Bài tập tỉ số các đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng

Cho tam giác ABC có các góc B và C nhọn, BC = a, đường cao AH = h. Tính cạnh của hình vuông MNPQ có M thuộc AB, N thuộc AC, P, Q thuộc BC.

Cho tam giác ABC và hình bình hành AEDF với E thuộc AB, D thuộc BC, F thuộc AC. Tính diện tích hình bình hành, biết rằng $S_{EBD}=3c{m}^2, S_{FDC}=12c{m}^2$

Hình thang ABCD có cạnh đáy AB dài 8 cm, cạnh đáy CD dài 12 cm. Điểm M nằm trê đường thẳng AB sao cho đường thẳng DM chia hình thang thành hai phần có diện tích bằng nhau. Tính độ dài BM.

Điểm M chuyển động trên đáy nhỏ AB của hình thang ABCD. Gọi O là giao điểm của các đường thẳng chứa các cạnh bên của hình thang, G là giao điểm của OA và CM, H là giao điểm của OB và DM. Chứng minh rằng khi điểm M chuyển động trên cạnh AB thì tổng $\frac{OG}{GD}+\frac{OH}{HC}$ không đổi.

Cho ba đường thẳng song song a, b, c theo thứ tự ấy, điểm A thuộc a, điểm B thuộc b,. Gọi M là một điểm bất kì thuộc c. MA cắt b tại B’, MB cắt a tại A’. Chứng minh rằng khi điểm M chuyển động trên c thì đường thẳng A’B’ luôn đi qua một điểm cố định.

Cho tam giác ABC có diện tích S, các đường trung tuyến AD, BE, CF. Gọi S’ là diện tích tam giác có độ dài ba cạnh bằng AD, BE, CF. Chứng minh rằng $S\text{'}=\frac{3}{4}S$

Đường cao của một tam giác dài 16 cm, nó chia cạnh đáy thành hai đoạn thẳng tỉ lệ 1 : 8. Tính độ dài đoạn thẳng song song với đường cao ấy và chia tam giác đã cho ra hai phần có diện tích bằng nhau.

Hình thang ABCD có các đáy AB = b, CD = a (a > b). Đoạn thẳng MN song song với đáy, có hai đầu thuộc hai cạnh bên chia hình thang ra hai phần có diện tích bằng nhau. Chứng minh rằng $M{N}^2=\frac{a^2+b^2}{2}$

Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 2 cm. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AD, DC. Gọi I, H theo thứ tự là giao điểm của AF với BE, BD. Tính diện tích tứ giác EIHD.