Ôn tập Tứ giác có đáp án - Phần 3
25 câu hỏi
Hình bình hành ABCD có A^=60°. Lấy các điểm E, F theo thứ tự thuộc các cạnh AD, CD sao cho DE=CF. Gọi K là điểm đối xứng với F qua BC. Chứng minh rằng EK song song với AB.
Cho tam giác ABC có A^>90°. Trong góc A vẽ các đoạn thẳng AD, AE sao cho AD vuông góc và bằng AB, AE vuông góc và bằng AC. Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh rằng AM vuông góc với BC.
Vẽ ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác ABD vuông cân tại B, ACE vuông cân tại C, Gọi M là trung điểm của DE. Hãy xác định dạng của tam giác BMC.
Cho tam giác đều ABC, một đường thẳng song song với BC cắt AB, AC ở D, E. Gọi G là trọng tâm của tam giác ADE, I là trung điểm của CD. Tính số đo các góc của tam giác GIB.
Cho điểm E thuộc cạnh AC của tam giác đều ABC. Đường vuông góc với AB kẻ từ E cắt đường vuông góc với BC kẻ từ C tại điểm D. Gọi K là trung điểm của AE. Tính KBD^.
Cho tam giác đều ABC, điểm M thuộc cạnh BC, Gọi D là điểm đối xứng với M qua AB, E là điểm đối xứng với M qua AC. Vẽ hình bình hành MDNE. Chứng minh rằng AN song song với BC.
Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D, E theo thứ tự thuộc tia đối của các tia BA, CA sao cho BD=CE=BC. Gọi O là giao điểm của BE và CD. Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳng này cắt AC ở K. Chứng minh rằng AB=CK.
Một hình bình hành có bốn đỉnh nằm trên bốn cạnh của một hình bình hành khác. Chứng minh rằng các tâm của hai hình bình hành đó trùng nhau.
Gọi EFGH là hình bình hành có bốn đỉnh nằm trên bốn cạnh của hình bình hành ABCD. Gọi O là tâm của hình bình hành EFGH, ta sẽ chứng minh O cũng là tâm của hình bình hành ABCD.
Gọi P, Q theo thứ tự là trung điểm của AD, BC. Ta có OP là đường trung bình của hình thang AEGD nên OP//DG. Tương tự, OQ//GC. Suy ra P, O, Q thẳng hàng.
Chứng minh tương tự, O thuộc đường trung bình RS của hình bình hành ABCD. Do AR//OQ và AR=OQ nên ARQO là hình bình hành. Suy ra AO//RG, AO=RQ. Tương tự, OC//RQ, OC=RQ. Từ đó suy ra O là trung điểm của AC. Do đó, O là tâm của hình bình hành ABCD.
Vậy các tâm của hai hình bình hành EFGH, ABCD trùng nhau.
Cho tứ giác ABCD, điểm E thuộc AD, điểm G thuộc BC. Dựng điểm F thuộc AB, điểm H thuộc CD sao cho EFGH là hình bình hành.
Phân tích
Gọi O là trung điểm của EG thì O là điểm xác định.
F đối xứng với H qua O mà H thuộc CD nên F thuộc đường thẳng đối xứng với CD qua O.
Mặt khác F thuộc AB.
Cách dựng:
Dựng trung điểm O của EG
Dựng đường thẳng đối xứng với CD qua O, cắt AB ở F (để dựng đường thẳng ta dựng OM vuông góc với CD, dựng N đối xứng với M qua O, rồi kẻ qua N đường thẳng song song với CD). FO cắt CD ở H. Nối EF, FG, GH, HE.
Chứng minh: ΔOMH=ΔONF(g.c.g) nên OH=OF
Tứ giác EFGH có OH=OF, OE=OG nên là hình bình hành.
Biện luận:
-Nếu d trùng AB (khi đó AB//CD, O cách đều AB và CD) thì bài toán có vô số nghiệm hình.
-Nếu d//AB (khi đó AB//CD, O không cách đều AB và CD) thì bài toán không có nghiệm hình.
-Nếu d cắt AB (khi đó AB không song song với CD) thì bài toán có một nghiệm hình.
Cho tam giác ABC, gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, AC, AB. Gọi O là một điểm bất kì, A’ là điểm đối xứng với O qua D, B’ là điểm đối xứng với O qua E, C’ là điểm đối xứng với O qua F. Chứng minh rằng các đường thẳng AA’ , BB’ , CC’ đồng quy.
AB’ song song và bằng A’B (vì cùng song song và bằng OC) => ABA’B’là hình bình bành => AA’ cắt BB’ tại trung điểm của mỗi đoạn. Ta có BCB’C’ là hình binh hành => CC’ cắt BB’ tại trung điểm của mỗi đoạn.
Suy ra điều phải chứng minh.
Cho góc xOy khác góc bẹt và điểm M thuộc miền trong của góc.
a) Qua M dựng đường thẳng cắt các tia Ox, Oy theo thứ tự ở A và B sao cho M là trung điểm của AB.
b) Chứng minh rằng tam giác AOB nhận được trong cách dựng trên có diện tích nhỏ nhất trong tất cả các tam giác tạo bởi các tia Ox, Oy và một đường thẳng bất kì qua M.
Dựng tam giác biết một đỉnh, trọng tâm và hai đường thẳng đi qua hai đỉnh còn lại.
Cho tứ giác ABCD và một điểm O nằm bên trong tứ giác. Dựng hình bình hành EFGH nhận O làm tâm đôi xứng, có bốn đỉnh nằm trên bốn đường thẳng chứa cạnh tứ giác.
Biện luận :
-Nếu ABCD là hình bình hành thì bài toán có vó số nghiệm hình (khi O là tâm của hình bình hành) hoặc không có nghiệm hình (khi O không là tâm của hình bình hành).
-Nếu ABCD là hình thang mà không là hình bình hành thì bài toán có vô số nghiệm hình (khi O cách đều hai đáy) hoặc không có nghiệm hình (khi không cách đều hai đáy).
-Còn lại: một nghiệm hình.
Tính các cạnh AB, AD của hình chữ nhật ABCD, biết rằng đường vuông góc AH kẻ từ A đến BD chia BD thành hai đoạn thẳng HD=9cm, HB=16cm.
Cho tam giác ABC cân tại A. Từ một điểm D trên đáy BC, vẽ đường thẳng vuông góc với BC, cắt các đường thẳng AB, AC ở E, F. Vẽ các hình chữ nhật BDEH và CDFK. Chứng minh rằng A là trung điểm của HK.
Cho hình bình hành ABCD, các đường cao AE và AF. Biết AC=25cm, EF=24cm. Tính khoảng cách từ A đến trực tâm H của tam giác AEF.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi I, K theo thứ tự là hình chiếu của H trên AB, AC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM vuông góc với IK.
Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đường chéo, H là hình chiếu của A trên OD. Biết rằng các góc DAH, HAO, OAB bằng nhau. Chứng minh rằng ABCD là hình chữ nhật.
Cho tam giác ABC, trực tâm H, I là giao điểm các đường trung trực. Gọi E là điểm đối xứng với A qua I. Chứng minh rằng BHCE là hình bình hành.
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC) đường cao AH. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE=AB. Gọi M là trung điểm của BE. Chứng minh rằng HM là tia phân giác của góc AHC.
Cho hình thang cân ABCD có AB//CD, ACD^=60°, O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E, F, G theo thứ tự là trung điểm của OA, OD, BC. Tam giác EFG là tam giác gì? Tại sao?
Các tam giác OCD, OAB là tam giác đều. Sử dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền, tính chất đường trung bình của tam giác, tính chất cạnh bên hình thang cân, ta chứng minh được tam giác EFG là tam giác đều.
Gọi H là hình chiếu của đỉnh B trên đường chéo AC của hình chữ nhật ABCD, M và K theo thứ tự là trung điểm của AH và CD.
a) Gọi I và O theo thứ tự là trung điểm của AB và IC. Chứng minh rằng MO=12IC.
b) Tính số đo góc BMK.
Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh bằng a, b, c, chu vi bằng 2p, các chiều cao tương ứng bằng h, m, n, Chứng minh rằng:
a) b+c2≥a2+4h2
b) h2≤pp−a
c) h2+m2+n2≤p2
Cho hình thang vuông ABCD có A^=D^=90°, AB=AD=CD2. Qua điểm E thuộc cạnh AB kẻ đường vuông góc với DE, cắt BC tại F. Chứng minh rằng ED=EF.
Cho hình chữ nhật ABCD có BDC^=30°. Qua C kẻ đường vuông góc với BD, cắt BD ở E và cắt tia phân giác của góc ADB ở M.
a) Chứng minh rằng AMBD là hình thang cân.
b) Gọi N là hình chiếu của M trên DA, K là hình chiếu của M trên AB. Chứng minh rằng ba điểm N, K, E thẳng hàng.
