Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 8 Cánh diều (2023-2024) có đáp án - Đề 1

Đáp án đúng là: B

Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau nên là hình vuông.

a) Với điều kiện \(x \ne 2;\,\,x \ne - 2,\) ta có:

\(A = \frac{x}{{x - 2}} - \frac{{2x + 1}}{{x + 2}} - \frac{{{x^2} + 8}}{{4 - {x^2}}}\)

   \( = \frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{{x^2} + 8}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)

   \( = \frac{{{x^2} + 2x - \left( {2{x^2} - 4x + x - 2} \right) + {x^2} + 8}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)

   \( = \frac{{{x^2} + 2x - 2{x^2} + 4x - x + 2 + {x^2} + 8}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)

   \( = \frac{{5x + 10}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)\( = \frac{{5\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)\( = \frac{5}{{x - 2}}.\)

Vậy với \(x \ne 2;\,\,x \ne - 2\) thì \(A = \frac{5}{{x - 2}}.\)

b) Thay \(x = - 6\) (thỏa mãn điều kiện) vào \(A\) ta có: \(A = \frac{5}{{ - 6 - 2}} = \frac{5}{{ - 8}} = \frac{{ - 5}}{8}.\)

Vậy với  \(x = - 6\) thì \(A = \frac{{ - 5}}{8}.\)

c) Với \(x \ne 2;\,\,x \ne - 2,\) để \(A = 2\) ta có: \(\frac{5}{{x - 2}} = 2\)

\(5 = 2\left( {x - 2} \right)\)

\(x - 2 = \frac{5}{2}\)

\(x = \frac{5}{2} + 2\)

\(x = \frac{9}{2}\) (thỏa mãn điều kiện).

Vậy với \(x = \frac{9}{2}\) thì \(A = 2\).

d) Với \(x \ne 2;\,\,x \ne - 2\) và \(x \ne - 1\) ta có:

\(M = A:B = \frac{5}{{x - 2}}:\frac{5}{{x + 1}} = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\)\( = \frac{{x - 2 + 3}}{{x - 2}} = 1 + \frac{3}{{x - 2}}.\)

Để \(M\) nguyên khi \(\frac{3}{{x - 2}}\) nguyên khi \(x - 2 \in \)Ư\(\left( 3 \right) = \left\{ { - 3;\,\, - 1;\,\,1;\,\,3} \right\}.\)

Ta có bảng giá trị

a) Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông \[ABC\] vuông tại \(A\) ta có:

\[A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\]

Hay \[{6^2} + A{C^2} = {10^2}\]

Suy ra \[A{C^2} = {10^2} - {6^2} = 64 \Rightarrow AC = 8{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).\]

Vậy độ dài \[AC\] là 8 cm.

b) Do \[MD\,{\rm{//}}\,AC\] suy ra \[\widehat {MDB} = \widehat {DAE} = 90^\circ \] (đồng vị).

Do đó:

\[\widehat {MDA} = 180^\circ  - \widehat {MDB} = 180^\circ  - 90^\circ  = 90^\circ .\]

Do \[ME\,{\rm{//}}\,AB\] suy ra \[\widehat {MEC} = \widehat {DAE} = 90^\circ \] (đồng vị).

Do đó \[\widehat {MEA} = 180^\circ  - \widehat {MEC} = 180^\circ  - 90^\circ  = 90^\circ .\]

Tứ giác \[ADME\] có: \[\widehat {DAE} = \widehat {MDA} = \widehat {MEA} = 90^\circ .\]

Do đó tứ giác \[ADME\] có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.

c) Xét \(\Delta ABC\) có \(AM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\) nên \(AM = \frac{1}{2}BC.\)

Mà \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(MB = MC = \frac{1}{2}BC.\)

Do đó \(MB = MC = AM = \frac{1}{2}BC.\)

Xét \(\Delta ABM\) có \(MA = MB\) nên \(\Delta ABM\) cân tại \(M,\) khi đó \(MD\) là đường cao của tam giác nên đồng thời là đường trung tuyến của \(\Delta ABM.\)

Do đó \[D\] là trung điểm \[AB\] nên \[DA = DB = \frac{1}{2}AB.\]

Mà \(ME = DA\) (do \[ADME\] là hình chữ nhật) nên \(ME = DB.\)

Xét tứ giác \(BDEM\) có \(ME\,{\rm{//}}\,BD\) và \(ME = DB,\) nên là hình bình hành.

d) Xét \(\Delta ABC\) có \[ME\,{\rm{//}}\,AB\] và \[M\] là trung điểm của \[BC\] nên \[E\] là trung điểm \[AC.\]

Tứ giác \[AKCB\] có \(E\) là trung điểm của \(AC\) và \(BK\) (do \[BE = EK)\] nên tứ giác \[AKCB\] là hình bình hành. Suy ra \[AK\,{\rm{//}}\,BC.\,\,\,\left( 3 \right)\]

Tứ giác \[AICM\] có \(E\) là trung điểm của \(AC\) và \(MI\) (do \[EM = EI)\] nên tứ giác \[AICM\] là hình bình hành. Suy ra \[AI\,{\rm{//}}\,BC.\,\,\,\left( 4 \right)\]

Theo tiên đề Euclid, qua \[A\] chỉ vẽ được duy nhất 1 đường thẳng song song với \[BC\] nên từ \[\left( 3 \right)\] và \[\left( 4 \right)\] ta phải có \[A;\,\,I;\,\,K\] thẳng hàng.

a) Ta có: \(P = {x^2} - 2xy + 2{y^2} - 2x + 3y + 3\)

\( = {x^2} - 2xy + {y^2} - 2x + 2y + 1 + {y^2} + y + \frac{1}{4} + \frac{7}{4}\)

\( = {\left( {x - y} \right)^2} - 2\left( {x - y} \right) + 1 + {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4}\)

\( = {\left( {x - y - 1} \right)^2} + {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4}.\)

Vì: \({\left( {x - y - 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x,\,\,y;\)

\({\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(y\)

Nên: \(P \ge \frac{7}{4}.\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x - y - 1 = 0\) và \(y + \frac{1}{2} = 0,\) tức là \(y =  - \frac{1}{2}\) và \(x = \frac{1}{2}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(\frac{7}{4}\) khi \(x = \frac{1}{2}\) và \(y =  - \frac{1}{2}.\)

b) Với \(a,\,\,b,\,\,c\) đôi một khác nhau ta có biểu thức có nghĩa.

Khi đó: \(B = \frac{{bc}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + \frac{{ac}}{{\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}} + \frac{{ab}}{{\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}}\)

\( = \frac{{bc}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} - \frac{{ac}}{{\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)}} + \frac{{ab}}{{\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

\( = \frac{{bc\left( {b - c} \right) - ac\left( {a - c} \right) + ab\left( {a - b} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

\( = \frac{{bc\left( {b - c} \right) - {a^2}c + a{c^2} + {a^2}b - a{b^2}}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

\( = \frac{{bc\left( {b - c} \right) + \left( { - {a^2}c + {a^2}b} \right) - \left( {a{b^2} - a{c^2}} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

\( = \frac{{bc\left( {b - c} \right) + {a^2}\left( {b - c} \right) - a\left( {b - c} \right)\left( {b + c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {b - c} \right)\left( {bc + {a^2} - ab - ac} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {b - c} \right)\left[ { - \left( {ac - bc} \right) + \left( {{a^2} - ab} \right)} \right]}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {b - c} \right)\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}}{{\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)}} = 1.\)

Vậy giá trị biểu thức \(B\) không phụ thuộc vào \(a,\,\,b,\,\,c.\)