Ôn tập Phân thức đại số có đáp án - Phần 2

Chứng minh rằng các phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n:

a) $\frac{3n+1}{5n+2};$

b) $\frac{12n+1}{30n+2};$

c) $\frac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1};$

d) $\frac{2n+1}{2n^2-1}.$ 

Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là số nguyên

a) $A=\frac{2x^3-6x^2+x-8}{x-3};$

b) $B=\frac{x^4-2x^3-3x^2+8x-1}{x^2-2x+1}.$ 

Rút gọn biểu thức sau với $x=\frac{a}{3a+2}:$

$A=\frac{x+3a}{2-x}+\frac{x-3a}{2+x}-\frac{2a}{4-x^2}+a$

Rút gọn biểu thức: $A=\frac{2}{a-b}+\frac{2}{b-c}+\frac{2}{c-a}+\frac{{\left(a-b\right)}^2+{\left(b-c\right)}^2+{\left(c-a\right)}^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}$

Cho biết $\frac{a+b-c}{ab}-\frac{b+c-a}{bc}-\frac{a+c-b}{ac}=0$. Chứng minh rằng trong ba phân thức ở vế trái, có ít nhất một phân thức bằng 0.

Xác định các số a, b, c sao cho:

a) $\frac{1}{x\left(x^2+1\right)}=\frac{a}{x}+\frac{bx+c}{x^2+1};$

b) $\frac{1}{x^2-4}=\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x+2};$

c) $\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2\left(x+2\right)}=\frac{a}{x+1}+\frac{b}{{\left(x+1\right)}^2}+\frac{c}{x+2}$

Rút gọn biểu thức: $B=\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)-abc\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)$

Cho a, b, c khác nhau đôi một và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$. Rút gọn biểu thức:

a) $M=\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab};$

b) $N=\frac{bc}{a^2+2bc}+\frac{ca}{b^2+2ac}+\frac{ab}{c^2+2ab};$

c) $P=\frac{a^2}{a^2+2bc}+\frac{b^2}{b^2+2ac}+\frac{c^2}{c^2+2ab}$

Cho các số a, b, c khác nhau đôi một và $\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}$. Tính giá trị của biểu thức $M=\left(1+\frac{a}{b}\right)\left(1+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{a}\right)$

Cho $a^3+b^3+c^3=3abc$ và $a+b+c\ne 0$. Tính giá trị của biểu thức: $N=\frac{a^2+b^2+c^2}{{\left(a+b+c\right)}^2}$

Rút gọn các biểu thức:

a) $A=\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\left(1-\frac{1}{4^2}\right)\mathrm{...}\left(1-\frac{1}{n^2}\right);$

b) $B=\frac{1^2}{2^2-1}.\frac{3^2}{4^2-1}.\frac{5^2}{6^2-1}.\mathrm{...}.\frac{{\left(2n+1\right)}^2}{{\left(2n+2\right)}^2-1}$

Rút gọn các biểu thức:

a) $\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\mathrm{...}+\frac{1}{\left(n-1\right)n};$

b) $\frac{1}{2.5}+\frac{1}{5.8}+\frac{1}{8.11}+\mathrm{...}+\frac{1}{\left(3n+2\right)\left(3n+5\right)};$

c) $\frac{1}{\mathrm{1.2.3}}+\frac{1}{\mathrm{2.3.4}}+\frac{1}{\mathrm{3.4.5}}+\mathrm{...}+\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}.$

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\ge 1$:

a) $\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{{\left(2n\right)}^2}<\frac{1}{2};$

b) $\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{{\left(2n+1\right)}^2}<\frac{1}{4}.$

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\ge 2$:

$A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{n^2}<\frac{2}{3}$

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\ge 3$:

$B=\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+\frac{1}{5^3}+\mathrm{...}+\frac{1}{n^3}<\frac{1}{12}$

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n\ge 1$:

$A=\left(1+\frac{1}{1.3}\right)\left(1+\frac{1}{2.4}\right)\left(1+\frac{1}{3.5}\right)\mathrm{...}\left(1+\frac{1}{n\left(n+2\right)}\right)<2$