Ôn tập Đa giác. Diện tích của đa giác có đáp án - Phần 3

Gọi a, b, c, d là độ dài bốn cạnh liên tiếp của một tứ giác có diện tích S. Chứng minh các bất đẳng thức sau và chỉ rõ khi nào xảy ra đẳng thức.

a) 4S≤a+cb+d;

b) 16S≤a+b+c+d2.

Gọi a, b, c, d là độ dài bốn cạnh (không nhất thiết liên tiếp) của một tứ giác có diện tích S. Chứng minh rằng 2S≤ab+cd. Khi nào xảy ra đẳng thức?

Cho tứ giác ABCD, E và F theo thứ tự là trung điểm của AD và CD. Biết BE+BF=a, chứng minh rằng SABCD<a22

Cho hình bình hành ABCD. Các điểm E, F, G, H theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA sao cho EG không song song với AD. Cho biết diện tích tứ giác EFGH bằng nửa diện tích hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng HF song song với CD.

Cho tam giác ABC, E là trung điểm của AC. Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho BD=13BC, lấy điểm G trên cạnh AE sao cho AG=13AE. Đoạn thẳng AD cắt BG, BE theo thứ tự ở M, N. Tính diện tích tứ giác MNEG theo diện tích tam giác ABC.

Cho tam giác ABC diện tích S. Lấy các điểm E, G trên BC sao cho BE=EG=GC. Gọi D, H theo thứ tự là trung điểm của AC, AB; I là giao điểm của GH và BD; K là giao điểm của AG và BD. Tính tỷ số diện tích tứ giác EIKG và diện tích tam giác ABC.

Chứng minh rằng tam giác có một đỉnh là giao điểm hai cạnh đối của một tứ giác, hai đỉnh kia là trung điểm hai đường chéo của tứ giác đó có diện tích bằng 14 diện tích tứ giác.

Cho tam giác ABC. Dựng các điểm D và F nằm trên cạnh AB, E nằm trên cạnh AC sao cho đường gấp khúc CDEF chia tam giác ABC ra bốn phần có diện tích bằng nhau.

Một mảnh vườn hình tam giác có một giếng D nằm trên cạnh BC. Hãy chia mảnh vườn thành hai phần có diện tích bằng nhau bởi một đường thẳng đi qua D.

Cho tứ giác ABCD. Dựng đường thẳng đi qua A chia tứ giác ra hai phần có diện tích bằng nhau.

Cho tam giác ABC. Dựng điểm O nằm bên trong tam giác sao cho diện tích các tam giác AOB, BOC, COA tỉ lệ với 1; 2; 3.

Cho tứ giác ABCD. Dựng điểm O nằm bên trong tứ giác sao cho nếu nối O với trung điểm các cạnh của tứ giác thì tứ giác được chia ra bốn phần có diện tích bằng nhau.

Cho tam giác ABC vuông tại A, AC=20cm, AB=15cm. Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho BD=4cm. Tính độ dài AD.