + \infty } \right)\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Hàm số có trục đối xứng là: \(x =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{2}{{2.1}} =  - 1\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì Parabol có bề lõm quay lên trên nên \(a > 0\).

Suy ra đáp án C, D sai.

Xét đáp án A: Ta gọi I là đỉnh của Parabol vậy

 \({x_I} =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{{\left( { - 4} \right)}}{{2.1}} = 2;\,{y_I} = {2^2} - 4.2 - 1 =  - 5\) Vậy đỉnh \(I(2; - 5)\)

Suy ra đáp án A sai.

Xét đáp án B: Ta gọi I là đỉnh của Parabol vậy

 \({x_I} =  - \frac{b}{{2a}} =  - \frac{{\left( { - 4} \right)}}{{2.1}} = 2;\,{y_I} = {2^2} - 4.2 + 3 =  - 1\) Vậy đỉnh \(I(2; - 1)\)

Trục đối xứng \(x = 2\).

Giao điểm của đồ thị với trục \(Oy\) là \(A\left( {0;3} \right)\).

Parabol cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ là ngiệm của phương trình \({x^2} - 4x + 3 = 0\) tức là \(x = 1\) và \(x = 3\).

Suy ra đáp án B đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Dễ thấy \(f\left( x \right) =  - {x^2} + 4x + 5\) có \(\Delta  = 36 > 0,\,a =  - 1 < 0\)và có hai nghiệm phân biệt \({x_1} =  - 1;\,{x_2} = 5\). Do đó ta có bảng xét dấu \(f\left( x \right)\):

Suy ra \(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left( { - 1;5} \right)\) và \(f\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)\).

Vậy đáp án đúng là A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta thức \(f\left( x \right) = {x^2} + x - 6\) có \(\Delta  = 25 > 0,\,a = 1 > 0\) nên \(f\left( x \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = 2;\,{x_2} =  - 3\). Do đó ta có bảng xét dấu \(f\left( x \right)\):

Tập nghiệm \(S\) của bất phương trình là: \(S = \left[ { - 3;2} \right]\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Bình phương hai vế của phương trình ta được

\(2{x^2} + 5 = {x^2} + 4x + 4\)

Sau khi thu gọn ta được \({x^2} - 4x + 1 = 0\)

Từ đó ta tìm được \(x = 2 + \sqrt 3 \) hoặc \(x = 2 - \sqrt 3 \)

Thay lần lượt hai giá trị của \(x\) vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thoả mãn.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có phương trình đường thẳng \(x + 2y - 3 = 0\) nhận \(\overrightarrow n \left( {1;2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là : D

Phương trình đường thẳng \(AB\) đi qua \(A\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB}  = \left( {0;6} \right)\) do đó có phương trình tham số là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  - 1 + 6t\end{array} \right.\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

\[d:y = 3x - 2 \Leftrightarrow 3x - y - 2 = 0\] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n  = \left( {3; - 1} \right)\].

+ Đường thẳng \(d\) và đường thẳng \( - 3x + y = 0\) có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow n \left( {3; - 1} \right);\,\overrightarrow {{n_1}} \left( { - 3;1} \right)\) cùng phương do đó chúng song song hoặc trùng nhau. Mặt khác, điểm \(O\left( {0;0} \right)\) thuộc đường thẳng \( - 3x + y = 0\) nhưng không thuộc \(d\) nên hai đường thẳng này song song với nhau.

+ Đường thẳng \(d\) và đường thẳng \[3x - y = 3\] có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow n \left( {3; - 1} \right);\,\overrightarrow {{n_1}} \left( {3; - 1} \right)\) cùng phương do đó chúng song song hoặc trùng nhau. Mặt khác, điểm \(A\left( {1; - 3} \right)\) thuộc đường thẳng \(3x - y - 6 = 0\) nhưng không thuộc \(d\) nên hai đường thẳng này song song với nhau.

+ Đường thẳng \(d\) và đường thẳng \(3x - y + 6 = 0\) có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow n \left( {3; - 1} \right);\,\overrightarrow {{n_1}} \left( {3; - 1} \right)\) cùng phương do đó chúng song song hoặc trùng nhau. Mặt khác, điểm \(A\left( {1;9} \right)\) thuộc đường thẳng \(3x - y + 6 = 0\) nhưng không thuộc \(d\) nên hai đường thẳng này song song với nhau.

+ Đường thẳng \(d\) và đường thẳng \[3x + y = 0\] có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow n \left( {3; - 1} \right);\,\overrightarrow {{n_1}} \left( {3;1} \right)\)không cùng phương. Do đó đường thẳng \[3x + y - 6 = 0\] không song song với đường thẳng \[d\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng \[{d_1}:2x + 3y + 15 = 0\]có vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2;3} \right)\].

Đường thẳng \[{d_2}:x - 2y - 3 = 0\] có vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1; - 2} \right)\]

Ta có:

\(\frac{2}{1} \ne \frac{3}{{ - 2}}\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) không cùng phương nên hai đường thẳng cắt nhau.

Ta lại có: \[\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 2.1 + 3.( - 2) =  - 4 \ne 0\].

Vậy \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau và không vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: \(M(4;2) \in d \Leftrightarrow 4 + 2b + c = 0 \Rightarrow c =  - 4 - 2b.\)

\(d(A,d) = \frac{{\left| {1 + c} \right|}}{{\sqrt {1 + {b^2}} }} = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}} \Leftrightarrow 10{(1 + c)^2} = 9(1 + {b^2})\)(1)

Thay \(c =  - 4 - 2b\) vào phương trình (1) ta có: \[31{b^2} + 120b + 81 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b =  - 3\\b =  - \frac{{27}}{{31}}\end{array} \right.\]

Vì \(b\) là số nguyên nên \(b =  - 3,c = 2 \Rightarrow b + c =  - 1\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

\[\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:\left( {m - 3} \right)x + 2y + {m^2} - 1 = 0\\{d_2}: - x + my + {m^2} - 2m + 1 = 0\end{array} \right.\].

Trường hợp 1: \(m = 0\) ta có \({d_1}: - 3x + 2y - 1 = 0;\,{d_2}: - x + 1 = 0\) có hai vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} \left( { - 3;2} \right);\overrightarrow {{n_2}} \left( { - 1;0} \right)\) không cùng phương nên \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau.

Vậy với \(m = 0\) thoả mãn

Trường hợp 2: \(m \ne 0\) thì \({d_1}\) và \({d_2}\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} \left( {m - 3;2} \right);\overrightarrow {{n_2}} \left( { - 1;m} \right)\) để \({d_1}\) và \({d_2}\) cắt nhau thì \(\frac{{m - 3}}{{ - 1}} \ne \frac{2}{m} \Leftrightarrow {m^2} - 3m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ne 2\end{array} \right.\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Để là phương trình đường tròn thì điều kiện cần là hệ số của \({x^2}\) và \({y^2}\) phải bằng nhau nên loại được đáp án A và D.

Xét đáp án C: \({x^2} + {y^2} - 2x - 8y + 20 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + 3 = 0\) vô lý.

Xét đáp án B: \({x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 12 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 25\) là phương trình đường tròn tâm \(I\left( {2; - 3} \right)\), bán kính \(R = 5\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có phương trình đường tròn là:

\(\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 4x + 6y - 12 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 25\).

Vậy tâm đường tròn là: \(I\left( { - 2; - 3} \right)\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Do tâm \[I\] nằm trên đường thẳng \[y =  - x \Rightarrow I\left( {a;\, - a} \right) & \], điều kiện \[a > 0\].

Đường tròn \[\left( S \right)\] có bán kính \[R = 3\] và tiếp xúc với các trục tọa độ nên:

\[d\left( {I;\,Ox} \right) = d\left( {I;\,Oy} \right) = 3 \Leftrightarrow \left| a \right| = 3 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 3\\a =  - 3\end{array} \right.\].

Vì \(a > 0\) nên \(a = 3\) thoả mãn, suy ra tâm \(I\left( {3; - 3} \right)\).

Vậy Phương trình đường tròn \(\left( S \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

\(\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x - 4y + 3 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 2\).

Do đó đường tròn có tâm \(I = \left( {1;\,2} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 2 \).

Do \(d\) song song với đường thẳng \(\Delta \) nên \(d\) có phương trình là \(3x + 4y + k = 0\), \(\left( {k \ne 1} \right)\).

Ta có:

 \(d\left( {I;\,d} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {11 + k} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \sqrt 2  \Leftrightarrow \left| {11 + k} \right| = 5\sqrt 2  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}11 + k = 5\sqrt 2 \\11 + k =  - 5\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 5\sqrt 2  - 11\\k =  - 5\sqrt 2  - 11\end{array} \right.\).

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(3x + 4y + 5\sqrt 2  - 11 = 0\), \(3x + 4y - 5\sqrt 2  - 11 = 0\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

\(\left( E \right):4{x^2} + 9{y^2} = 36 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\)

Suy ra: \(a = 3,b = 2,c = \sqrt 5 \)

Do đó tỉ số \(\frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\) nên đáp án A đúng

Độ dài trục lớp \(2a = 6\)nên đáp án B đúng

Độ dài trục nhỏ \(2b = 4\) nên đáp án C đúng.

Tiêu cự của \(\left( E \right)\) là \(2c = 2\sqrt 5 \) đáp án D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\) có \(a = 5;\,\,\,b = 4\)

\( \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt {{5^2} + {4^2}}  = \sqrt {41} \)

Vậy tiêu cự \(2c = 2\sqrt {41} \).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là : B

Gọi phương trình chính tắc của Hypebol cần tìm là: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\left( {a,b > 0} \right)\)

Ta có điểm \(M\left( {1;\,0} \right)\) thuộc Hypebol nên thay \(x = 1\) và \(y = 0\) vào phương trình trên ta được: \(\frac{{{1^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\, \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} = 1 \Leftrightarrow {a^2} = 1 \Leftrightarrow a = 1\) (vì \(a > 0\)).

Mặt khác ta có \(\frac{c}{a} = \sqrt 5  \Rightarrow c = \sqrt 5 .a = \sqrt 5 \).

Do đó \(b = \sqrt {{c^2} - {a^2}}  = \sqrt {5 - 1}  = 2\).

Vậy phương trình chính tắc của Hypebol là \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{1} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét hệ trục \[Oxy\] như hình vẽ

Khi đó Elip có độ dài nửa trục lớn \(a = 30\), nửa độ dài trục bé \(b = 15\) nên đường tròn có bán kính \(R = 15\).

Diện tích đường tròn \({S_{\left( C \right)}} = \pi {R^2} = \pi {15^2} = 225\pi \).

Diện tích nửa bên ngoài trồng hoa màu là

\(S = {S_{\left( E \right)}} - {S_{\left( C \right)}} = 450\pi  - 225\pi  = 225\pi \)

Vậy tỉ số \(T = \frac{{225\pi }}{{225\pi }} = 1\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Việc chọn một đồ vật duy nhất được chia thành \(3\) phương án:

Phương án 1: Chọn một cây bút chì thì sẽ có \[8\] cách.

Phương án 2: Chọn một cây bút bi thì sẽ có \[6\] cách.

Phương án 3: Chọn một cuốn tập thì sẽ có \[10\] cách.

Theo quy tắc cộng, ta có \[8 + 6 + 10 = 24\]cách chọn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Các số bé hơn \[100\] chính là các số có một chữ số và hai chữ số được hình thành từ tập \[A = \left\{ {3;{\rm{ 4}};{\rm{ 6}};{\rm{ 7}};{\rm{ 8}};{\rm{ 9}}} \right\}.\] Từ tập \[A\] có thể lập được \[6\] số có một chữ số.

Gọi số có hai chữ số có dạng \[\overline {ab} \] với \[\left( {a,b} \right) \in A.\]

Trong đó:

\[a\] có \[6\] cách chọn (vì \(a\) có thể chọn một trong các số  \[3;{\rm{ 4}};{\rm{ 6}};{\rm{ 7}};{\rm{ 8}};{\rm{ 9}}\]);

\[b\] có \[6\] cách chọn (vì \(b\) có thể chọn một trong các số  \[3;{\rm{ 4}};{\rm{ 6}};{\rm{ 7}};{\rm{ 8}};{\rm{ 9}}\]).

Như vậy, ta có \[6.6 = 36\] số có hai chữ số.

Vậy, từ \[A\] có thể lập được \[36 + 6 = 42\] số tự nhiên bé hơn \[100\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi \(\overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}{a_5}{a_6}} \) là số cần tìm

Ta có \({a_6} \in \left\{ {1;\,3;\,5} \right\}\) và \(\left( {{a_1} + {a_2} + {a_3}} \right) - \left( {{a_4} + {a_5} + {a_6}} \right) = 1\)

Với \({a_6} = 1\) thì \(\left( {{a_1} + {a_2} + {a_3}} \right) - \left( {{a_4} + {a_5}} \right) = 2\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1};\,{a_2};\,{a_3} \in \left\{ {2;3;6} \right\}\\{a_4};\,{a_5} \in \left\{ {4;\,5} \right\}\end{array} \right.\)

hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1};\,{a_2};\,{a_3} \in \left\{ {2;\,4;\,5} \right\}\\{a_4};\,{a_5} \in \left\{ {3;\,6} \right\}\end{array} \right.\)

Với \({a_6} = 3\) thì \(\left( {{a_1} + {a_2} + {a_3}} \right) - \left( {{a_4} + {a_5}} \right) = 4\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1};\,{a_2};\,{a_3} \in \left\{ {2;\,4;\,5} \right\}\\{a_4};\,{a_5} \in \left\{ {1;\,6} \right\}\end{array} \right.\)

hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1};\,{a_2};\,{a_3} \in \left\{ {1;\,4;\,6} \right\}\\{a_4};\,{a_5} \in \left\{ {2;\,5} \right\}\end{array} \right.\)

Với \({a_6} = 5\) thì \(\left( {{a_1} + {a_2} + {a_3}} \right) - \left( {{a_4} + {a_5}} \right) = 6\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1};\,{a_2};\,{a_3} \in \left\{ {2;\,3;\,6} \right\}\\{a_4};\,{a_5} \in \left\{ {1;\,4} \right\}\end{array} \right.\)

hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}{a_1};\,{a_2};\,{a_3} \in \left\{ {1;\,4;\,6} \right\}\\{a_4};\,{a_5} \in \left\{ {2;\,3} \right\}\end{array} \right.\)

Mỗi trường hợp có \(3!.2! = 12\) số thỏa mãn yêu cầu

Vậy có tất cả \(6.12 = 72\) số cần tìm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta chọn ba điểm bất kỳ trong tám điểm sẽ được một tam giác.

Vậy có \(C_8^3 = 56\) tam giác.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Mỗi cách sắp xếp \(6\) học sinh theo một hàng dọc là số hoán vị của \(6\) phần tử.

Vậy có \({P_6} = 6! = 720\) cách.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Chọn \(5\) học sinh bất kỳ từ tổ \(11\) học sinh có số cách chọn là: \(C_{11}^5\).

Số cách chọn \(5\) học sinh mà chỉ toàn nữ hoặc toàn nam là: \(C_5^5 + C_6^5\).

Số cách chọn ngẫu nhiên \(5\) học sinh của tổ trong đó có cả học sinh nam và học sinh nữ là \(C_{11}^5 - \left( {C_5^5 + C_6^5} \right) = 455\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi số vận động viên nam là \(n\) (vận động viên) \(\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\).

Số ván các vận động viên nam chơi với nhau là \(2.C_n^2 = n(n - 1)\).

Số ván các vận động viên nam chơi với các vận động viên nữ là \(C_2^1.C_n^2.2 = 4n\).

Khi đó ta có \(n\left( {n - 1} \right) - 4n = 84 \Rightarrow n = 12\) (loại \(n =  - 7\)).

Vậy tổng số ván các vận động viên chơi là \(2.C_{14}^2 = 182\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: \[{\left( {a + b} \right)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}\].

Do vậy có tất cả \[5\] số hạng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

\[{\left( {3x + 4} \right)^5} = C_5^0{\left( {3x} \right)^5} + C_5^1{\left( {3x} \right)^4}.4 + C_5^2{\left( {3x} \right)^3}{.4^2} + C_5^3{\left( {3x} \right)^2}{.4^3} + C_5^4{\left( {3x} \right)^1}{.4^4} + C_5^5{.4^5}\]\[ = 243{x^5} + 1620{x^4} + 4320{x^3} + 5760{x^2} + 3840x + 1024\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta xét khai triển \({\left( {\frac{3}{x} + 2x} \right)^4}\) ( với \(x \ne 0\)) có số hạng tổng quát là

\({\left( {\frac{3}{x} + 2x} \right)^4} = C_4^0.{\left( {\frac{3}{x}} \right)^4} + C_4^1.{\left( {\frac{3}{x}} \right)^3}.\left( {2x} \right) + C_4^2.{\left( {\frac{3}{x}} \right)^2}.{\left( {2x} \right)^2} + C_4^3.\left( {\frac{3}{x}} \right).{\left( {2x} \right)^3} + C_4^4.{\left( {2x} \right)^4}\)

\( = \frac{{81}}{{{x^4}}} + \frac{{216}}{{{x^2}}} + 216 + 96{x^2} + 16{x^4}\).

Vậy số hạng không chứa \[x\] trong khai triển là \[216\].

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có \({\left( {n - 3x} \right)^4} = C_4^0.{n^4} - C_4^1.{n^3}.\left( {3x} \right) + C_4^2.{n^2}.{\left( {3x} \right)^2} + C_4^3.n.{\left( {3x} \right)^3} + C_4^4.{\left( {3x} \right)^4}\)

\( = {n^4} - 12{n^3}x + 54{n^2}{x^2} + 108n{x^3} + 81{x^4}\)

Vì hệ số của \({x^2}\) là \(108\) nên ta có: \(54{n^2} = 108 \Leftrightarrow {n^2} = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = \sqrt 2 \\n =  - \sqrt 2 \end{array} \right.\).

Vì \(n\) không âm nên \(n = \sqrt 2 \).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Mỗi lần gieo đồng tiền có hai trường hợp có thể xảy ra là sấp hoặc ngửa.

Vậy \(n\left( \Omega  \right) = 2.2.2 = 8\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Số phần tử của không gian mẫu:\(n\left( \Omega  \right) = 6\).

Biến cố xuất hiện mặt chẵn: \[A = \left\{ {2;4;6} \right\}\].

Suy ra số phần tử của biến cố \(A\) là: \(n\left( A \right) = 3\).

Vậy \[P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0,5\].

Đáp án đúng là: B

Số phần tử của không gian mẫu: \(n\left( \Omega  \right) = C_{10}^2 = 45\).

Gọi \(A\)  là biến cố: “\(2\) người được chọn có đúng một người nữ”.

Suy ra số phần tử của biến cố \(A\) là: \(n\left( A \right) = C_3^1.C_7^1 = 21\).

Vậy \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{21}}{{45}} = \frac{7}{{15}}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Số phần tử của không gian mẫu là \[n\left( \Omega  \right) = C_{13}^4 = 715\].

Gọi \(A\) là biến cố \(''\)\(4\) người được chọn có ít nhất \(3\) nữ\(''\). Ta có hai trường hợp thuận lợi cho biến cố \(A\) như sau:

Trường hợp 1: Chọn \(3\) nữ và \(1\) nam, có \[C_8^3C_5^1\] cách.

Trường hợp 2: Chọn cả \(4\) nữ, có \[C_8^4\] cách.

Suy ra số phần tử của biến cố \(A\) là \[n\left( A \right) = C_8^3C_5^1 + C_8^4 = 350\].

Vậy xác suất của biến cố \(A\) là: \[P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{350}}{{715}} = \frac{{70}}{{143}}\].

Hướng dẫn giải

Gọi \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {HI}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {HG}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} - 3 = \frac{3}{2}\left( {\frac{5}{3} - 3} \right)\\{y_I} - 2 = \frac{3}{2}\left( {\frac{8}{3} - 2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = 1\\{y_I} = 3\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {1;3} \right)\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) \( \Rightarrow IM \bot BC\) \( \Rightarrow IM:2x - y + c = 0\).

Vì \(I \in IM \Rightarrow 2.1 - 3 + c = 0 \Rightarrow c = 1\)

\( \Rightarrow IM:2x - y + 1 = 0\)

\(M = IM \cap BC \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - y =  - 1\\x + 2y = 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {0;1} \right)\).

Lại có: \(\overrightarrow {MA}  = 3\overrightarrow {MG}  \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 3.\frac{5}{3}\\{y_A} - 1 = 3.\left( {\frac{8}{3} - 1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 5\\{y_A} = 6\end{array} \right. \Rightarrow A\left( {5;6} \right)\)  .

Suy ra: đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là đường tròn tâm \(I\left( {1;3} \right)\) bán kính \(R = IA = 5\).

Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25\).

Hướng dẫn giải

Vì \(5 = 4 + 1 = 3 + 2 = 2 + 2 + 1 = 3 + 1 + 1 = 2 + 1 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1\) nên ta có các trường hợp sau:

+) Trường hợp 1: Số tự nhiên có một chữ số \(5\) đứng đầu và \(2017\) số \(0\) đứng sau : Có \(1\) số.

+) Trường hợp 2: Số tự nhiên có một chữ số \(4\), một chữ số \(1\) và \(2016\) số \(0\).

- Khả năng 1: Nếu chữ số \(4\) đứng đầu thì chữ số \(1\) đứng ở một trong \(2017\) vị trí còn lại nên ta có \(C_{2017}^1\) số.

- Khả năng 2: Nếu số \(1\) đứng đầu thì số \(4\) đứng ở một trong \(2017\) vị trí còn lại nên ta có \(C_{2017}^1\) số.

+) Trường hợp 3: Số tự nhiên có một chữ số \(3\), một chữ số \(2\) và \(2016\) số \(0\)

- Khả năng 1: Nếu số \(3\) đứng đầu thì số \(2\) đứng ở một trong \(2017\) vị trí còn lại nên ta có \(C_{2017}^1\) số.

- Khả năng 2: Nếu số \(2\) đứng đầu thì số \(3\) đứng ở một trong \(2017\) vị trí còn lại nên ta có \(C_{2017}^1\) số.

+) Trường hợp 4: Số tự nhiên có hai chữ số \(2\), một chữ số \(1\) và \(2015\) số \(0\)

- Khả năng 1: Nếu số \(2\) đứng đầu thì số \(1\) và số \(2\) còn lại đứng ở hai trong \(2017\) vị trí còn lại nên ta có \(A_{2017}^2\) số.

- Khả năng 2: Nếu số \(1\) đứng đầu thì hai chữ số \(2\) đứng ở hai trong \(2017\) vị trí còn lại nên ta có \(C_{2017}^2\)số.

+) Trường hợp 5: Số tự nhiên có \(2\) chữ số \(1\), một chữ số \(3\) thì tương tự như trường hợp \(4\) ta có \(A_{2017}^2 + C_{2017}^2\) số.

+) Trường hợp 6: Số tự nhiên có một chữ số \(2\), ba chữ số \(1\) và \(2014\) số \(0\).

- Khả năng 1: Nếu số \(2\) đứng đầu thì ba chữ số \(1\) đứng ở ba trong \(2017\) vị trí còn lại nên ta có \(C_{2017}^3\)số.

- Khả năng 2: Nếu số \(1\) đứng đầu và số \(2\) đứng ở vị trí mà không có số \(1\) nào khác đứng trước nó thì hai số \(1\) còn lại đứng ở trong \(2016\) vị trí còn lại nên ta có \(C_{2016}^2\) số.

- Khả năng 3: Nếu số \(1\) đứng đầu và số \(2\) đứng ở vị trí mà đứng trước nó có hai số \(1\) thì hai số \(1\) và \(2\) còn lại đứng ở trong \(2016\) vị trí còn lại nên ta có \(A_{2016}^2\) số.

+) Trường hợp 7: Số tự nhiên có năm chữ số \(1\) và \(2013\) số \(0\) , vì chữ số \(1\) đứng đầu nên bốn chữ số \(1\) còn lại đứng ở bốn trong \(2017\) vị trí còn lại nên ta có \(C_{2017}^4\) số.

Áp dụng quy tắc cộng ta có \(1 + 4C_{2017}^1 + 2\left( {C_{2017}^2 + A_{2017}^2} \right) + \left( {C_{2017}^3 + A_{2016}^2 + C_{2016}^2} \right) + C_{2017}^4\) số cần tìm.

Hướng dẫn giải

Gọi số học sinh nữ của lớp là \(n\left( {n \in {\mathbb{N}^*},n \le 28} \right)\).

Suy ra số học sinh nam là \(30 - n\).

Không gian mẫu là chọn bất kì \(3\)  học sinh từ \(30\) học sinh.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là \(n\left( \Omega  \right) = C_{30}^3\).

Gọi \(A\) là biến cố Chọn được \(2\) học sinh nam và \(1\)  học sinh nữ.

+ Chọn \(2\) nam trong \(30 - n\) nam, có \(C_{30 - n}^2\) cách.

+ Chọn \(1\) nữ trong \(n\) nữ, có \(C_n^1\) cách.

Suy ra số phần tử của biến cố \(A\) là \(n\left( A \right) = C_{30 - n}^2.C_n^1\).

Do đó xác suất của biến cố \(A\) là \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{C_{30 - n}^2.C_n^1}}{{C_{30}^3}}\) .

Theo giả thiết, ta có \(P\left( A \right) = \frac{{12}}{{29}} \Leftrightarrow \frac{{C_{30 - n}^2.C_n^1}}{{C_{30}^3}} = \frac{{12}}{{29}}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left( {30 - n} \right)\left( {29 - n} \right)\left( {28 - n} \right)!.n}}{{2!.\left( {28 - n} \right)!}} = 1680\)

\( \Leftrightarrow \left( {30 - n} \right)\left( {29 - n} \right).n = 3360 \Leftrightarrow {n^3} - 59{n^2} + 870n - 3360 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n \approx 38,82\\n = 14\\n \approx 6,18\end{array} \right.\)

Vì \(n \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow n = 14\)

Vậy số học sinh nữ của lớp là \(14\) học sinh.